|
|
 | Jordens omkreds + én meter
Fra : pmn |
Dato : 17-04-04 19:10 |
|
Hejsa
Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
ned til jorden hele vejen rundt.
Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter forlængelsen.?
(Jordens radius antages at være 6378km)
Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft" inden
du regner på det.!
Overrasket ? 
(P.s. for dem der ikke selv gider regne på det kommer resultatet lidt
senere....)
Mvh Per
www.mypuzzle.dk
| |
 Anders E. Andersen (17-04-2004)
| Kommentar
Fra : Anders E. Andersen |
Dato : 17-04-04 20:12 |
|
pmn wrote:
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft"
> inden du regner på det.!
Dine sanser og din fornuft er skabt for at gøre livet simpelt for dig. Ikke
for at give dig information du kan stole på.
Anders
| |
Jeppe Stig Nielsen (17-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 17-04-04 21:17 |
|
pmn wrote:
>
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
> enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
> ned til jorden hele vejen rundt.
>
> Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter forlængelsen.?
> (Jordens radius antages at være 6378km)
Sammenhængen mellem radius r og omkreds p for en cirkel er en lineær
sammenhæng:
r = (1/(2·pi))·p
Ifølge den for skoleelever så velkendte fortolkning af hældningskoef-
ficient vil man derfor i et (p,r)-koordinatsystem komme 1/(2·pi) op
hver gang man går 1 til højre.
En forøgelse af omkredsen med 1 giver derfor en forøgelse af radius
med 1/(2·pi).
>
> Overrasket ?
Niks, jeg har hørt spørgsmålet tusindvis af gange.
(Jordens radius er uden betydning for løsningen af opgaven.)
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Anders Nygaard (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Anders Nygaard |
Dato : 18-04-04 01:13 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> pmn wrote:
>
>>Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, [...]
>
> (Jordens radius er uden betydning for løsningen af opgaven.)
>
>>Overrasket ?
>
> Niks, jeg har hørt spørgsmålet tusindvis af gange.
Har du så også hørt følgende variant:
Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator,
således at enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og løfter den så højt op
over jordoverfladen som muligt i et enkelt punkt.
Hvor højt over jordoverfladen vil snoren være løftet i dette ene punkt?
Anders.
| |
 N/A (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : N/A |
Dato : 22-04-04 13:55 |
|
| |
N/A (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : N/A |
Dato : 22-04-04 13:55 |
|
| |
Lasse Reichstein Nie~ (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 20-04-04 23:26 |
|
Anders Nygaard <dnygaard@post.tele.dk> writes:
> Har du så også hørt følgende variant:
>
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator,
> således at enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og løfter den så højt op
> over jordoverfladen som muligt i et enkelt punkt.
>
> Hvor højt over jordoverfladen vil snoren være løftet i dette ene punkt?
Nix, den har jeg ikke hørt før.
For en uendeligt lille kugle vil løftet være en halv meter, og for større
kugler er det mindre.
Hvis vi hiver snoren stramt ud, så må der være to lige snore ud fra toppen,
som tangerer kuglen et stykke væk. Det vil sige at på det stykke er den
lige linje, tangenten, en halv meter længere end krumningen.
Så vinklen, set fra jordens centrum, mellem toppunktet og der hvor snoren
slipper jorden opfylder R*tan(v) = R*v + 0.5m (R=jordens radius),
eller tan(v)-v = 0.5m/R .
Det kan jeg til gengæld ikke lige løse.
For at finde svaret på spørgsmålet skal vi så finde længden af hypotenusen
i den retvinklede trekant udspændt af centrum, toppunkt og der hvor snoren
slipper (og trække R fra).
Jeg glæder mig til at høre svaret :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Bertel Lund Hansen (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 21-04-04 00:00 |
|
Lasse Reichstein Nielsen skrev:
>> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og løfter den så højt op
>> over jordoverfladen som muligt i et enkelt punkt.
>For en uendeligt lille kugle vil løftet være en halv meter, og for større
>kugler er det mindre.
Ville det? Vi klipper snoren over i et givet punkt og indføjer en
meter. Idet vi fastholder de to 'gamle' ender ved jorden, løfter
vi nu den nye snor op så den ender en halv meter oppe (lige
op-ned).
Hvad sker der så når vi frigiver de gamle ender og stadig løfter?
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jeppe Stig Nielsen (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 21-04-04 21:06 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
>
> >For en uendeligt lille kugle vil løftet være en halv meter, og for større
> >kugler er det mindre.
>
> Ville det? Vi klipper snoren over i et givet punkt og indføjer en
> meter. Idet vi fastholder de to 'gamle' ender ved jorden, løfter
> vi nu den nye snor op så den ender en halv meter oppe (lige
> op-ned).
>
> Hvad sker der så når vi frigiver de gamle ender og stadig løfter?
