---

Skal vi ikke have hjerne cellerne igang nu. Jeg syns det kunne være sjovt
hvis vi lavede en streng med gåder og andre matematiske ligninger som man
kan fyrre af ved selskaber, fester mm.

Jeg lægger for:

Opgave 1:

Tegn 9 prikker på et papir. (3*3)
Du skal nu tegne 4 rette linjer uden at løfte blyanten og alle 9 prikker
skal være streget over.


Løsningen følger i næste indlæg i denne streng, men prøv om du kan lave den


Filip

---

Løsning til forrige opgave

Før:
+ + +

+ + +

+ + +


Efter
+---+---+---
| \ /
+ + +
| \/
+ + +
| /

Kunne du gætte den?

Filip

---

> Løsning til forrige opgave
>
> Før:
> + + +
>
> + + +
>
> + + +
>
>
> Efter
> +---+---+---
> | \ /
> + + +
> | \/
> + + +
> | /
>
> Kunne du gætte den?

Jeg kendte den godt, problemet er at man ikke lige tænker på at man må tegne
"ud over hjørnerne", eller det var ihvertfald derfor jeg ikke kunne løse den
:)


Brian

---

Du har 6 tændstikker til rådighed. Du må naturligvis ikke knække, bøje eller
på anden måde ændre ved tændstikkerne.

Du skal nu konstruere en figur bestående af 4 ligesidede trekanter
( ligesidet = alle 3 sider i trekanten er lige lange )

Jeg kan godt hjælpe og sige at sidelængden i alle trekanterne er netop en
tændstik.

Hvis der ikke er faldet en løsning inden for et døgn, lægger jeg løsningen
ud.

mvh:
Krumme

---

Klassisk opgave. Løsningen er at placere 3 af tændstikkerne i en ligesidet
trekant liggende fladt på bordet. De resterende 3 tændstikker placeres
således at de danner en pyramide med toppunkt over midten af den
eksisterende ligesidede trekant. Hver af de tre flader af pyramiden danner
de resterende 3 ligesidede trekanter.

- Jesper

"Krumme" <kasper@bavnshoj.dk> wrote in message
news:c6bcpl$a6k02$1@ID-211368.news.uni-berlin.de...
> Du har 6 tændstikker til rådighed. Du må naturligvis ikke knække, bøje
eller
> på anden måde ændre ved tændstikkerne.
>
> Du skal nu konstruere en figur bestående af 4 ligesidede trekanter
> ( ligesidet = alle 3 sider i trekanten er lige lange )
>
> Jeg kan godt hjælpe og sige at sidelængden i alle trekanterne er netop en
> tændstik.
>
> Hvis der ikke er faldet en løsning inden for et døgn, lægger jeg løsningen
> ud.
>
> mvh:
> Krumme
>
>

---

Hvad med følgende opgave:

Du har 6 tændstikker til rådighed. Du må naturligvis ikke knække, bøje eller
på anden måde ændre ved tændstikkerne.

Du skal nu konstruere en figur med så mange ligesidede trekanter
( ligesidet = alle 3 sider i trekanten er lige lange )
som muligt.

Er der nogen, der kan gøre det bedre end 8?

Jeg kan godt hjælpe og sige at sidelængden i alle trekanterne
ikke behøver være én tændstik - eller for den sags skyld den samme.

Anders.

---

Scripsit Anders Nygaard <dnygaard@post.tele.dk>

> Du har 6 tændstikker til rådighed.
> Du skal nu konstruere en figur med så mange ligesidede trekanter
> som muligt.

> Er der nogen, der kan gøre det bedre end 8?

Nej, det er umuligt. Følgende argument tager for givet at det hele
foregår i en plan:

Tag en hvilkensomhelt figur som kan bygges med 6 tændstikker og
orienter den sådan at en af de ligesidede trekanter har en vandret
side. Det er let at se at hvis der er en anden ligesidet trekant i
figuren som *ikke* har en vandret side, kan de to trekanter ikke have
nogen tændstik til fælles. Så har vi allerede brugt alle 6
tændstikker, og ingen tredje trekant kan have tændstikker tilfælles
med både den første og den anden. Figuren har så kun to trekanter, og
det er ihvertfald ikke optimalt.

Altså kan vi uden tab af generalitet antage at hver af de 6
tændstikker ligger enten vandret, 120° mod højre eller 120° mod
venstre. Ved at vælge tændstikkerne tilstrækkelig lange (eller krympe
figuren tilsvarende) vil ethvert par af ikke-parallelle tændstikker
krydse hinanden, og derfor vil enhver tripel af én tændstik i hver af
de tre orienteringer danne en ligesidet trekant.

Tilbage er der nu kun at analysere hvor mange trekanter det giver alt
efter hvor mange tændstikker figuren har i hver retning. Vi kan altid
dreje den sådan "vandret" er den (eller en af de) retninger med flest
tændstikker og evt spejle så "skrå mod venstre" ikke har færre end
"skrå mod højre". Så er mulighederne (idet summen skal give 6)

4 × 1 × 1 = 4
3 × 2 × 1 = 6
2 × 2 × 2 = 8

Nederste kombination er den der giver flest trekanter. Den kan
realiseres fx som en almindelig davidsstjerne (som indeholder 6 små og
2 store trekanter).

--
Henning Makholm "Gå ud i solen eller regnen, smil, køb en ny trøje,
slå en sludder af med købmanden, puds dine støvler. Lev!"

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> Ved at vælge tændstikkerne tilstrækkelig lange (eller krympe figuren
> tilsvarende) vil ethvert par af ikke-parallelle tændstikker krydse
> hinanden, og derfor vil enhver tripel af én tændstik i hver af de
> tre orienteringer danne en ligesidet trekant.

Undtagen hvis de tre tændstikker skærer hinanden i et punkt, men det
kan man undgå ved at parallelforskyde en af dem en smule.

--
Henning Makholm "Jeg køber intet af Sulla, og selv om uordenen griber
planmæssigt om sig, så er vi endnu ikke nået dertil hvor
ordentlige mennesker kan tillade sig at stjæle slaver fra
hinanden. Så er det ligegyldigt, hvor stærke, politiske modstandere vi er."

---

Filip wrote:

> +---+---+---
>| \ /
> + + +
>| \/
> + + +
>| /
>
> Kunne du gætte den?

Jeg kan i hvert fald ikke se hvad det dér er. Der er nogle steder hvor
der er dødsstraf for at bruge variabel bredde skrifttyper til ASCII art.
Det er nemlig umuligt for modtageren at læse, med mindre skrifttypen
også er oplyst, og selv der er der ingen garantier. Man bruger med
andre ord *altid* fast bredde når man "tegner" på Usenet. Her er min
udgave af løsningen (som ser pæn ud med fast bredde):

|---- 1 ----|

-- O---O---O--- --+
| |\ / /
| | \ / /
| | \ / /
| O O O /
| \ /
3 | + 2
| / \
/ | O O O /
/ | | / /
\ | | / /
-- |/ --+
4

\ /
\/

--
PeKaJe

As of next Tuesday, C will be flushed in favor of COBOL.
Please update your programs.

