---

Hej Ng

Jeg har ladet mig forstå, at den generelle 5. gradsligning ikke har en
generel løsningsformel. Jeg har også ladet mig forstå, at dette hænger
sammen med noget, der kaldes gruppeteori - aner ikke, hvad det er, så det
kunne jeg godt tænke mig at vide.
Findes der nogle bøger - gerne med et lidt historisk perspektiv - der
gennemgår "beviset" for, at 5. gradsligningen ikke kan løses generelt og som
gennemgår den dertil nødvendige(?) gruppeteori på et niveau, en matematisk
student med mat på hn kan forstå? De skal helst være på dansk, engelsk eller
tysk.

På forhånd tak

--
Jens Pedersen

---

"Jens Pedersen" <jens-pedersen@webspeed.dk> skrev i en meddelelse
news:40b5b880$0$471$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...

> Findes der nogle bøger - gerne med et lidt historisk perspektiv - der
> gennemgår "beviset" for, at 5. gradsligningen ikke kan løses generelt og
som
> gennemgår den dertil nødvendige(?) gruppeteori på et niveau, en matematisk
> student med mat på hn kan forstå? De skal helst være på dansk, engelsk
eller
> tysk.

Uløseligheden af den generelle femtegradsligninger (og polynomiumsligninger
af højere grad) er et af kerneproblemerne indenfor Galoisteori. Matematikken
bag er temmelig tung, hvis din eneste forudsætning er matematik A. Et bud på
læsestof kunne være

R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups.

Den gennemgår abstrakt algebra systematisk frem til grundlæggende
Galoisteori på "kun" godt 300 sider. Beviserne er generelt meget
detaljerede, så jeg vil tro, den er god til selvstudium.

/Anders

---

Anders Gorst-Rasmussen wrote:
>
> Uløseligheden af den generelle femtegradsligninger (og polynomiumsligninger
> af højere grad) er et af kerneproblemerne indenfor Galoisteori. Matematikken
> bag er temmelig tung, hvis din eneste forudsætning er matematik A. Et bud på
> læsestof kunne være
>
> R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups.
>
> Den gennemgår abstrakt algebra systematisk frem til grundlæggende
> Galoisteori på "kun" godt 300 sider. Beviserne er generelt meget
> detaljerede, så jeg vil tro, den er god til selvstudium.

Det er en god anbefaling. Jeg tjekkede lige mit eget eksemplar, og det
er rigtigt at den når fra det elementære frem til hvordan man opstiller
femtegradligninger der er uløselige ved brug af rodtegn.

Jeg skal lige advare om at man på et sædvanligt matematikstudium på et
universitet normalt bruger omkring et par års studier på at nå fra
gymnasieniveau til en modenhed hvor det er naturligt at arbejde med
Galois-teori. Naturligvis kan man nå dertil hurtigere ved selvstudium
hvis man er dygtig og af en eller anden grund prioriterer resultatet om
femtegradsligninger højere end andre mål.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40B5C9AC.23AC710@jeppesn.dk...
> Anders Gorst-Rasmussen wrote:
> >
> > Uløseligheden af den generelle femtegradsligninger (og
polynomiumsligninger
> > af højere grad) er et af kerneproblemerne indenfor Galoisteori.
Matematikken
> > bag er temmelig tung, hvis din eneste forudsætning er matematik A. Et
bud på
> > læsestof kunne være
> >
> > R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups.
> >
> > Den gennemgår abstrakt algebra systematisk frem til grundlæggende
> > Galoisteori på "kun" godt 300 sider. Beviserne er generelt meget
> > detaljerede, så jeg vil tro, den er god til selvstudium.
>
> Det er en god anbefaling. Jeg tjekkede lige mit eget eksemplar, og det
> er rigtigt at den når fra det elementære frem til hvordan man opstiller
> femtegradligninger der er uløselige ved brug af rodtegn.
>
> Jeg skal lige advare om at man på et sædvanligt matematikstudium på et
> universitet normalt bruger omkring et par års studier på at nå fra
> gymnasieniveau til en modenhed hvor det er naturligt at arbejde med
> Galois-teori. Naturligvis kan man nå dertil hurtigere ved selvstudium
> hvis man er dygtig og af en eller anden grund prioriterer resultatet om
> femtegradsligninger højere end andre mål.

