---

Hej

Jeg skal finde ud af hvor stor sandsynligheden er for at 2 enheder går i
stykker på samme tid. Hvis I forestiller jer at der normalt sker 2 fejl hver
måned med en enhed. Hvad er sandsynligheden så for at en anden enhed fejler
indenfor 2 timer af den første. Levetiden for en enhed er 5 år og
reperationstiden for en enhed er 2 timer. I følge mine egne (u)kvalifiserede
beregninger vil det ske 1 gang for hver 912 år. Men det lyder lidt for
utroligt.

Fihnn

---

"Fihnn Holger" skrev

>
> Jeg skal finde ud af hvor stor sandsynligheden er for at 2 enheder går i
> stykker på samme tid. Hvis I forestiller jer at der normalt sker 2 fejl
hver
> måned med en enhed. Hvad er sandsynligheden så for at en anden enhed
fejler
> indenfor 2 timer af den første.

Der er ca.720 t. på en måned.

Den første enhed lægger beslag på 2 perioder af 2 t.
Den anden enhed kan overlappe disse perioder på 6 måder for hver defekt.

Hvis f.eks. nr1.er i stykker time 44-45, kan nr. 2 ramme 43-44, 44-45,
45-46.
Så ud af de ca.720 muligheder vil de 12 være overlappende.

For hver 5 år er begge nede samtidig.

mvh
Alex Christensen

---

"alexbo" skrev

> Så ud af de ca.720 muligheder vil de 12 være overlappende.

Herfra kan man så trække de eksotiske tilfælde, sammenfald af fejlperioden
på samme del,
eller hvis nr.1 er nede i periode 1-2 og 3-4 er der ikke så mange måder nr.2
kan overlappe på.

mvh
Alex Christensen

---

alexbo <alexbo@post.cybercity.dk> skrev:
>
>"Fihnn Holger" skrev
>
>>
>> Jeg skal finde ud af hvor stor
>>sandsynligheden er for at 2 enheder går i
>> stykker på samme tid. Hvis I
>>forestiller jer at der normalt sker 2 fejl
>hver
>> måned med en enhed. Hvad er
>>sandsynligheden så for at en anden enhed
>fejler
>> indenfor 2 timer af den første.
>
>Der er ca.720 t. på en måned.
>
>Den første enhed lægger beslag på 2
>perioder af 2 t.
>Den anden enhed kan overlappe disse
>perioder på 6 måder for hver defekt.
>
>Hvis f.eks. nr1.er i stykker time
>44-45, kan nr. 2 ramme 43-44, 44-45,
>45-46.
>Så ud af de ca.720 muligheder vil de
>12 være overlappende.
>
>For hver 5 år er begge nede samtidig.
>
>mvh
>Alex Christensen


eller 5 gange så stor sandsynligheden er:
2 x 5 = 10 : 5 = 2 x 5 = 10 uenedeligt



--
med venlig hilsen
Adam
www.sitecenter.dk/dannebrog

---

Claudio Adam <breidholdt@ODF4Gprivat.dk> (slet ODF4G) skrev:
>alexbo <alexbo@post.cybercity.dk> skrev:
>>
>>"Fihnn Holger" skrev
>>
>>>
>>> Jeg skal finde ud af hvor stor
>>>sandsynligheden er for at 2 enheder går i
>>> stykker på samme tid. Hvis I
>>>forestiller jer at der normalt sker 2 fejl
>>hver
>>> måned med en enhed. Hvad er
>>>sandsynligheden så for at en anden enhed
>>fejler
>>> indenfor 2 timer af den første.
>>
>>Der er ca.720 t. på en måned.
>>
>>Den første enhed lægger beslag på 2
>>perioder af 2 t.
>>Den anden enhed kan overlappe disse
>>perioder på 6 måder for hver defekt.
>>
>>Hvis f.eks. nr1.er i stykker time
>>44-45, kan nr. 2 ramme 43-44, 44-45,
>>45-46.
>>Så ud af de ca.720 muligheder vil de
>>12 være overlappende.
>>
>>For hver 5 år er begge nede samtidig.
>>
>>mvh
>>Alex Christensen
>
>
>eller 5 gange så stor sandsynligheden er:
>2 x 5 = 10 : 5 = 2 x 5 = 10 uendeligt

sandsynlighden taler for:
at en af de 2 enheder haver 5 gange større chance for at gå ned
end den anden, så kan man selv vælge hvilken en,
( hvis der rigtig skal være lys i lagkagen,
spiller stress, metaltræthed, overbelastning, reserverdele,
vel ind og med i logistikken,
noget der totalt og fuldstændigt uforudsigeligt,
og sidst men ikke mindst den menneskelige faktor )


--
med venlig hilsen
Claudio Adam
www.sitecenter.dk/dannebrog

---

In article <40ae6aba$0$3047$14726298@news.sunsite.dk>, Fihnn Holger wrote:
> Hej
>
> Jeg skal finde ud af hvor stor sandsynligheden er for at 2 enheder går i
> stykker på samme tid. Hvis I forestiller jer at der normalt sker 2 fejl hver
> måned med en enhed. Hvad er sandsynligheden så for at en anden enhed fejler
> indenfor 2 timer af den første. Levetiden for en enhed er 5 år og
> reperationstiden for en enhed er 2 timer. I følge mine egne (u)kvalifiserede
> beregninger vil det ske 1 gang for hver 912 år. Men det lyder lidt for
> utroligt.