---

Peter Jensen skrev:

>andre ord *altid* fast bredde når man "tegner" på Usenet. Her er min
>udgave af løsningen (som ser pæn ud med fast bredde):

Pæn? Muligvis, men forvirrende. Hvorfor ikke bare:

O---O-1-O---O
|\ /
| \ /
| 4 /
O O O
| \ 2
3 +
| / \
O O O
| /
| /
|/
O

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:

> Pæn? Muligvis, men forvirrende. Hvorfor ikke bare:
>
> O---O-1-O---O
> |\ /
> | \ /
> | 4 /
> O O O
> | \ 2
> 3 +
> | / \
> O O O
> | /
> | /
> |/
> O

Det er vist et spørgsmål om hvordan man er vant til at læse tegninger.
Din version hjælper dog ikke på overskueligheden ved at bruge 'O' i
flere sammenhænge. Tallene burde heller ikke være for tæt på
"prikkerne", da det forværrer overskueligheden. Hvad med dette:

O---O-1-O---
|\ /
| 4 2
| \ /
O O O
| \ /
3 X
| / \
O O O
| /
| /
|/

--
PeKaJe

The difference between reality and unreality is that reality has so
little to recommend it. -- Allan Sherman

---

Peter Jensen wrote:

> Hvad med dette:
>
> O---O-1-O---
> |\ /
> | 4 2
> | \ /
> O O O
> | \ /
> 3 X
> | / \
> O O O
> | /
> | /
> |/
>

Hvis man påbegynder streg 1 lidt senere, så kan man vel klare sig helt
uden nummerering:


O O---O---
|\ /
| \ /
| \ /
O O O
| \ /
| X
| / \
O O O
| /
| /
|/


-Rune

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospamius@lundhansen.dk>

> Pæn? Muligvis, men forvirrende. Hvorfor ikke bare:

Eller blot

O O---O---
|\ /
| \ /
| \ /
O O O
| \ /
| X
| / \
O O O
| /
| /
|/

Tallene skal ikke bruges til noget alligevel, skal de?

--
Henning Makholm "Det må være spændende at bo på
en kugle. Har I nogen sinde besøgt de
egne, hvor folk går rundt med hovedet nedad?"

---

Filip skrev:
> Opgave 1: [...]

Opgave 2:
Plant ti træer i fem rækker med hver fire træer.

---

> Opgave 2:
> Plant ti træer i fem rækker med hver fire træer.

Tegn en stjerne med 5 takker. Placer et træ i hver tak og i hver
skæringspunkt.

Sybil

---

Sybil skrev:
>> Opgave 2:
>> Plant ti træer i fem rækker med hver fire træer.
> Tegn en stjerne med 5 takker. Placer et træ i hver tak og
> i hver skæringspunkt.

Bingo!

Her er en til (fra James Fixx):
Opgave 4:
Skær en kage (normal lagkage-cylinder-facon) i otte
lige store stykker, men du må kun skære tre gange.

P.s.:
Løsningen har jeg revet ud af bogen og forlagt.
Jeg har endnu ikke regnet den ud.

--
Med venlig hilsen Herluf Holdt

---

"Herluf Holdt, 3140" <herlufholdtFJERN@privat.dk> writes:

> Opgave 4:
> Skær en kage (normal lagkage-cylinder-facon) i otte
> lige store stykker, men du må kun skære tre gange.

Del kagen i fire vha. to vertikale snit, og dernæst i otte vha. et
horisontalt snit.

--
Jesper Harder <http://purl.org/harder/>

---

Jesper Harder wrote:
>
> "Herluf Holdt, 3140" <herlufholdtFJERN@privat.dk> writes:
>
> > Opgave 4:
> > Skær en kage (normal lagkage-cylinder-facon) i otte
> > lige store stykker, men du må kun skære tre gange.
>
> Del kagen i fire vha. to vertikale snit, og dernæst i otte vha. et
> horisontalt snit.

Tja, foreløbig har jeg kendt alle opgaver der er stillet her i tråden.
Hvad med den her:

http://www.cl.cam.ac.uk/users/jeh1004/maths/puzzles/missing.gif

Hvor er det manglende kvadrat?
(Er arealmålet ikke translationsinvariant?)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> http://www.cl.cam.ac.uk/users/jeh1004/maths/puzzles/missing.gif

> Hvor er det manglende kvadrat?
> (Er arealmålet ikke translationsinvariant?)

Jo, men hypotenusen er ikke ret (hverken for oven eller for neden).

--
Henning Makholm "De kan rejse hid og did i verden nok så flot
Og er helt fortrolig med alverdens militær"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Jo, men hypotenusen er ikke ret (hverken for oven eller for neden).

Nej. Og derfor var det så uendeligt pinligt, at Ole Stephensen afviste
det svar, da en 10-årig sendte det ind, efter at Ole havde stillet
opgaven i morgen-tv.

Jeg kan ikke huske, hvordan han viste, at hypotenusen var helt lige,
men det var noget sjusk.

Der var også en eller anden noget ældre seer, der havde sendt en mere
matematisk forklaring ind. Den forstod den ærede opgavestiller
åbenbart ikke.
--
Peter B. Juul, o.-.o "Vreden gudinde besyng,
The RockBear. ((^)) som greb Montaquiden Romeo."
I speak only 0}._.{0 -Shakespeares "Iliaden"
for myself. O/ \O

---

Peter B. Juul skrev:

>> Jo, men hypotenusen er ikke ret (hverken for oven eller for neden).

>Nej. Og derfor var det så uendeligt pinligt, at Ole Stephensen afviste
>det svar, da en 10-årig sendte det ind, efter at Ole havde stillet
>opgaven i morgen-tv.

   Dommaren säger at Leisner er fäl ...

stod der i avisen dagen efter at Leisner i en nordisk konkurrence
havde skubbet en lille mand til side selv om han havde det
rigtige svar. 'Omkvædet' var ellers "Dommaren säger at svaret er
fel" når svaret ikke var rigtigt.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>Hvor er det manglende kvadrat?

3/8 != 2/5

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Tja, foreløbig har jeg kendt alle opgaver der er stillet her i tråden.

Hvad med den her, som strengt taget ikke er en gåde.
(Hm. Mon ikke man skulle få taget sig sammen og få investeret
i en skanner.)

Problem: Hvad er der galt med følgende bevis?