Du har helt ret. Lasse mente vist det omvendte af hvad han skrev.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 21-04-04 22:14 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:4086D427.B0C66CD3@jeppesn.dk...
> Bertel Lund Hansen wrote:
> >
> > >For en uendeligt lille kugle vil løftet være en halv meter, og for større
> > >kugler er det mindre.
> >
> > Ville det? Vi klipper snoren over i et givet punkt og indføjer en
> > meter. Idet vi fastholder de to 'gamle' ender ved jorden, løfter
> > vi nu den nye snor op så den ender en halv meter oppe (lige
> > op-ned).
> >
> > Hvad sker der så når vi frigiver de gamle ender og stadig løfter?
>
> Du har helt ret. Lasse mente vist det omvendte af hvad han skrev.
>
Jeg spekulerer på om han ville lokke os i fordærv?
Mvh
Martin
| |
Martin Larsen (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 21-04-04 10:45 |
|
"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:4qre70d0.fsf@hotpop.com...
>
> Så vinklen, set fra jordens centrum, mellem toppunktet og der hvor snoren
> slipper jorden opfylder R*tan(v) = R*v + 0.5m (R=jordens radius),
> eller tan(v)-v = 0.5m/R .
>
> Det kan jeg til gengæld ikke lige løse.
Nej, jeg har heller intet explicit men 0,006172579731471rad
> Jeg glæder mig til at høre svaret :)
Nu håber jeg du bliver glad:
ca 121,5 meter
Mvh
Martin
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:41 |
|
On 2004-04-21 11:45:11 +0200, "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> said:
> Nu håber jeg du bliver glad:
> ca 121,5 meter
>
> Mvh
> Martin
Det er fandenme godt gået for en snor som ikek er forlænget med mere
end en meter. Snoren er vel ikke en elastik ? Det nævner opgaven intet
om.
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
We communists have to string along with the capitalists for a while. We
need their credits, their agriculture, and their technology. But we are
going to continue massive military programs and by the middle 1980s we
will be in a position to return to a much more aggressive foreign
policy designed to gain the upper hand in our relationship with the
West.
- Leonid Brezhnev. Remarks in 1971 to the Politburo at the beginning of
détente.
| |
Jonas Møller Larsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen |
Dato : 22-04-04 16:31 |
|
Lasse Reichstein Nielsen wrote:
> Så vinklen, set fra jordens centrum, mellem toppunktet og der hvor snoren
> slipper jorden opfylder R*tan(v) = R*v + 0.5m (R=jordens radius),
> eller tan(v)-v = 0.5m/R .
>
> Det kan jeg til gengæld ikke lige løse.
Vinklen er lille, så det burde være muligt at opnå en god approksimation
ved at bruge tan v = v + v³/3 + 2v^5/15 + ..., hvor man ser bort fra
alle led med orden højere end tre (jeg har ikke forsøgt).
--
Jonas Møller Larsen
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:36 |
|
On 2004-04-21 00:25:47 +0200, Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> said:
> Jeg glæder mig til at høre svaret :)
> /L
En halv meter =)
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
Democracy is not something you believe in or a lace to hang your hat,
but it's something you do. You participate. If you stop doing it,
democracy crumbles.
- Abbie Hoffman
| |
Lasse Reichstein Nie~ (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 21-04-04 22:53 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Du har helt ret. Lasse mente vist det omvendte af hvad han skrev.
Pænt af dig at tro det, men jeg vil nok nøjes med at påstå at jeg var
træt da jeg skrev det :)
Bertels modeksempel er jo desværre ganske klart.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Jeppe Stig Nielsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 22-04-04 08:33 |
|
Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> Bertels modeksempel er jo desværre ganske klart.
Ja. Og Martins udregning er utvivlsomt rigtig, og den siger 121,5 meter
for en cirkel af Jordens størrelse.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:39 |
|
On 2004-04-22 09:33:20 +0200, Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> said:
> Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>>
>> Bertels modeksempel er jo desværre ganske klart.
>
> Ja. Og Martins udregning er utvivlsomt rigtig, og den siger 121,5 meter
> for en cirkel af Jordens størrelse.
Denne tråd er et fremragende eksempel på at den menneskelige abehjerne
ganske simpelt ikke er gearet til at håndtere spøgsmål som ummidelbart
virker intuitive, når de samtidig kombineres med store størrelser.
Det giver også et fingerpeg om hvorfor det går galt for os mennesker,
når vi indtager drikke der leveres i flasker påskrevet med store
talstørrelser... =)
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
We communists have to string along with the capitalists for a while. We
need their credits, their agriculture, and their technology. But we are
going to continue massive military programs and by the middle 1980s we
will be in a position to return to a much more aggressive foreign
policy designed to gain the upper hand in our relationship with the
West.