Hvis vi taler om harddiske, så vil det typisk være udefra kommende
påvirkninger der nedsætter levetiden betragteligt. Og 2 diske i samme
maskine (fra samme sending) vil ofte gå i stykker inden for kort tid
efter hinanden.

Har selv haft 4 diske med næsten identiske serienumre dø indenfor
en mellem 2 og 3 måneder. Går ud fra dårlig produktion, eller at
en container er blevet tabt.

Og så er statistik ligemeget.
--
Povl H. Pedersen - NoSpam@my.terminal.dk (yes - it works)
Get 5% discount on VMWare use discount/referral code: MRC-POVPED260

---

Povl H. Pedersen <povlhp@povl-h-pedersens-computer.local> skrev:
>In article
><40ae6aba$0$3047$14726298@news.sunsite
>.dk>, Fihnn Holger wrote:
>> Hej
>>
>> Jeg skal finde ud af hvor stor
>>sandsynligheden er for at 2 enheder går i
>> stykker på samme tid. Hvis I
>>forestiller jer at der normalt sker 2 fejl hver
>> måned med en enhed. Hvad er
>>sandsynligheden så for at en anden enhed fejler
>> indenfor 2 timer af den første.
>>Levetiden for en enhed er 5 år og
>> reperationstiden for en enhed er 2
>>timer. I følge mine egne
>>(u)kvalifiserede
>> beregninger vil det ske 1 gang for
>>hver 912 år. Men det lyder lidt for
>> utroligt.
>
>Hvis vi taler om harddiske, så vil det
>typisk være udefra kommende
>påvirkninger der nedsætter levetiden
>betragteligt. Og 2 diske i samme
>maskine (fra samme sending) vil ofte
>gå i stykker inden for kort tid
>efter hinanden.
>
>Har selv haft 4 diske med næsten
>identiske serienumre dø indenfor
>en mellem 2 og 3 måneder. Går ud fra
>dårlig produktion, eller at
>en container er blevet tabt.
>
>Og så er statistik ligemeget.
>--
>Povl H. Pedersen -
>NoSpam@my.terminal.dk (yes - it works)
>Get 5% discount on VMWare use
>discount/referral code: MRC-POVPED260


Godag godag,

uden at jeg blive for lang i spyttet:

så er der vel tale om ydre påvirkninger,
nævnes kan det vel så at disse påvirkninger ligeledes kan komme fra
eksempelvis disse to emner, ( udadrettede kan man vel sige )
derved de ydre/indre " tryk/hændelse udligne hinanden,
måske derved ligeledes statistik?


--
med venlig hilsen
Adam
www.sitecenter.dk/dannebrog

---

Fihnn Holger wrote:
....
> Jeg skal finde ud af hvor stor sandsynligheden er for at 2 enheder går i
> stykker på samme tid. Hvis I forestiller jer at der normalt sker 2 fejl
> hver måned med en enhed. Hvad er sandsynligheden så for at en anden enhed
> fejler indenfor 2 timer af den første. Levetiden for en enhed er 5 år og
> reperationstiden for en enhed er 2 timer. I følge mine egne
> (u)kvalifiserede beregninger vil det ske 1 gang for hver 912 år. Men det
> lyder lidt for utroligt.

Jeg ville mene, at en Poisson-fordeling er velegnet som 'stochastisk model'
til beskrivelse af forholdene her. Jeg har ikke tid at se nærmere på det
lige nu - men det får jeg sikkert i weekendens løb(?) Så hvis der i
mellemtiden ikke er dukket 'bedre' forslag frem, vil jeg vende tilbage til
sagen (her).
Men prøv evt. i mellemtiden selv at finde 'noget' på nettet vedr.
Poisson-fordelingen.

--
(slet 'fjern' fra mail-adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

"Hans Henrik Hansen" <fjernh2vh@webspeed.dk> skrev i en meddelelse
news:40af0cd5$0$130$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>
>
> Jeg ville mene, at en Poisson-fordeling er velegnet som 'stochastisk
model'
> til beskrivelse af forholdene her. Jeg har ikke tid at se nærmere på det
> lige nu - men det får jeg sikkert i weekendens løb(?) Så hvis der i
> mellemtiden ikke er dukket 'bedre' forslag frem, vil jeg vende tilbage til
> sagen (her).
> Men prøv evt. i mellemtiden selv at finde 'noget' på nettet vedr.
> Poisson-fordelingen.
>
> --
> (slet 'fjern' fra mail-adr.)
> med venlig hilsen
> Hans

Jeg har også kigget på en Poisson-fordeling, men jeg kan ikke rigtig få
værdierne til at stemme.