Fig.42:

C_1
\
/\ C
/ \
/ \
/ \
/ \
A /__________\____ B_1
/ B
/
A_1


67. On the proof of the theorem of the sum on the interior angels
of a triangle.

Take an arbitrary triangle ABC and walk around it along its perimeter
from the vertex A through vertices B and C and back to A. Imagine,
that while carrying out this circumambulation [godt ord!] I hold
in front of me an arm, stretching it in the direction of my motion.
Moving from A to B, I keep the direction of my arm unchanged. Reaching
vertex B, I turn my arm counterclockwise by an angle B_1BC (Fig.42).
Further, in moving from B to C the direction of the arm again remains
unchanged. At point C the arm makes a new turn - by an angle C_1CA.
Then, in moving from C to A, the direction of the arm does not change and
finally, at A the arm makes the last turn - by an angle of A_1AB.
The circumabulation finished, I have returned to the initial point,
the arm has returned to its original position - it is again
directed from A to B. In the course of the circumabulation, the arm has
undergone one complete revoulution, i.e. has rotated 360 degrees.
But this complete revolution is the sum of three rotations, namely by the
angles B_1BC, C_1CA, A_1AB, which are exterior for the given triangle ABC.
Thus angle B_1BC + angle C_1Ca + angle A_1AB = 360 degrees.
But each of the exterior angles may be replaced by the difference between
180 degrees and the corresponding interior angle. Therefore we have:

(180 deg - angle B) + (180 deg - angle C) + (180 deg - angle A) = 360 deg

where angle A, angle B and angle C are the interior angles of the triangle ABC.
Removing the brackets and collecting similar terms, we arrive at the equality:

angle A + angle B + angle C = 180 deg



--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
>
>
> Problem: Hvad er der galt med følgende bevis?
>[...]

Det virker da meget rigtigt. Det svarer helt til det vi snakkede om i
tråden »Jordens omkreds + én meter«.

Beviset holder dog ikke i en generel riemannsk mangfoldighed, men kun
i det sædvanlige R².

Der specielle for R^n er at der er en *kanonisk* identifikation af
de enkelte tangentrum med R^n selv. Man kan derfor bruge beviset.

I andre riemannske mangfoldigheder M er det anderledes. For to punkter
p og q på mangfoldigheden er begge tangentrummene T_p(M) og T_q(M)
godt nok isomorfe med R^n, men der er ingen *kanonisk* isomorfi. For
ethvert valgt af stykkevis differentiabel kurve på M fra p til q får
man en isomorfi mellem T_p(M) og T_q(M) ved at betragte parallelforskyd-
ning af tangentvektorer langs med kurven. Men ingen af alle disse
mulige isomorfier er kanonisk.

Derfor kan vinkelsummen i en geodætisk trekant på en mangfoldighed
afvige fra pi (radianer), og det citerede bevis er ikke gyldigt her.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jens Axel Søgaard wrote:

>>Problem: Hvad er der galt med følgende bevis?
>>[...]

> Det virker da meget rigtigt. Det svarer helt til det vi snakkede om i
> tråden »Jordens omkreds + én meter«.
>
> Beviset holder dog ikke i en generel riemannsk mangfoldighed, men kun
> i det sædvanlige R².

....

> Derfor kan vinkelsummen i en geodætisk trekant på en mangfoldighed
> afvige fra pi (radianer), og det citerede bevis er ikke gyldigt her.

Du er inde på det rigtige.

Det der mangler i beviset er derfor en reference til en egenskab, som
adskiller planen fra for eksemepel en kugleoverflade. Men hvor i beviset
bruges den særlige egenskab ved planen?

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>

> Det der mangler i beviset er derfor en reference til en egenskab, som
> adskiller planen fra for eksemepel en kugleoverflade. Men hvor i beviset
> bruges den særlige egenskab ved planen?

Det er indforstået i hele konstruktionen at man kan snakke om en
halvlinjes *retning* som noget der er uafhængigt af det punkt
halvlinjen udgår fra. (Og det er jo netop den egenskab Jeppe beskrev).

> Moving from A to B, I keep the direction of my arm unchanged.
[...]
> The circumabulation finished, I have returned to the initial point,
> the arm has returned to its original position

Eller (måske det svar du fisker efter):

> In the course of the circumabulation, the arm has undergone one
> complete revoulution, i.e. has rotated 360 degrees.

Man *kan* få resten af konstruktionen til at virke hvis man i stedet
for at sammenligne med den oprindelige armretning bruger den retning
den oprindelige arm ville have haft, hvis man havde
paralleltransporteret den rundt om trekanten uden at dreje den i
hjørnerne. I den euklidiske plan er paralleltransport langs en lukket
kurve altid identiteten, og derfor går det an at springe dette skridt
over.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>

>>Det der mangler i beviset er derfor en reference til en egenskab, som
>>adskiller planen fra for eksemepel en kugleoverflade. Men hvor i beviset
>>bruges den særlige egenskab ved planen?

> Det er indforstået i hele konstruktionen at man kan snakke om en
> halvlinjes *retning* som noget der er uafhængigt af det punkt
> halvlinjen udgår fra. (Og det er jo netop den egenskab Jeppe beskrev).

Det kan man også på for eksempel en kugleskal.

>>Moving from A to B, I keep the direction of my arm unchanged.
>
> [...]
>
>>The circumabulation finished, I have returned to the initial point,
>>the arm has returned to its original position

> Eller (måske det svar du fisker efter):

>>In the course of the circumabulation, the arm has undergone one
>>complete revoulution, i.e. has rotated 360 degrees.

Just præcis.

Jeg citerer lige resten fra "Lapses in Mathematical Reasoning"
af "V.M.Bradis, V.L.Minkovskii og A.K.Karcheva".

This simple and understandable proof is not based on any
theorems of geometry, other than the theorem on the sum of two
adjacent angles, does not, specifically, refer to theorems on
parallel lines, and does not depend, therefore, on the postulate
on parallel lines. This state of affairs would be of tremendous
advantage for our proof, if only in the course of the proof we
had not based ourselves, without noticing it, upon a certain new
axiom.

That this is so, we may convince ourselves as follows. Take a
sphere and on it three points D, E, F, in such a way that the
arcs DE, EF, FD of the great circles of the sphere are each equal
to 90 deg (for point D one make take the North pole, with points E
and F on the equator). The argument given above, proving that the
sum of the interior angles of a plane triangle ABC is equal to
180 deg, may also be applied, without any change, to the spherical
triangle DEF. We must only keep in mind that by the direction
of an arc on a sphere we mean the direction of the tangent to that
arc (at the point under consideration). Thus, out arguement shows
that also the sum of the interior angles of a spherical triangle
DEF is equal to 180 deg. But this is untrue, since each of the interior
angles of a spherical triangle DEF is equal to 90 deg, and their
sum, consequently, is equal to 270 deg.