- Leonid Brezhnev. Remarks in 1971 to the Politburo at the beginning of
détente.
| |
Bertel Lund Hansen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 22-04-04 19:25 |
|
Peter Bjørn Perlsø skrev:
>Denne tråd er et fremragende eksempel på at den menneskelige abehjerne
>ganske simpelt ikke er gearet til at håndtere spøgsmål som ummidelbart
>virker intuitive, når de samtidig kombineres med store størrelser.
Det kan jeg da ikke se at den er. Der er masser af fænomener hvor
den intuitive opfattelse stemmer overens med virkeligheden, også
selv om der er store tal involveret - og andre hvor det kikser
selv om tallene er små.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jeppe Stig Nielsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 22-04-04 20:37 |
|
Peter Bjørn Perlsø wrote:
>
> Denne tråd er et fremragende eksempel på at den menneskelige abehjerne
> ganske simpelt ikke er gearet til at håndtere spøgsmål som ummidelbart
> virker intuitive, når de samtidig kombineres med store størrelser.
Jeg synes da vi har håndteret spørgsmålet fint.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jeppe Stig Nielsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 22-04-04 08:58 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> > Bertels modeksempel er jo desværre ganske klart.
>
> Ja. Og Martins udregning er utvivlsomt rigtig, og den siger 121,5 meter
> for en cirkel af Jordens størrelse.
Jeg kan også bevise at højden man kan trække snoren op i ét punkt, er
en strengt voksende funktion af {snorforlængelsen divideret med jord-
radius}.
Det er fordi v |-> (tan v)-v og dermed dens inverse, samt
v |-> sqrt[1+tan²v]-1 alle er strengt voksende funktioner i det
interval der er relevant.
Når {snorforlængelsen divideret med jordradius} går mod uendelig, gør
højden man kan trække snoren ud, også mod uendelig.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 22-04-04 13:55 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40877AFD.C14EC75B@jeppesn.dk...
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >
> > > Bertels modeksempel er jo desværre ganske klart.
> >
> > Ja. Og Martins udregning er utvivlsomt rigtig, og den siger 121,5 meter
> > for en cirkel af Jordens størrelse.
Mais naturellement.
Jeg kom til at tænke på at den funktion der beskriver højden som
funktion af bredden (målt fra nord) geometrisk virker uhyre enkel,
noget "tangensagtig". Og det viser sig da også at den kan skrives:
h = (sec(v)-1)*R eller exsec(v)*R
Vinklen er som tidligere nævnt .00617258rad, svarende til at
tangentpunktet findes i afstanden R*.00617258 ~ 39.4 km
Mvh
Martin
| |
Jeppe Stig Nielsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 22-04-04 20:45 |
|
Martin Larsen wrote:
>
> Jeg kom til at tænke på at den funktion der beskriver højden som
> funktion af bredden (målt fra nord) geometrisk virker uhyre enkel,
> noget "tangensagtig". Og det viser sig da også at den kan skrives:
> h = (sec(v)-1)*R eller exsec(v)*R
Ja, secans til en vinkel i en retvinklet trekant er jo blot forholdet
mellem hypotenusen og den hosliggende katete, så det er »oplagt« nok.
Så vi har víst sqrt[ 1 + tan²v ] = sec v .
(På mit papir er en trekant med kateter 1 og (tan v) samt hypotenuse
(sec v).)
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 22-04-04 22:18 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:408820D2.A2936771@jeppesn.dk...
>
> Ja, secans til en vinkel i en retvinklet trekant er jo blot forholdet
> mellem hypotenusen og den hosliggende katete, så det er »oplagt« nok.
Ja, jeg anså det ikke for at være en skelsættende opdagelse. Men
jeg tror ikke ret mange (nogen) kendte exsecans.
> (På mit papir er en trekant med kateter 1 og (tan v) samt hypotenuse
> (sec v).)
Har vi tegningen af idiotformlen (retvinklet trekant med cos og sin)
får vi sammenhæng mellem tangens og secans, og cotangens og cosecans
ved at dividere siderne med henholdsvis cos og sin.
Mvh
Martin
| |
Jens Axel Søgaard (17-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 17-04-04 21:38 |
|
pmn wrote:
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
> enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
> ned til jorden hele vejen rundt.
>
> Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter forlængelsen.?
> (Jordens radius antages at være 6378km)
>
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft" inden
> du regner på det.!
Er det ikke den, der optræder i sidste kapitel af Carstensens og Frandsens
opgavebog til 1.g?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Brian Lund (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Brian Lund |
Dato : 18-04-04 03:42 |
|
> Hejsa
>
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
> enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
> ned til jorden hele vejen rundt.
>
> Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter
forlængelsen.?
> (Jordens radius antages at være 6378km)
~15,915 cm - ikke?
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft"
inden
> du regner på det.!
Ja, jeg havde regnet med en hel del mindre...