Formlen lyder: Pn = ((lambda * t)^n * exp(- lambda * t))/n!
, hvor lambda er 1 over den forventede levetid, t er reparationstid og n er
antallet af fejl

Sandsynligheden for 0 fejl er: P0 = ((lambda * t)^0 * exp(- lambda * t))/0!
= exp(- lambda * t)

Sandsynligheden for at der sker fejl er: Pfejl = 1 - exp(- lambda * t)
svarer ca. til lambda * t

Hvis der sker fejl i gennemsnit 2 gange om måneden (for en enhed), den
forventede levetid er 5 år og reparationstiden er 2 timer, hvor stor er
sadsynligheden så for at en anden enhed går i stykker mens den første er
nede. Den anden enhed kan være nede lige før den første (indenfor de 2
timer), nøjagtig på samme tid eller lige efter den første.

Pfejl for den anden enhed må være: Pfejl = 2 timer/24 * 365 * 5 timer =
1/21900

Da det kan ske 3 steder (lige før, samme tid og lige efter) derfor bliver
sandsynligheden 3 gange så stor altså: Pfejl = 3/21900

Sandsynligheden for at begge enheder er nede på samme tid, får jeg til at
være:
P2fejl = 2 fejl/måned * Pfejl = 6 fejl/21900 måned = 1 fejl/3650 måned = 1
fejl/304.166 år

Så mit spørgsmål må være: er der nogen der kan sige om det er rigtigt eller
forkert det jeg har gjort?

Mvh Fihnn

---

Fihnn Holger <fihnnFLYTDET@hotmail.com> wrote:

......
> Så mit spørgsmål må være: er der nogen der kan sige om det er rigtigt eller
> forkert det jeg har gjort?

Jeg skal nok få kigget på det inden i aften! :)

--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

Hans Henrik Hansen wrote:
....
> Jeg skal nok få kigget på det inden i aften! :)

Jeg ville nok bruge formlen på:

http://stat.tamu.edu/stat30x/notes/node70.html

P(X = x) = p^x * e^(-p)/x!

, hvor p i dit eks. vel ville blive 2/5 * 24 * 365 ~ 4.57 * 10^(-5);

hvis jeg indsætter denne værdi, og sætter x=2, får jeg godt nok et *meget
lille* tal ( ~ 10^(-9))??

Måske andre gider kigge på det?

(Jeg kan heller ikke lige overskue, om oplysningen: "Levetiden for en enhed
er 5 år" er ækvivalent med, at der i gennemsnit indtræffer ét svigt inden
for en 5-års periode[, hvilket jeg jo har antaget i mit regneeksempel!])

--
(slet 'fjern' fra mail-adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

Hans Henrik Hansen wrote:
....
> P(X = x) = p^x * e^(-p)/x!
>
> , hvor p i dit eks. vel ville blive 2/5 * 24 * 365 ~ 4.57 * 10^(-5);
>
> hvis jeg indsætter denne værdi, og sætter x=2, får jeg godt nok et *meget
> lille* tal ( ~ 10^(-9))??

hmm...det er vel strengt taget sandsynligheden for to 'samtidige' fejl i en
*bestemt' 2-timers periode?
Så hvis sandsynligheden skal beregnes for en *vilkårlig* 2-timers periode
(inden for fx.5 år), bør der vel multipliceres med antallet af 2-timers
perioder i 5 år = 5 * 24 *365/2 = 21900? - i så fald bliver sandsynligheden
for 'dobbeltfejl' ca. 2.2 * 10^(-5) pr. 5 år!(?)

--
(slet 'fjern' fra mail-adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

Hans Henrik Hansen wrote:
....
> Så hvis sandsynligheden skal beregnes for en *vilkårlig* 2-timers periode
> (inden for fx.5 år), bør der vel multipliceres med antallet af 2-timers
> perioder i 5 år ...

øhmm...denne metode er selvsagt ikke helt 'fin i kanten' - hvilket
umiddelbart kan anskueliggøres ved, at såfremt man 'multiplicerede' over et
tilstrækkeligt langt tidsrum, ville sandsynligheden kunne blive vilkårligt
stor ( > 1)!!