In circumambulating a spherical triangle with one arm stretched
along the direction of a motion, and returning to the initial
position, we thus sweep out by the arm a rotation not of 360 deg,
as in the case of the circumabulation of a plane triangle, but
some other angle. In asserting that after the circumabulation of
a plane triangle and return to the initial position we have a
revolution of 360 deg, we are enumerating not what is self-evident
and true under all conditions, but are basing ourselves on the
following property of the plane, which is not possessed by the
sphere -- the circumabulation of every triangle on the plane
involves a revolution by 360 deg. Taking this property of the
plane as self-evident, we are introducing a new axiom.

Thus, the assertion that we have proved the theorem on the sum
of the interior angles of a triangle without making use of
either the parallel postulate, or of some other new axiom, is
erroneous. Even more than a hundred years ago our genial
geometer Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) proved that
it is impossible to eliminate from (Euclidean) geometry the
postulate on parallels without introducing in its place some
other axiom.


--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
>
> > Det er indforstået i hele konstruktionen at man kan snakke om en
> > halvlinjes *retning* som noget der er uafhængigt af det punkt
> > halvlinjen udgår fra. (Og det er jo netop den egenskab Jeppe beskrev).
>
> Det kan man også på for eksempel en kugleskal.

Nej, det kan man da ikke. Jeg tror I snakker forbi hinanden.

Her ser du en 2-mangfoldighed med to punkter p og q hvor der sidder en
tangentvektor i p og en i q:


M |\¯ u
\
\.q
p._______\
v /

Vektoren v sidder i T_p(M), og u sidder i T_q(M). Der er ingen måde at
giver mening til vinklen mellem v og u på.

Det bevis du gengav, forudsatte at man kunne operere med en slags
»kumuleret« drejning af armen, men det giver altså ingen mening
generelt.

Det er kun for mangfoldigheden R^n at der er en kanonisk måde at sammen-
ligne tangentvektorer med forskellige fodpunkter.

(PS! Hvis du lægger S² ind i R³ på den sædvanlige måde, kan tangentvek-
torer til S² jo også opfattes som tangentvektorer til R³. Men set i den
optik drejer armen sig jo mens men går langs en storcirkelbue der jo er
krum i R³. Det var jo ikke ideen med beviset.)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jens Axel Søgaard wrote:

>>>Det er indforstået i hele konstruktionen at man kan snakke om en
>>>halvlinjes *retning* som noget der er uafhængigt af det punkt
>>>halvlinjen udgår fra. (Og det er jo netop den egenskab Jeppe beskrev).
>>
>>Det kan man også på for eksempel en kugleskal.

> Nej, det kan man da ikke. Jeg tror I snakker forbi hinanden.
....
> Det bevis du gengav, forudsatte at man kunne operere med en slags
> »kumuleret« drejning af armen, men det giver altså ingen mening
> generelt.
....
> (PS! Hvis du lægger S² ind i R³ på den sædvanlige måde, kan tangentvek-
> torer til S² jo også opfattes som tangentvektorer til R³. Men set i den
> optik drejer armen sig jo mens men går langs en storcirkelbue der jo er
> krum i R³. Det var jo ikke ideen med beviset.)

Ah ja. Nu kan jeg se, hvad I mener. Jeg fokuserede for meget på
billedet af en mand med udstrakt arm vandrende rundt på en jordkugle.
Det er ikke noget problem med at sammenligne startarmen og slutarmen,
men at tale om en overstrøget vinkel bliver problematisk.

--
Jens Axel Søgaard

---

On Fri, 23 Apr 2004 20:06:35 +0200
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:
> Jesper Harder wrote:
> >
> > "Herluf Holdt, 3140" <herlufholdtFJERN@privat.dk> writes:
> >
> > > Opgave 4:
> > > Skær en kage (normal lagkage-cylinder-facon) i otte
> > > lige store stykker, men du må kun skære tre gange.
> >
> > Del kagen i fire vha. to vertikale snit, og dernæst i otte vha. et
> > horisontalt snit.
>
> Tja, foreløbig har jeg kendt alle opgaver der er stillet her i tråden.
> Hvad med den her:
>
[snip]
hvad med dem her:

[1]
tegn et pentagram på et stykke papir. Du har nu 5 trekanter og en
femkant.
Lav dette antal trekanter om til 10 ved at tilføje 2 rette linjer til
pentagrammet.

[2]
Du har et W hvor alle 4 streger er lige lange og vinklerne imellem dem
er ens. Altså: \/\/
Ved at tilføje 3 rette linjer af vilkårlig længde skal du lave 9
trekanter som ikke ligger inde i hinanden på nogen måder (altså de må
ikke være delmængder af hinandens area).

[3]
Du har 5 pilleglas. I det ene pilleglas er alle pillerne blevet for
gamle og virker derfor ikke mere. Eneste måde at kende forskel på gamle
og nye piller er ved brug af vægt. Gamle vejer 9 gram og nye vejer 10
gram.
Med kun én enkelt vejning skal du nu fastslå hvilket glas som indeholder
de gamle piller.
Du må selv om du vil veje piller i løsvægt eller som hele glasfulde.




--
Kim Schulz | Need a Content Management System for your website? Go
Geek by nature | get Fundanemt at : http://www.fundanemt.com New
schulz.dk | version out now!

---

"Kim Schulz" <kim@schulz.dk> skrev i en meddelelse news:20040423203205.5def623c@lifesuckz.nork.auc.dk...
On Fri, 23 Apr 2004 20:06:35 +0200
> [1]
> tegn et pentagram på et stykke papir. Du har nu 5 trekanter og en
> femkant.
> Lav dette antal trekanter om til 10 ved at tilføje 2 rette linjer til
> pentagrammet.

Jeg kan prøve at antyde en løsning da jeg ikke
kan tegne. Tegn et meget smalt v, som i midten
har krydset hvor 2 takker mødes.

Mvh
Martin

---

Pentagram i dk.binaer
news:408af95b$0$240$edfadb0f@dread16.news.tele.dk

Mvh
Martin

---

Martin Larsen skrev:
> Pentagram i dk.binaer
> news:408af95b$0$240$edfadb0f@dread16.news.tele.dk

Flot illustreret løsning.
(Jeg har siddet og tegnet pentagrammer hele lørdag aften
uden at nå til den løsning).
--
'rluf

---

"Herluf Holdt, 3140" <herlufholdtFJERN@privat.dk> skrev i en meddelelse news:408bad7f$0$512$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...
> Martin Larsen skrev:
> > Pentagram i dk.binaer
> > news:408af95b$0$240$edfadb0f@dread16.news.tele.dk
>
> Flot illustreret løsning.
:)
Da jeg tegnede pentagrammet kom jeg til at tænke på, hvor
mange *grammer der findes for de ulige tal. For 5 er svaret
1 og giver den bekendte ret rolige figur. For 7 er tallet 2
og giver en ret urolig figur (synes jeg).
Generelt er det vist (phi(n)-2)/2 (Eulers phi / totient function).