Ok, tak for svaret - jeg prøver at kigge i bogen.
Btw. hvis Galois kunne finde ud af stoffet som 20-årig, kan jeg sgu også

--
Jens Pedersen

---

"Jens Pedersen" <jens-pedersen@webspeed.dk> skrev i en meddelelse news:40b6965c$0$436$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...

> Ok, tak for svaret - jeg prøver at kigge i bogen.
> Btw. hvis Galois kunne finde ud af stoffet som 20-årig, kan jeg sgu også

Du glemmer at Évariste havde den fordel at han ikke anede
at det var gruppeteori han sad og rodede med.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Ok, tak for svaret - jeg prøver at kigge i bogen.
> > Btw. hvis Galois kunne finde ud af stoffet som 20-årig, kan jeg sgu også
>
> Du glemmer at Évariste havde den fordel at han ikke anede
> at det var gruppeteori han sad og rodede med.

Det var da ingen fordel! Dengang var det virkelig svært at forstå fordi
man endnu ikke havde nutidens overblik over hvad der var væsentligt, og
hvad der var uvæsentligt. Der er ingen tvivl om at der er masser af unge
mennesker (5 %?) der kan lære Galois-teori i dag fordi det hele er vel-
forstået og pædagogisk tilrettelagt i lærebøger.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40B7374E.BD569B23@jeppesn.dk...
> Martin Larsen wrote:
> >
> > Du glemmer at Évariste havde den fordel at han ikke anede
> > at det var gruppeteori han sad og rodede med.
>
> Det var da ingen fordel! Dengang var det virkelig svært at forstå fordi
> man endnu ikke havde nutidens overblik over hvad der var væsentligt, og
> hvad der var uvæsentligt.

Jeg synes ikke at der er noget der tyder på at Galois spildte så
megen tid på det uvæsentlige i sine undersøgelser af ligningers
løsbarhed.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > > Du glemmer at Évariste havde den fordel at han ikke anede
> > > at det var gruppeteori han sad og rodede med.
> >
> > Det var da ingen fordel! Dengang var det virkelig svært at forstå fordi
> > man endnu ikke havde nutidens overblik over hvad der var væsentligt, og
> > hvad der var uvæsentligt.
>
> Jeg synes ikke at der er noget der tyder på at Galois spildte så
> megen tid på det uvæsentlige i sine undersøgelser af ligningers
> løsbarhed.

Det har jeg heller ikke påstået.

Jeg syntes bare det var forkert at sige at det var en *fordel* for
Galois at han *ikke* kendte til gruppeteori. Men det var måske mest
ment som en morsomhed?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Hej Jens

> Jeg har ladet mig forstå, at den generelle 5. gradsligning ikke har en
> generel løsningsformel.

Det er rigtigt.

> Jeg har også ladet mig forstå, at dette hænger
> sammen med noget, der kaldes gruppeteori - aner ikke, hvad det er, så det
> kunne jeg godt tænke mig at vide.

Ditto.

> Findes der nogle bøger - gerne med et lidt historisk perspektiv - der
> gennemgår "beviset" for, at 5. gradsligningen ikke kan løses generelt og som
> gennemgår den dertil nødvendige(?) gruppeteori på et niveau, en matematisk
> student med mat på hn kan forstå? De skal helst være på dansk, engelsk eller
> tysk.

Det er muligt at finde bøger om historien bag (som er spændende), men
man skal ret langt for at få bevist sætningen. Ovenikøbet har man forladt
de gamle historiske stier og fundet en "pænere" måde at komme frem
til resultatet.

Det er dog muligt at få fat i bøger som beskriver grundideerne samt
historien.


Mit bedste bud er "Evariste Galois (Vita Mathematica)" af Laura
Toti Rigatelli. Den tager udgagnspunkt i det historiske - jeg
må dog indrømme, at jeg ikke kan huske hvor meget teori, der
gennemgås. Bogen handler om Galois - teorierne Abel og Galois
biksede sammen kaldes i dag for Galois teori - udvidede
Abels resultat "der findes ligninger, der ikke kan løses ved
rodudtryk" til "givet denne bestemte ligning har den en
løsning ved rodudtryk".