Men for små p-værdier og (relativt) korte tidsintervaller (som her), tror
jeg alligevel, at tilnærmelsen kan være ganske god!(?) :)

--
(slet 'fjern' fra mail-adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

"Hans Henrik Hansen" <fjernh2vh@webspeed.dk> skrev i en meddelelse
news:40af3e78$0$155$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> Hans Henrik Hansen wrote:
> > (Jeg kan heller ikke lige overskue, om oplysningen: "Levetiden for en
enhed
> er 5 år" er ækvivalent med, at der i gennemsnit indtræffer ét svigt inden
> for en 5-års periode[, hvilket jeg jo har antaget i mit regneeksempel!])

Det er det... Tak for din hjælp, jeg vil prøve at rode lidt mere med det
selv

Mvh Fihnn

---

Fihnn Holger <fihnnFLYTDET@hotmail.com> wrote:
....
> Det er det... Tak for din hjælp, jeg vil prøve at rode lidt mere med det
> selv

Man kunne jo også forsøge med en binomialfordeling - som i dette
tilfælde ville give:

P(X = 2) = 21900 * p^2 * (1 - p)^21898, hvilket på min lommeregner
bliver til:

P(X = 2) = 1.68 * 10^(-5)


[, hvor p = 2/(5 * 365 * 24)]

, altså samme størrelsesorden som med Poisson-fordelingen - så helt
skævt er det nok ikke!?

Under alle omstændigheder, ser sandsynligheden for to 'samtidige svigt'
ud til at være ganske lille!


--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans

---

Fihnn Holger wrote:
> Jeg skal finde ud af hvor stor sandsynligheden er for at 2 enheder går i
> stykker på samme tid. Hvis I forestiller jer at der normalt sker 2 fejl hver
> måned med en enhed. Hvad er sandsynligheden så for at en anden enhed fejler
> indenfor 2 timer af den første. Levetiden for en enhed er 5 år og
> reperationstiden for en enhed er 2 timer.

Jeg omformulerer lige spørgsmålet for at opklare, om jeg misforstår det:

To enheder kører i princippet uendelig længe. Sandsynlighedsparameteren
for, at en enhed fejler, er 2 pr. måned. Fejltidspunkterne er
fuldstændig uforudsigelige (dvs fejlene er Poissonfordelte). Nedetiden
pga en fejl er 2 timer. Hvor ofte er de to enheder nede samtidig?

Svar: Den første enhed er nede i gennemsnit (2 timer)×(2 pr. måned) = 4
timer pr. måned. Dvs på ethvert tilfældigt tidspunkt er sandsynligheden
for, at den første enhed er nede, lig med 4 timer/måned (et
dimensionsløst tal).

En fejl på den anden enhed vil medføre samtidige fejl, a) hvis den anden
enhed går ned, mens den første enhed var nede, eller b) hvis den anden
enhed går ned, mindre end 2 timer før den første enhed går ned.
Sandsynligheden for, at en fejl på den anden enhed medfører en samtidig
fejl, er derfor det dobbelte af 4 timer/måned.

(For nemheds skyld ser jeg bort fra de sjældne tilfælde, hvor flere fejl
på samme enhed sker inden for 4 timer. Det er en god approksimation,
fordi (2 timer) << (2 pr. måned)^-1.)

Givet at den anden enhed også går ned i gennemsnit 2 gange pr. måned, må
raten for samtidige fejl være (2 gange pr. måned)×(2 × 4 timer/måned) =
0,022 pr. måned. Eller én samtidig fejl pr. 3,8 år.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:40b07ed8$0$22016$ba624c82@nntp04.dk.telia.net...
> Jeg omformulerer lige spørgsmålet for at opklare, om jeg misforstår det:
>
> To enheder kører i princippet uendelig længe. Sandsynlighedsparameteren
> for, at en enhed fejler, er 2 pr. måned. Fejltidspunkterne er
> fuldstændig uforudsigelige (dvs fejlene er Poissonfordelte). Nedetiden
> pga en fejl er 2 timer. Hvor ofte er de to enheder nede samtidig?
>
> Svar: Den første enhed er nede i gennemsnit (2 timer)×(2 pr. måned) = 4
> timer pr. måned. Dvs på ethvert tilfældigt tidspunkt er sandsynligheden
> for, at den første enhed er nede, lig med 4 timer/måned (et
> dimensionsløst tal).

> En fejl på den anden enhed vil medføre samtidige fejl, a) hvis den anden
> enhed går ned, mens den første enhed var nede, eller b) hvis den anden
> enhed går ned, mindre end 2 timer før den første enhed går ned.
> Sandsynligheden for, at en fejl på den anden enhed medfører en samtidig
> fejl, er derfor det dobbelte af 4 timer/måned.

Du angiver ikke, om du arbejder i kontinuert eller diskret tid for
svigttidspunkter

1) Enten arbejder du i kontinuert tid, og i så fald er det ikke meningsfyldt
at tildele positiv sandsynlighed til punkthændelser.