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> Da jeg tegnede pentagrammet kom jeg til at tænke på, hvor
> mange *grammer der findes for de ulige tal. For 5 er svaret
> 1 og giver den bekendte ret rolige figur. For 7 er tallet 2
> og giver en ret urolig figur (synes jeg).
> Generelt er det vist (phi(n)-2)/2 (Eulers phi / totient function).

Jeg er lidt i tvivl om hvad du mener. Er det noget a la det hér:
http://mathworld.wolfram.com/StarPolygon.html


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408BE86C.E08DD244@jeppesn.dk...
> Martin Larsen wrote:
> >
> > Da jeg tegnede pentagrammet kom jeg til at tænke på, hvor
> > mange *grammer der findes for de ulige tal. For 5 er svaret
> > 1 og giver den bekendte ret rolige figur. For 7 er tallet 2
> > og giver en ret urolig figur (synes jeg).
> > Generelt er det vist (phi(n)-2)/2 (Eulers phi / totient function).
>
> Jeg er lidt i tvivl om hvad du mener. Er det noget a la det hér:
> http://mathworld.wolfram.com/StarPolygon.html
>
Jeg forestillede mig at de havde n spidser og blev tegnet
med n streger uden at slippe med blyanten (alm. polygon
ikke medregnet).

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev
> > Martin Larsen wrote:

> > > Da jeg tegnede pentagrammet kom jeg til at tænke på, hvor
> > > mange *grammer der findes for de ulige tal. For 5 er svaret
> > > 1 og giver den bekendte ret rolige figur. For 7 er tallet 2
> > > og giver en ret urolig figur (synes jeg).

> > Jeg er lidt i tvivl om hvad du mener.

> Jeg forestillede mig at de havde n spidser og blev tegnet
> med n streger uden at slippe med blyanten (alm. polygon
> ikke medregnet).

Hvorfor tæller du ikke den "almindelige polygon" med? Det er da en sær
undtagelse.

Hvorfor ser du kun på ulige tal?

Kræver du at figuren er har D_n som symmetrigruppe?

--
Henning Makholm "Hi! I'm an Ellen Jamesian. Do
you know what an Ellen Jamesian is?"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87fzarkh5w.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
>
> > Jeg forestillede mig at de havde n spidser og blev tegnet
> > med n streger uden at slippe med blyanten (alm. polygon
> > ikke medregnet).
>
> Hvorfor tæller du ikke den "almindelige polygon" med? Det er da en sær
> undtagelse.

Næh, det er rimeligt.

> Hvorfor ser du kun på ulige tal?

De lige ser kedelige ud.

> Kræver du at figuren er har D_n som symmetrigruppe?

Aner det ikke. Er det vigtigt?

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev

> > Hvorfor tæller du ikke den "almindelige polygon" med? Det er da en sær
> > undtagelse.

> Næh, det er rimeligt.

Hvad begrunder du den med? (Nå, det er jo bare et spørgsmål om at
trække 1 fra den pæne formel, så dig om det).

> > Hvorfor ser du kun på ulige tal?

> De lige ser kedelige ud.

Nå.

> > Kræver du at figuren er har D_n som symmetrigruppe?

> Aner det ikke. Er det vigtigt?

Kun hvis svaret på dit spørgsmål er vigtigt. Der er mange flere
assymmetriske figurer end symmetriske.

--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."

---

Kim Schulz wrote:
>
> Du har 5 pilleglas. I det ene pilleglas er alle pillerne blevet for
> gamle og virker derfor ikke mere. Eneste måde at kende forskel på gamle
> og nye piller er ved brug af vægt. Gamle vejer 9 gram og nye vejer 10
> gram.
> Med kun én enkelt vejning skal du nu fastslå hvilket glas som indeholder
> de gamle piller.
> Du må selv om du vil veje piller i løsvægt eller som hele glasfulde.

Hvis man må antage at der er et vist antal piller i glassene kan man
bare tage 1 pille fra glas 1, 2 piller fra glas 2, etc. og lægge dem
alle sammen på vægten. Så er de gamle piller i glas nummer
(150-totalvægt).

Hvis der fx kun er 2 piller i hvert glas kan jeg ikke løse den.

--
mvh.
Karsten Strandgaard Jørgensen
http://hammerich.cjb.net

---

On Sat, 24 Apr 2004 16:21:39 +0200
Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> wrote:
> Kim Schulz wrote:
>
> > [1]
> > tegn et pentagram på et stykke papir. Du har nu 5 trekanter og en
> > femkant.
> > Lav dette antal trekanter om til 10 ved at tilføje 2 rette linjer
> > til pentagrammet.
>
> Må trekanterne gerne "have areal til fælles".
> Hvis ja, er det rimeligt nemt.

nej


> > [2]
> > Du har et W hvor alle 4 streger er lige lange og vinklerne imellem
> > dem er ens. Altså: \/\/
> > Ved at tilføje 3 rette linjer af vilkårlig længde skal du lave 9
> > trekanter som ikke ligger inde i hinanden på nogen måder (altså de
> > må ikke være delmængder af hinandens area).
>
>
>
> __ ^ __
> \1--__ /2\ __--3/
> \____-___________/___\___________-____/
> \ --__ 4 / \ 5 __-- /
> \ --/_ _\-- /
> \ /6 -___- 7\ /
> \ /__-- --_\ /
> \ __/- \-__ /
> \_-- / \ --/
> \ 8/ \9 /
> \/ \/
>

korrekt


--
Kim Schulz | Stop Software patents before it is too late!
Geek by nature |
schulz.dk |

---

"Filip" <filipravn@FJERN DET MED STORT get2net.dk> wrote in
news:408926d2$0$173$edfadb0f@dtext01.news.tele.dk:

> Skal vi ikke have hjerne cellerne igang nu. Jeg syns det kunne være
> sjovt hvis vi lavede en streng med gåder og andre matematiske
> ligninger som man kan fyrre af ved selskaber, fester mm.
>

Okies :)


1)

En mand er strandet på en øde ø med to pilleglas A og B. Pillerne er
fuldstændig ens mht størrelse, udseende, vægt osv osv. Den eneste forskel
er pillernes virkning.

Den strandede mand skal hver dag spise netop én A-pille og én B-pille.
Spiser han f.eks 2 A-piller dør han. Han dør osse hvis han ingen piller
spiser. Pillerne skal osse spises samtidigt for ikke at være dødelige.

Han ved at der lige præcis er piller nok indtil der kommer en
redningshelikopter, så ingen piller må gå til spilde.

En grumme dag hælder han 1 A-pille op i en skål; men da han hælder B-
pilleglasset falder der 2 piller ned til den ene A pille!