<http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/3764354100/qid=1085653222/sr=1-3/ref=sr_1_11_3/202-1648050-8441452>


På Amazon kan man finde: "Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning
of Mathematical Unsolvability" af Peter Pesic, som ser spændende
ud men jeg kender den ikke. Efter denne beskrivelse:

<http://www.athene-forlag.no/abelsbevis/>

ser det ud som, at den har den rigtige stil.



Du kan se korte biografer af de to herrer på:

<http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Abel.html>
<http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Galois.html>


--
Jens Axel Søgaard

---

In article <40b5c492$0$215$edfadb0f@dread11.news.tele.dk>,
usenet@soegaard.net says...

> <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Galois.html>

Man kan vel sige, at han levede stærkt og døde ung. Gad vide, hvad han
kunne have udrettet indenfor matematikken, hvis han havde levet længere.

Med venlig hilsen Sven.

---

"Sven Nielsen" <sven@DONT.SPAM.ME.SCIENTIST.COM> wrote in message
news:MPG.1b2075b9b9fe6d3098968e@news.cybercity.dk...
> In article <40b5c492$0$215$edfadb0f@dread11.news.tele.dk>,
> usenet@soegaard.net says...
>
> >
<http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Galois.html>
>
> Man kan vel sige, at han levede stærkt og døde ung. Gad vide, hvad han
> kunne have udrettet indenfor matematikken, hvis han havde levet længere.

Det er vist en ret sand joke, at en matematiker, der har kastet sig over
et uløseligt problem, lever længe

Men hvis Abel havde levet idag, altså været blevet 220 år, og havde nået til
tyvendegradsligningerne, havde de bevilgende myndigheder blevet ved at være
mæcener og til hvis gavn?

---

In <40b5b880$0$471$edfadb0f@dread14.news.tele.dk> "Jens Pedersen" <jens-pedersen@webspeed.dk> writes:

>Hej Ng

>Jeg har ladet mig forstå, at den generelle 5. gradsligning ikke har en
>generel løsningsformel. Jeg har også ladet mig forstå, at dette hænger
>sammen med noget, der kaldes gruppeteori - aner ikke, hvad det er, så det
>kunne jeg godt tænke mig at vide.
>Findes der nogle bøger - gerne med et lidt historisk perspektiv - der
>gennemgår "beviset" for, at 5. gradsligningen ikke kan løses generelt og som
>gennemgår den dertil nødvendige(?) gruppeteori på et niveau, en matematisk
>student med mat på hn kan forstå? De skal helst være på dansk, engelsk eller
>tysk.

>På forhånd tak

>--
>Jens Pedersen


Hvis man borer lidt i det, bliver det mere tydeligt at
"løsningsformel" er en løs formulering. I denne sammenhæng
har man tilladt løsningsformlen at indeholde n'terødder og
de fire sædvanlige regningsarter og så kan man vise at
formler kun findes op til og med fjerde grad.
Som andre allerede har sagt, så er det ret langhåret teori,
der kræves. (Men ikke værre end at en interesseret person kan
tygge sig igennem det.)

Jeg har i tidens løb på lignende vis været interesseret i at
løse polynomiumsligninger, så måske kan du finde noget
på nogle af mine sider her:

http://www.246.dk/roots.html
http://www.246.dk/rodkurve.html
http://www.246.dk/equation.html

Jeg har selv haft Galois teori efter den her:
Galois Theory af Ian Stewart, Chapman and Hall, 1984

Og den er ikke at anbefale til selvstudium.

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen wrote:
>
> Hvis man borer lidt i det, bliver det mere tydeligt at
> "løsningsformel" er en løs formulering. I denne sammenhæng
> har man tilladt løsningsformlen at indeholde n'terødder og
> de fire sædvanlige regningsarter og så kan man vise at
> formler kun findes op til og med fjerde grad.