2) Ellers arbejder du stiltiende i diskret tid (med hvilken inddeling; 1
måned ~720 timer?) og modellerer hændelsen 'en enhed svigter' som en
Bernoullifordelt (eller mere generelt binomialfordelt) stokastisk variabel
med parameter 4 timer/måned. Men det giver diskretiseringsproblemer.

Her er et alternativt forslag i kontinuert tid, som "virker" og er i retning
af det, du vist har tænkt på: Modellér problemet som en stationær
Poissonproces, dvs. antag at

(a) Antal svigt i tidsintervallet [t_1,t_2] er uafhængigt af antal svigt i
[t_3,t_4] for 0<=t_1<t_2<t_3<t_4.

(b) Antal svigt i et tidsinterval af længde t er Poissonfordelt med
parameter
lambda*t, hvor lambda>0 er intensiteten, altså

lambda = det gennemsnitlige antal svigt i [0,1]

Begrænser man sig til et endeligt observationsvindue fås præcis
betingelserne i starten af dit indlæg. Men det er ganske unødvendigt. Kald
ovenstående en Poisson([0,uendelig),lambda)-proces. Det er en velkendt
egenskab ved Poisson([0,uendelig),lambda), at ventetiden T mellem ændringer
er eksponentialfordelt med parameter lambda. Dvs. hvis n betegner antallet
af enheder, vælges lambda = n*(2 fejl/md)/(720 timer/md), og for et
vilkårlig fastholdt svigt på en enhed er sandsynligheden for, at det næste
svigt indtræffer under reparationsperioden givet ved:

P(T<=2) ~ 1-exp(-0.002*n).

Hvis der er tale om meget få enheder (færre end 4), er det nok nødvendigt at
tage højde for nedetiden, dvs. betinge med N([t,t+2])<=n (N(I) er antal fejl
i intervallet I) for alle t>=0.

/Anders.

---

Anders Gorst-Rasmussen wrote:
> "Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
>>To enheder kører i princippet uendelig længe. Sandsynlighedsparameteren
>>for, at en enhed fejler, er 2 pr. måned. Fejltidspunkterne er
>>fuldstændig uforudsigelige (dvs fejlene er Poissonfordelte). Nedetiden
>>pga en fejl er 2 timer. Hvor ofte er de to enheder nede samtidig?
>>
>>Svar: Den første enhed er nede i gennemsnit (2 timer)×(2 pr. måned) = 4
>>timer pr. måned. Dvs på ethvert tilfældigt tidspunkt er sandsynligheden
>>for, at den første enhed er nede, lig med 4 timer/måned (et
>>dimensionsløst tal).
>
> Du angiver ikke, om du arbejder i kontinuert eller diskret tid for
> svigttidspunkter

Jeg behandler (naturligvis) tiden som en kontinuert størrelse.

> 1) Enten arbejder du i kontinuert tid,

Ja.

> og i så fald er det ikke meningsfyldt
> at tildele positiv sandsynlighed til punkthændelser.

Det gør jeg heller ikke. Sandsynligheden for, at en enhed /går/ ned i et
infinitesimalt tidsinterval, er lig 2 pr. måned gange længden af
tidsintervallet. Sandsynligheden for, at en enhed /er/ nede på et
tilfældigt udvalgt tidspunkt, er lig den totale nedetid divideret med
den totale køretid (hvilket giver 4 timer/måned = 0,5 %).

> (b) Antal svigt i et tidsinterval af længde t er Poissonfordelt med
> parameter
> lambda*t, hvor lambda>0 er intensiteten, altså

Har lambda ikke dimension af tid^-1 her?

> lambda = det gennemsnitlige antal svigt i [0,1]

Men her er lambda dimensionsløst.

> Begrænser man sig til et endeligt observationsvindue fås præcis
> betingelserne i starten af dit indlæg. Men det er ganske unødvendigt. Kald
> ovenstående en Poisson([0,uendelig),lambda)-proces. Det er en velkendt
> egenskab ved Poisson([0,uendelig),lambda), at ventetiden T mellem ændringer
> er eksponentialfordelt med parameter lambda. Dvs. hvis n betegner antallet
> af enheder, vælges lambda = n*(2 fejl/md)/(720 timer/md), og for et
> vilkårlig fastholdt svigt på en enhed er sandsynligheden for, at det næste
> svigt indtræffer under reparationsperioden givet ved:
>
> P(T<=2) ~ 1-exp(-0.002*n).

Jeg ville forvente, at eksponenten var -(n*2/720)*2. Det er den ikke.


Det er i øvrigt ikke det samme spørgsmål, du svarer på, som jeg svarer
på. Du antager, at én enhed er nede, og finder så sandsynligheden for,
at endnu én går ned (tror jeg). Jeg beregner, hvor ofte netop 2 enheder
går ned samtidig.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:40b0bb11$0$28856$ba624c82@nntp04.dk.telia.net...
> > Du angiver ikke, om du arbejder i kontinuert eller diskret tid for
> > svigttidspunkter
>
> Jeg behandler (naturligvis) tiden som en kontinuert størrelse.