Nu står den stakkels mand med 3 fuldstændig ens piller (1 A + 2 B). Hvad
gør han for at overleve???




2)

Alle ved hvad en duel er; men en TRIEL er lidt anderledes:

3 personer A, B og C stilles et antal meter fra hinanden i en ligesidet
trekant og udstyres med pistoler.

Først må A skyde.

Hvis B derefter stadig er levende er det hans tur, ellers får C chancen.

Hvis C derefter stadig er levende er det hans tur, ellers får A chancen.

Osv osv.

Der fortsættes indtil der kun er én overlevende.


Nu er der så 3 mænd der vil triellere, og for at gøre det nogenlunde
retfærdigt skal den dårligste skytte være A, den næstbedste skytte B og
den bedste skytte selvfølgelig C.

C er en mesterskytte. På den valgte distance rammer han 99% af tiden. B
er en habil skytte og rammer 66% af tiden. A er en skod-skytte, han
rammer kun 33% af tiden.


A's odds er under alle omstændigheder; men hvad kan han ved første skud
gøre for at optimere sine ringe vinderchancer???



3) (kun for matematik-geeks)

En kontinuert reel funktion f(x) er 'uendelig integrabel' hvis der for et
x0 i R gælder at:

-oo < Lim{Integral(f, x0, t)} < oo, for t -> oo.


Lad nu f(x) være 'uendelig integrabel'.

Gælder der så osse at f(x) -> 0 for x -> oo???

---

Claus Christiansen wrote:
>
> 3) (kun for matematik-geeks)
>
> En kontinuert reel funktion f(x) er 'uendelig integrabel' hvis der for et
> x0 i R gælder at:
>
> -oo < Lim{Integral(f, x0, t)} < oo, for t -> oo.
>
> Lad nu f(x) være 'uendelig integrabel'.
>
> Gælder der så osse at f(x) -> 0 for x -> oo???

Det begreb plejer da vist at hedde »uegentlig integrabilitet«. Vi for-
udsætter at integral(fra x_0 til t af f) eksisterer for ethvert t.
Så vidt jeg kan forstå, antager vi ydeligere at dette integral har en
(endelig) grænseværdi for t->oo.

Det er vigtigt at du forudsætter at f er kontinuert! Og med den an-
tagelse tror jeg man kan bevise at f går mod nul.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Det er vigtigt at du forudsætter at f er kontinuert! Og med den an-
> tagelse tror jeg man kan bevise at f går mod nul.

Nej, det tror jeg nu ikke alligevel! Lasse forklarer et modeksempel.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Claus Christiansen" skrev

> Nu står den stakkels mand med 3 fuldstændig ens piller (1 A + 2 B). Hvad
> gør han for at overleve???

En A pille mere knuse det hele blande og spise halvdelen.

> A's odds er under alle omstændigheder; men hvad kan han ved første skud
> gøre for at optimere sine ringe vinderchancer???

Skyder op i luften, B vil forsøge at skyde C hvis han rammer får A chancen
på B, hvis ikke skyder C_B, og A må tage chancen med C.

A
Fire biller sidder i hvert sit hjørne af et kvadrat med siderne 1 m.
de starter samtidig med at gå mod den bille der sidder i urets retning, hvor
langt har de gået, når de møes på midten
B
Man borer et 6 cm. langt hul igennem midten af en kugle, hvad er rumfanget
af den resterende kugle.

mvh
Alex Christensen

---

"alexbo" <alexbo@post.cybercity.dk> skrev i en meddelelse news:c6gobh$312j$5@news.cybercity.dk...
>
> Man borer et 6 cm. langt hul igennem midten af en kugle, hvad er rumfanget
> af den resterende kugle.

Vi skal vise at den "kugle" der bliver til rest når "proppen" fjernes
er 4/3pi3^3 og det er sørme rigtigt. Jeg har ikke fundet et smart
argument, og udregningen er ret ligetil, men for lang til at jeg gider
skrive det.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:c6iekv$g4v$1@sunsite.dk...

> Jeg har ikke fundet et smart
> argument,

Det skulle da lige være dette infinitesimale argument, som
andre må gøre stringent
Kuglens og proppens radius er r og p. Den runde "hat" på
proppen har højden h.
Da gælder p^2+h^2=2rh (eksakt)
Hvis radius forøges med et meget lille h bliver volumenforøgelsen
4pi*r^2*h, proppen pi*p^2*2r. Divider med 2r*pi og: 2rh =? p^2 (Ja)

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Man borer et 6 cm. langt hul igennem midten af en kugle, hvad er rumfanget
> > af den resterende kugle.
>
> Vi skal vise at den "kugle" der bliver til rest når "proppen" fjernes
> er 4/3pi3^3 og det er sørme rigtigt. Jeg har ikke fundet et smart
> argument, og udregningen er ret ligetil, men for lang til at jeg gider
> skrive det.

Jeg forstår ikke hvad vi snakker om. Starter man med en massiv kugle med
diameter 6 cm eller hvad? Er det man fjerner fra kuglen, det den har til
fælles med en bestemt cylinder (hvis symmetriakse går gennem kuglens
centrum)?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Jeg forstår ikke hvad vi snakker om. Starter man med en massiv kugle med
> diameter 6 cm eller hvad? Er det man fjerner fra kuglen, det den har til
> fælles med en bestemt cylinder (hvis symmetriakse går gennem kuglens
> centrum)?

Old Boniface he took his cheer,
Then he bored a hole through a solid sphere,
Clear through the center, straight and strong,
And the hole was just six inches long.

Now tell me, when the end was gained,
What volume in the sphere remained?
Sounds like I haven't told enough,
But I have, and the answer isn't tough!

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:

> Old Boniface he took his cheer,
> Then he bored a hole through a solid sphere,
> Clear through the center, straight and strong,
> And the hole was just six inches long.
>
> Now tell me, when the end was gained,
> What volume in the sphere remained?
> Sounds like I haven't told enough,
> But I have, and the answer isn't tough!

Opgaven er forresten sjov at stille til de skrappe
lidt efter integralformlen for rumfang af omdrejningslegeme
er gennemgået. Det er spændende at se, om de lugter lunten.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
>
> > Old Boniface he took his cheer,
> > Then he bored a hole through a solid sphere,
> > Clear through the center, straight and strong,
> > And the hole was just six inches long.
> >
> > Now tell me, when the end was gained,
> > What volume in the sphere remained?
> > Sounds like I haven't told enough,
> > But I have, and the answer isn't tough!
>
> Opgaven er forresten sjov at stille til de skrappe
> lidt efter integralformlen for rumfang af omdrejningslegeme
> er gennemgået. Det er spændende at se, om de lugter lunten.

Nå ja, nu gik det op for mig hvad der foregår.