Nemlig. Hvis man derimod tillader flere »regningsarter«, fx bl.a.
Jacobis theta-funktioner, så kan man godt finde en løsningsformel,
se fx formel (7)-(11) på
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

På samme side finder man også andre måder at »løse« en femtegrads-
ligning på.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev

> Kai Birger Nielsen wrote:

> > Hvis man borer lidt i det, bliver det mere tydeligt at
> > "løsningsformel" er en løs formulering. I denne sammenhæng
> > har man tilladt løsningsformlen at indeholde n'terødder og
> > de fire sædvanlige regningsarter og så kan man vise at
> > formler kun findes op til og med fjerde grad.

> Nemlig. Hvis man derimod tillader flere »regningsarter«, fx bl.a.
> Jacobis theta-funktioner, så kan man godt finde en løsningsformel,
> se fx formel (7)-(11) på
> http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

Ok, der kan man bare se - jeg troede, at ligninger af højere end 4. grad
skulle løses nummerisk.

--
Jens Pedersen

---

Scripsit "Jens Pedersen" <jens-pedersen@webspeed.dk>
> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev

> > Nemlig. Hvis man derimod tillader flere »regningsarter«, fx bl.a.
> > Jacobis theta-funktioner, så kan man godt finde en løsningsformel,
> > se fx formel (7)-(11) på
> > http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

> Ok, der kan man bare se - jeg troede, at ligninger af højere end 4. grad
> skulle løses nummerisk.

De pågældende funktioner er man jo også nødt til at udregne "numerisk"
hvis man faktisk vil kende rødderne.

--
Henning Makholm "The bread says TOAAAAAST."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Ok, der kan man bare se - jeg troede, at ligninger af højere end 4. grad
> > skulle løses nummerisk.
>
> De pågældende funktioner er man jo også nødt til at udregne "numerisk"
> hvis man faktisk vil kende rødderne.

Ja, og hvad der er »numerisk«, og hvad der ikke er, er jo ikke så klart.
Hvis man vil løse ligningen

x³ = 5

så kan løsningen angives eksakt ved kubikrod(5) , men funktionen
»kubikrod« er jo bare en måde at referere tilbage til ligningen på.

Skal man have decimaltallet frem, bliver det »numerisk« alligevel.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40B7CAAA.D34FA988@jeppesn.dk...
>
> så kan løsningen angives eksakt ved kubikrod(5) , men funktionen
> »kubikrod« er jo bare en måde at referere tilbage til ligningen på.
>
> Skal man have decimaltallet frem, bliver det »numerisk« alligevel.
>
Ja, men roduddragning er dejligt nemt at checke med den
omvendte funktion.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Skal man have decimaltallet frem, bliver det »numerisk« alligevel.
> >
> Ja, men roduddragning er dejligt nemt at checke med den
> omvendte funktion.

Den omvendte funktion F(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f er jo
også relativt hurtig når man skal tjekke om x er en rod.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40B86C16.C7FB5E4C@jeppesn.dk...
> Martin Larsen wrote:
> >
> > > Skal man have decimaltallet frem, bliver det »numerisk« alligevel.
> > >
> > Ja, men roduddragning er dejligt nemt at checke med den
> > omvendte funktion.
>
> Den omvendte funktion F(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f er jo
> også relativt hurtig når man skal tjekke om x er en rod.
>
Men dog ikke så simpel at den findes på en almindelig
lommeregner.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Den omvendte funktion F(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f er jo
> > også relativt hurtig når man skal tjekke om x er en rod.
> >
> Men dog ikke så simpel at den findes på en almindelig
> lommeregner.

Lidt uden for denne diskussion: Her er et link til en side der kan
faktorisere polynomier:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/algebra/factor.en

Man kan fx indtaste x^5-3*x-1, og under options kan man så fx vælge R
hvis man vil have de reelle rødder.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Martin Larsen wrote:

>>Men dog ikke så simpel at den findes på en almindelig
>>lommeregner.

> Lidt uden for denne diskussion: Her er et link til en side der kan
> faktorisere polynomier:
> http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/algebra/factor.en

Hvis vi snakker numeriske løsninger er Laguerres metode glimrende:

<http://mathworld.wolfram.com/LaguerresMethod.html>

Det undrer mig lidt, at den ikke er på "almindelige" lommeregnere.
Implementationen i "Numerical Recipes in C" er simpel nok.

--
Jens Axel Søgaard