OK.

> > 1) Enten arbejder du i kontinuert tid,
>
> Ja.
>
> > og i så fald er det ikke meningsfyldt
> > at tildele positiv sandsynlighed til punkthændelser.
>
> Det gør jeg heller ikke. Sandsynligheden for, at en enhed /går/ ned i et
> infinitesimalt tidsinterval, er lig 2 pr. måned gange længden af
> tidsintervallet. Sandsynligheden for, at en enhed /er/ nede på et
> tilfældigt udvalgt tidspunkt, er lig den totale nedetid divideret med
> den totale køretid (hvilket giver 4 timer/måned = 0,5 %).

OK. Det fremgik ikke af dit første indlæg. Men så er vi enige om, at svigt
på en enhed følger en Poissonproces. Forskellen er, at du approksimerer
sandsynligheder i Poissonfordelingen.

> > (b) Antal svigt i et tidsinterval af længde t er Poissonfordelt med
> > parameter
> > lambda*t, hvor lambda>0 er intensiteten, altså
>
> Har lambda ikke dimension af tid^-1 her?
>
> > lambda = det gennemsnitlige antal svigt i [0,1]
>
> Men her er lambda dimensionsløst.

Nu er jeg hverken fysiker eller ingeniør, så jeg sløser nok lidt med
enhederne.

> > Begrænser man sig til et endeligt observationsvindue fås præcis
> > betingelserne i starten af dit indlæg. Men det er ganske unødvendigt.
Kald
> > ovenstående en Poisson([0,uendelig),lambda)-proces. Det er en velkendt
> > egenskab ved Poisson([0,uendelig),lambda), at ventetiden T mellem
ændringer
> > er eksponentialfordelt med parameter lambda. Dvs. hvis n betegner
antallet
> > af enheder, vælges lambda = n*(2 fejl/md)/(720 timer/md), og for et
> > vilkårlig fastholdt svigt på en enhed er sandsynligheden for, at det
næste
> > svigt indtræffer under reparationsperioden givet ved:
> >
> > P(T<=2) ~ 1-exp(-0.002*n).
>
> Jeg ville forvente, at eksponenten var -(n*2/720)*2. Det er den ikke.

Det har du ret i. Eksponenten er -(n*2/720)*2, og sandsynligheden bør
desuden multipliceres med 2, eftersom

P(mindst to enheder nede samtidig) ~ 2*P(T<=2) = 2*(1-exp(-n*2/720)*2)).

> Det er i øvrigt ikke det samme spørgsmål, du svarer på, som jeg svarer
> på. Du antager, at én enhed er nede, og finder så sandsynligheden for,
> at endnu én går ned (tror jeg). Jeg beregner, hvor ofte netop 2 enheder
> går ned samtidig.

Nej, efter at du har uddybet din løsning, er det klart, at der ikke er tale
om helt samme spørgsmål - men næsten. Ved at bruge ankomsttiderne bestemmer
jeg sandsynligheden for, at _mindst_ én enhed svigter, mens en anden enhed
er nede; sådan kan det oprindelige spørgsmål også forstås. En sådan tilgang
virker mere naturlig for populationer med mere end to enheder -
sandsynligheden for, at fx præcis tre eller flere enheder er nede samtidig
er næppe negligibel.

Begrænser man sig til to enheder er metoden stort set magen til din -
forskellen er, at jeg ikke approksimerer Poissonsandsynligheder, mens du
bruger P(N([0,h])=1) ~ lambda*h for "små" h>0 (hvor lambda =4/720 er
intensiteten og N(B)=(antal svigt i intervallet B)). Resultatet bliver
næsten det samme. Hvis X betegner tidspunktet, hvor en givet enhed svigter
giver min tilgang:

P(netop to enheder nede samtidig) =

P(præcis én enhed svigter højest to timer før X|X) + P(præcis én enhed
svigter højest to timer efter X|X) =

2*P(N([0,2]) = 1) = 4*exp(-2*lambda)*(2*lambda) ~ 4*lambda,

af stationaritet og hvor jeg her også ser bort fra hændelsen, at en enhed
svigter både før og efter X.

---

Jonas Møller Larsen wrote:
>
> Svar: Den første enhed er nede i gennemsnit (2 timer)×(2 pr. måned) = 4
> timer pr. måned. Dvs på ethvert tilfældigt tidspunkt er sandsynligheden
> for, at den første enhed er nede, lig med 4 timer/måned (et
> dimensionsløst tal).

Ja, netop. Så den første enhed er nede i

(4 h)/((365/12)*24 h) = 2/365 = 0,548 %

af tiden.