Hvis man antager at svaret er uafhængigt af kuglens radius, er det klart
at svaret må være 36·pi (i grænsen hvor kuglens readius er nede på 6,
fjerner man jo ikke noget).

Hvis man vil løse den med gymnasieformlen, kommer man til det simple
integral

integral fra -3 til 3 af (r² - x²) dx

og når man trækker cylinderen fra til sidst, forsvinder r'erne ganske
rigtigt, og resultatet bliver 36·pi.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> (i grænsen hvor kuglens readius er nede på 6,
> fjerner man jo ikke noget).

Her var »readius« en stavefejl for »diameter« ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408CDA18.67980D0D@jeppesn.dk...
>
> Hvis man antager at svaret er uafhængigt af kuglens radius, er det klart
> at svaret må være 36·pi (i grænsen hvor kuglens readius er nede på 6,
> fjerner man jo ikke noget).

Volumenet af "hulkuglen" fås ved integralet
2pi*Igr[0,r-h] ((r-h)² -y²)dy =
2pi((r-h)³-1/3(r-h)³) = 4/3pi(r-h)³

QED
(regn selv efter

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:c6iqf4$3ic$1@sunsite.dk...
>
> QED
> (regn selv efter
>
Hmm, måske var det for kortfattet?
Jeg nævnte tidligere formlen p²+h² = 2rh
Arealet af den annulus i højden y er
pi(r²-y²-p²) = pi((r-h)²-y²)

Mvh
Martin

---

"alexbo" <alexbo@post.cybercity.dk> skrev i en meddelelse news:c6gobh$312j$5@news.cybercity.dk...
>
>
> A
> Fire biller sidder i hvert sit hjørne af et kvadrat med siderne 1 m.
> de starter samtidig med at gå mod den bille der sidder i urets retning, hvor
> langt har de gået, når de møes på midten

Havde vi ikke denne for nylig?
Meget langt. Der er et ellipseformet? frastødningsområde
omkring midten, (så vidt jeg kan se).

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "alexbo" <alexbo@post.cybercity.dk> skrev

> > A
> > Fire biller sidder i hvert sit hjørne af et kvadrat med siderne 1 m.
> > de starter samtidig med at gå mod den bille der sidder i urets
> > retning, hvor langt har de gået, når de møes på midten

> Havde vi ikke denne for nylig?

Det kan jeg ikke huske.

> Meget langt.

Nej, 1 m. Hver bille bevæger sig hele tiden vinkelret på retningen til
den bille der forfølger den. Derfor vil hele forfølgerens momentane
fart gå til at reducere afstanden mellem de to nabobiller. Når hver
bille har gået 1 meter, er afstanden mellem to nabobiller 0, og så må
de have ramt hinanden på midten.

(Argumentet forudsætter at alle fire biller til enhver tid kravler
lige hurtigt).

--
Henning Makholm "This imposes the restriction on any
procedure statement that the kind and type
of each actual parameter be compatible with the
kind and type of the corresponding formal parameter."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87hdv6fxnb.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> > "alexbo" <alexbo@post.cybercity.dk> skrev
>
> > > A
> > > Fire biller sidder i hvert sit hjørne af et kvadrat med siderne 1 m.
> > > de starter samtidig med at gå mod den bille der sidder i urets
> > > retning, hvor langt har de gået, når de møes på midten
>
> > Havde vi ikke denne for nylig?
>
> Det kan jeg ikke huske.

http://www.246.dk/marie.html

> > Meget langt.
>
> Nej, 1 m.

Nej, det lignede også en artifakt i min simulation. (Skridtlængde)

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> http://www.246.dk/marie.html

Og hvis man følger referencen, kommer man til nogle animationer:
http://mathworld.wolfram.com/MiceProblem.html


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87hdv6fxnb.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...

> Når hver
> bille har gået 1 meter, er afstanden mellem to nabobiller 0, og så må
> de have ramt hinanden på midten.
>
Jeg vil nu stadig mene at min simulation er tættere på sandheden.
De kan muligvis navigere med helt nøjagtig vinkel, men biller har
ikke uendelig lille skridtlængde.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> Jeg vil nu stadig mene at min simulation er tættere på sandheden.
> De kan muligvis navigere med helt nøjagtig vinkel, men biller har
> ikke uendelig lille skridtlængde.

Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Martin Larsen wrote:

>>Jeg vil nu stadig mene at min simulation er tættere på sandheden.
>>De kan muligvis navigere med helt nøjagtig vinkel, men biller har
>>ikke uendelig lille skridtlængde.

> Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?

Den er lige til et citat!

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408D7C44.4C1595DC@jeppesn.dk...
>
> Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?

Findes der noget der ikke er matematik?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:

> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408D7C44.4C1595DC@jeppesn.dk...

>>Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?

> Findes der noget der ikke er matematik?

Jeg har ladet mig fortælle, at der også findes noget, der hedder teologi.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:
> Martin Larsen wrote:
>> "Jeppe Stig Nielsen" skrev:

>>> Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?

>> Findes der noget der ikke er matematik?

> Jeg har ladet mig fortælle, at der også findes noget, der hedder
> teologi.

Someone once asked J. B. S. Haldane what he had learned about
the mind of God after his years of study of biology. His reply:
"Madam, only that he had an inordinate fondness for beetles"
- There are 300,000 described species within this order of insects.

--
Med venlig hilsen Herluf Holdt
Nysgerrige Amatører - gør Verden sjovere

---

Claus Christiansen <claus_christiansen_nospam@hotmail.com> writes:

> Nu står den stakkels mand med 3 fuldstændig ens piller (1 A + 2 B). Hvad
> gør han for at overleve???

Begynder at svømme nu? :)

Eller: tilføjer en A-pille, knuser dem alle, blander godt og spiser
halvdelen af pulveret. Eller ditto og opløser i vand i stedet for at
knuse.

> Nu er der så 3 mænd der vil triellere, og for at gøre det nogenlunde
> retfærdigt skal den dårligste skytte være A, den næstbedste skytte B og
> den bedste skytte selvfølgelig C.
>
> C er en mesterskytte. På den valgte distance rammer han 99% af tiden. B
> er en habil skytte og rammer 66% af tiden. A er en skod-skytte, han
> rammer kun 33% af tiden.

> A's odds er under alle omstændigheder; men hvad kan han ved første skud
> gøre for at optimere sine ringe vinderchancer???

Hvis alle overlever indtil det bliver C's tur, så vil han skyder B.
Da C regner med at dræbe, så ved han at den han lader overleve vil
få et skud mod ham. Det er bedste hvis det er A.

Det ved B godt, så B skal have elimineret C inden det bliver C's
tur. Så, når det bliver B's tur, hvis C stadig er i live, så skyder B
på C. Ellers skyder han naturligvis efter A.

Så for A er der tre mulige udfald: Han skyder B, han skyder C, eller
han rammer ved siden af.

Hvis han skyder B, så vil C gøre ham færdig med 99% chance. Dårlig ide.
Hvis han skyder C, så vil B skyde først med 66% chance, og ham selv bagefter
med 33% og sådan fortsætter det til de bliver færdige. A's chance for at
vinde er så:
P1 = 33%(B misser) * (33%(A rammer) + 66%(A misser) * P1)
eller ca. P ~= 1/7 (hvis det havde været 1/3 og 2/3).

Hvis han rammer ved siden af, enten fordi han ikke kan ramme en
ladeport, eller med vilje, så vil enten B skyde C eller C skyde B
eller også er vi tilbage hvor vi startede. I begge tilfælde hvor en
dør, har A pludselig 33% chance for at vinde. Det er bedre end nogen
af de andre muligheder.

Han skal altså ramme ved siden af med vilje.
(Det afhænger naturligvis af at vi regner med at de andre spiller
optimalt, og ikke hader A fordi han drillede dem i børnehaven).

> 3) (kun for matematik-geeks)
>
> En kontinuert reel funktion f(x) er 'uendelig integrabel' hvis der for et
> x0 i R gælder at:
>
> -oo < Lim{Integral(f, x0, t)} < oo, for t -> oo.
>
>
> Lad nu f(x) være 'uendelig integrabel'.
>
> Gælder der så osse at f(x) -> 0 for x -> oo???


Siden det er en gåde er svaret jo nok nej :)

Tag fx funktionen der er sammensat af stykker på formen

stykke n: _1
/\ |
/ \ |
/ \ |
___________/ \ |_0

|------| toppens bredde
1/2^(-n)

|------- 1 -------| hele stykkets bredde

Altså et stykke der er konstant nul af længden 1-2^{-n) og en top af
bredde 2^(-n) og højde 1.

Sættes disse sammen, startende ved 0 med stykket for n=0, så er
funktionen kontinuert, reel og har
Lim(Integral(f,0,t)) = 1
t->oo


/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408D7C44.4C1595DC@jeppesn.dk...
>>
>> Det er s'gu da matematik det her. Hvad har det med biller at gøre?
>
> Findes der noget der ikke er matematik?

Biller?

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> > Findes der noget der ikke er matematik?

> Biller?

Tja. Biller er biologi. Men biologi er bare et specielt kompliceret
særtilfælde af kemi. Og kemi er bare et specielt kompliceret
særtilfælde af kvantefysik. Og kvantefysik består - siger
københavnerfortolkningen - udelukkende af matematik.

Matematik er på sin side bare en specielt kompliceret anvendelse af
logik. Logik en ikke videre kompliceret gren af filosofien. Og
filosofi er bare en indviklet måde at snakke om psykologi på. Og
psykologi er bare et specielt komplicieret område af biologien.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Tja. Biller er biologi. Men biologi er bare et specielt kompliceret
> særtilfælde af kemi. Og kemi er bare et specielt kompliceret
> særtilfælde af kvantefysik. Og kvantefysik består - siger
> københavnerfortolkningen - udelukkende af matematik.
>
> Matematik er på sin side bare en specielt kompliceret anvendelse af
> logik. Logik en ikke videre kompliceret gren af filosofien. Og
> filosofi er bare en indviklet måde at snakke om psykologi på. Og
> psykologi er bare et specielt komplicieret område af biologien.

Nah, det hele er bare kemi, dvs. det hele er Coulombs lov.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:Xns94D6ABC3DC9DDclauschristiansenhot@62.243.74.162...
> "Filip" <filipravn@FJERN DET MED STORT get2net.dk> wrote in
> news:408926d2$0$173$edfadb0f@dtext01.news.tele.dk:
>
> > Skal vi ikke have hjerne cellerne igang nu. Jeg syns det kunne være
> > sjovt hvis vi lavede en streng med gåder og andre matematiske
> > ligninger som man kan fyrre af ved selskaber, fester mm.

Nu skal visualiseringsevnen afprøves.
Du har 2 cylindre, radius r og højde 2r. Den ene står og den anden
ruller og de skubbes spøgelsesagtigt så tæt ind i hinanden som muligt.
Hvad er volumen af deres fællesmængde?

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>

> Hvad er volumen af deres fællesmængde?

Jeg får det til 16/3 r³.

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87wu418mtj.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
>
> > Hvad er volumen af deres fællesmængde?
>
> Jeg får det til 16/3 r³.
>
Hvordan?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> Nu skal visualiseringsevnen afprøves.
> Du har 2 cylindre, radius r og højde 2r. Den ene står og den anden
> ruller og de skubbes spøgelsesagtigt så tæt ind i hinanden som muligt.
> Hvad er volumen af deres fællesmængde?

Man kan i hvert fald se legemet her:
http://www.math.umn.edu/~garrett/qy/Cylinders.html

Men hvorfoer skal der ikke også være en tredje cylinder der ligger med
aksen vinkelret på begge de to andre cylindres akse?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Man kan i hvert fald se legemet her:
> http://www.math.umn.edu/~garrett/qy/Cylinders.html

Og mange andre steder:
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/polyhedra/cylinders/
http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408E82E6.29EC284D@jeppesn.dk...
>
> Men hvorfoer skal der ikke også være en tredje cylinder der ligger med
> aksen vinkelret på begge de to andre cylindres akse?
>
En ting ad gangen! Men nu skylder du en "nem" måde at finde
tallet på. (Jeg ved ikke om det findes.)

Mvh
Martin

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Jeg får det til 16/3 r³.

Nemlig. Jeg fandt det i øvrigt ret overraskende at det er et rationalt
tal (for r=1), når nu der er cylindre involveret. Men det er
selvfølgelig en konsekvens af at pi kun indgår i første potens i
formlen for kuglens rumfang.

--
Stefan Holm
"The rich get richer, the poor get poorer, and there are flying cars."

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

>> Jeg får det til 16/3 r³.
>>
> Hvordan?

Den letteste måde er formentlig at indse at figuren har samme forhold
til sin indskrevne kugle som et kvadrat har til sin indskrevne cirkel.

--
Stefan Holm
"Maybe you could blow something up. They're really strict about that."

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:uy8ohs9qf.fsf@banach.algebra.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> >> Jeg får det til 16/3 r³.
> >>
> > Hvordan?
>
> Den letteste måde er formentlig at indse at figuren har samme forhold
> til sin indskrevne kugle som et kvadrat har til sin indskrevne cirkel.
>
Rigtigt. Lad øjet være i linien som gives ved skæringspunkterne
for de 2 storcirkler som berører cylinderne og den indskrevne
kugle. Skær skiver vinkelret herpå. De vil alle være kvadrater
med indskreven cirkel med arealforhold 4/pi. Gang så med kuglens
volumen 4/3pi*r³.

Mvh
Martin