Sandsynligheden for at begge enheder er nede på et »tilfældigt« tids-
punkt, er (2/365)² = 0,00300 %. Det giver en »oppetid« på 99,997 %.

Hvis man i stedet ønsker *antallet* af begivenheder hvor begge enheder
er nede, er det jo lidt sværere, men her er din metode sikkert o.k.

Noget helt andet er at hele grundforudsætningen for denne diskussion,
at fejlene på de to enheder er uafhængige, sikkert ikke holder i
praksis. Man kan let forestille sig at de samme faktorer som bringer
enhed 1 ud af spil, også kan ramme enhed 2. Og man kan forestille sig
at den ene enhed er mere belastet end normalt når den anden enhed er
ude af drift. Men det er selvfølgelig lettest at regne med uafhængighed.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40B1F960.470BB60E@jeppesn.dk...
> Jonas Møller Larsen wrote:
> >
> > Svar: Den første enhed er nede i gennemsnit (2 timer)×(2 pr. måned) = 4
> > timer pr. måned. Dvs på ethvert tilfældigt tidspunkt er sandsynligheden
> > for, at den første enhed er nede, lig med 4 timer/måned (et
> > dimensionsløst tal).
>
> Ja, netop. Så den første enhed er nede i
>
> (4 h)/((365/12)*24 h) = 2/365 = 0,548 %
>
> af tiden.
>
> Sandsynligheden for at begge enheder er nede på et »tilfældigt« tids-
> punkt, er (2/365)² = 0,00300 %. Det giver en »oppetid« på 99,997 %.

Det er en udmærket approksimation, fordi reparationstiden er så forholdsvis
kort, men generelt bør man være varsom med at behandle en rate som en
sandsynlighed, når den nu ikke er det. Hvis f.eks. en enhed i snit svigter
én gang per måned i én måned ad gangen, så dúr ovenstående ikke.

---

Anders Gorst-Rasmussen wrote:
>
> > Ja, netop. Så den første enhed er nede i
> >
> > (4 h)/((365/12)*24 h) = 2/365 = 0,548 %
> >
> > af tiden.
> >
> > Sandsynligheden for at begge enheder er nede på et »tilfældigt« tids-
> > punkt, er (2/365)² = 0,00300 %. Det giver en »oppetid« på 99,997 %.
>
> Det er en udmærket approksimation, fordi reparationstiden er så forholdsvis
> kort, men generelt bør man være varsom med at behandle en rate som en
> sandsynlighed, når den nu ikke er det. Hvis f.eks. en enhed i snit svigter
> én gang per måned i én måned ad gangen, så dúr ovenstående ikke.

Det kan jeg ikke være enig i. Under de givne forudsætninger er de
(2/365)² den eksakte sandsynlighed for at begge enheder er nede på et
tilfældigt tidspunkt; det er ingen approksimation.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40B4FF77.7F391D08@jeppesn.dk...
> Anders Gorst-Rasmussen wrote:
> >
> > > Ja, netop. Så den første enhed er nede i
> > >
> > > (4 h)/((365/12)*24 h) = 2/365 = 0,548 %
> > >
> > > af tiden.
> > >
> > > Sandsynligheden for at begge enheder er nede på et »tilfældigt« tids-
> > > punkt, er (2/365)² = 0,00300 %. Det giver en »oppetid« på 99,997 %.
> >
> > Det er en udmærket approksimation, fordi reparationstiden er så
forholdsvis
> > kort, men generelt bør man være varsom med at behandle en rate som en
> > sandsynlighed, når den nu ikke er det. Hvis f.eks. en enhed i snit
svigter
> > én gang per måned i én måned ad gangen, så dúr ovenstående ikke.
>
> Det kan jeg ikke være enig i. Under de givne forudsætninger er de
> (2/365)² den eksakte sandsynlighed for at begge enheder er nede på et
> tilfældigt tidspunkt; det er ingen approksimation.

Hvad er da disse forudsætninger - og hvad hvis den gennemsnitlige nedetid er
100%?
Hvis antal svigt på en enhed følger en homogen Poissonproces - hvilket må
være naturligt at antage på baggrund af spørgerens oplysninger - kan jeg
ikke se, hvordan ovenstående skulle være eksakt.

---

Anders Gorst-Rasmussen wrote:
> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
>>Det kan jeg ikke være enig i. Under de givne forudsætninger er de
>>(2/365)² den eksakte sandsynlighed for at begge enheder er nede på et
>>tilfældigt tidspunkt; det er ingen approksimation.
>
> Hvad er da disse forudsætninger

Forudsætningerne er: 1) Når en enhed kører, går den ned med en
sandsynlighed på lambda = 1/T = 2 gange pr. måned. 2) Mens enheden er
nede (i t = 2 timer pr. nedbrud) er sandsynligheden nul for at den går
ned igen.

Den relative nedetid beregner Jeppe og jeg så med formlen t/T, hvilket
er en approksimation til den eksakte formel, som er t/(t+T) med disse
forudsætninger.

Dette er dog en udmærket approksimation, idet t/T = t/(t+T) × (1+t/T).
Sålænge t er meget mindre end T er "korrektionsfaktoren" (1+t/T) ret tæt
på én.

> - og hvad hvis den gennemsnitlige nedetid er
> 100%?

Det er den kun, hvis lambda = 1/T = uendelig.

> Hvis antal svigt på en enhed følger en homogen Poissonproces - hvilket må
> være naturligt at antage på baggrund af spørgerens oplysninger

Nej; Mens enheden er nede, er sandsynligheden for nedbrud jo
midlertidigt nul, men i Poissonprocessen antager man en tidsuafhængig
nedbrudssandsynlighed, lambda.

Antagelsen om en Poissonproces introducerer dermed relative fejl i
størrelsesordenen t/T -- samme størrelsesorden som korrektionsfaktoren
ovenfor. Kun hvis nedetiden, t, er nul, er Poissonantagelsen helt korrekt.

Når man først har antaget en Poissonproces, er der derfor ingen grund
til ikke også at lave approksimationer som t/(t+T) ~= t/T.

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
>
> >>Det kan jeg ikke være enig i. Under de givne forudsætninger er de
> >>(2/365)² den eksakte sandsynlighed for at begge enheder er nede på et
> >>tilfældigt tidspunkt; det er ingen approksimation.
> >
> > Hvad er da disse forudsætninger
>
> Forudsætningerne er: 1) Når en enhed kører, går den ned med en
> sandsynlighed på lambda = 1/T = 2 gange pr. måned. 2) Mens enheden er
> nede (i t = 2 timer pr. nedbrud) er sandsynligheden nul for at den går
> ned igen.
>
> Den relative nedetid beregner Jeppe og jeg så med formlen t/T, hvilket
> er en approksimation til den eksakte formel, som er t/(t+T) med disse
> forudsætninger.

Jeg fortolker det sådan at det er t/(t+T) der er 2/365, og så er 1/T
jo ikke eksakt 2 reciprokke måneder. Men det er jo et fortolknings-
spørgsmål.

(Det kommer an på om det tager en måned eller en måned plus 2 gange
2 timer, i gennemsnit, for to oppeperioder og to nedbrud.)

Under alle omstændigeder er det nemt at angive den relative nedetid,
og den relative nedetid er identisk med sandsynligheden for at den er
nede på et tilfældigt tidspunkt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:40b51069$0$5960$ba624c82@nntp03.dk.telia.net...

> > Hvad er da disse forudsætninger
>
> Forudsætningerne er: 1) Når en enhed kører, går den ned med en
> sandsynlighed på lambda = 1/T = 2 gange pr. måned. 2) Mens enheden er
> nede (i t = 2 timer pr. nedbrud) er sandsynligheden nul for at den går
> ned igen.

OK, så er vi enige.

> Den relative nedetid beregner Jeppe og jeg så med formlen t/T, hvilket
> er en approksimation til den eksakte formel, som er t/(t+T) med disse
> forudsætninger.
>
> Dette er dog en udmærket approksimation, idet t/T = t/(t+T) × (1+t/T).
> Sålænge t er meget mindre end T er "korrektionsfaktoren" (1+t/T) ret tæt
> på én.

OK, det var svært at tyde af den tidligere brug af såvel formler som
terminologi.

> > - og hvad hvis den gennemsnitlige nedetid er
> > 100%?
>
> Det er den kun, hvis lambda = 1/T = uendelig.

Ja, den påstand tager jeg i mig igen.

> > Hvis antal svigt på en enhed følger en homogen Poissonproces - hvilket
må
> > være naturligt at antage på baggrund af spørgerens oplysninger
>
> Nej; Mens enheden er nede, er sandsynligheden for nedbrud jo
> midlertidigt nul, men i Poissonprocessen antager man en tidsuafhængig
> nedbrudssandsynlighed, lambda.

Nuvel så, en betinget Poissonproces. Jeg er skam klar over disse
forudsætninger og Poissonmodellens mangler i det henseende: den egner sig
bedst til tilfældet med mange enheder. Egentlig undrede jeg mig blot over
jeres brug af gennemsnitlige nedetider - men det vist opklaret nu.

> Antagelsen om en Poissonproces introducerer dermed relative fejl i
> størrelsesordenen t/T -- samme størrelsesorden som korrektionsfaktoren
> ovenfor. Kun hvis nedetiden, t, er nul, er Poissonantagelsen helt korrekt.

Ja, en "helt korrekt" model er en Poissonproces betinget med, at tiden
mellem sucessive hændelser er mindst 2 timer.