> Overrasket ?
Lidt måske, hvis jeg ellers har regnet rigtig i min døsighed, så godnat!
Brian
| |
Jeppe Stig Nielsen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 18-04-04 10:18 |
|
Brian Lund wrote:
>
> ~15,915 cm - ikke?
Jo, 1/(2·pi) meter.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Herluf Holdt, 3140 (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Herluf Holdt, 3140 |
Dato : 18-04-04 10:05 |
|
pmn skrev:
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm.
> "sund fornuft" inden du regner på det.!
Jeg blev også overrasket, da jeg hørte den gåde første
gang (i en lidt anderledes version).
Nu undrer jeg mig mere over at jeg kommer til cirka
_31,8 cm_, når jeg prøver at regne den ud.
--
Med venlig hilsen Herluf Holdt
| |
Christian (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Christian |
Dato : 18-04-04 10:24 |
|
On Sun, 18 Apr 2004 11:05:04 +0200, "Herluf Holdt, 3140"
<herlufholdtFJERN@privat.dk> wrote:
>Nu undrer jeg mig mere over at jeg kommer til cirka
> _31,8 cm_, når jeg prøver at regne den ud.
Du mangler lige 2-tallet (2 pi' er) i ligningen for en cirkels
omkreds.
/Christian
| |
alexbo (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : alexbo |
Dato : 18-04-04 10:34 |
|
"Herluf Holdt, 3140" skrev
> Nu undrer jeg mig mere over at jeg kommer til cirka
> _31,8 cm_, når jeg prøver at regne den ud.
Det er det snorens diameter forøges med.
Men spørgsmålet gik på radius
mvh
Alex Christensen
| |
Herluf Holdt, 3140 (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Herluf Holdt, 3140 |
Dato : 18-04-04 11:19 |
|
alexbo skrev:
> "Herluf Holdt, 3140" skrev
>> Nu undrer jeg mig mere over at jeg kommer til cirka
>> _31,8 cm_, når jeg prøver at regne den ud.
> Det er det snorens diameter forøges med.
> Men spørgsmålet gik på radius
Tak, nu forstår jeg. Den verdensomspændende snor danner
en cirkel, hvis radius er cirka 15,9 cm større end jordens.
Så må svaret på den opgave, jeg kendte, have været forkert.
spørgsmålet lød nemlig: "Hvor meget skal en snor rundt om
jorden forlænges, hvis den skal hæves en meter over
overfladen?" Det "svar", jeg dengang fik, var: 3,14... meter.
--
Med venlig hilsen Herluf Holdt
| |
Jeppe Stig Nielsen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 18-04-04 11:48 |
|
"Herluf Holdt, 3140" wrote:
>
> Så må svaret på den opgave, jeg kendte, have været forkert.
> spørgsmålet lød nemlig: "Hvor meget skal en snor rundt om
> jorden forlænges, hvis den skal hæves en meter over
> overfladen?" Det "svar", jeg dengang fik, var: 3,14... meter.
Du har ret: Det var et galt svar.
Om omkredsen p gælder p = 2·pi·r .
Hvis man i den ligning erstatter r med (r+1), så vokser p med 2·pi.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
alexbo (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : alexbo |
Dato : 18-04-04 12:45 |
|
"Herluf Holdt, 3140" skrev
> > spørgsmålet lød nemlig: "Hvor meget skal en snor rundt om
> jorden forlænges, hvis den skal hæves en meter over
> overfladen?"
Jeg kan egentlig bedre lide opgaven i den form.
Med en snor der forlænges er det svært lige umiddelbart at forestille sig at
den svæver over jorden, og hvor højt den så gør det.
Men tanken om at en hel række mennesker rundt om jorden løfter op i en
40.000 km lang snor, den kan næsten ses på nethinden.
Og man vil umiddelbart sige, at den skal nok være et par km. længere.
mvh
Alex Christensen
| |
Bertel Lund Hansen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 18-04-04 14:38 |
|
alexbo skrev:
>> > spørgsmålet lød nemlig: "Hvor meget skal en snor rundt om
>> jorden forlænges, hvis den skal hæves en meter over
>> overfladen?"
>Jeg kan egentlig bedre lide opgaven i den form.
Ditto.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 15:45 |
|
alexbo:
....
> Men tanken om at en hel række mennesker rundt om jorden
> løfter op i en 40.000 km lang snor, den kan næsten ses på nethinden.
> Og man vil umiddelbart sige, at den skal nok være et par km. længere.
Hvad nu hvis de boede på en terning
med sider a' 10.000, 5000 eller 1 km?
Det jeg mener med det er, at det er i knækkende forlængelsen sker,
og i den forbindelse er form og størrelse uden betydning.
| |
alexbo (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : alexbo |
Dato : 18-04-04 16:13 |
|
"Pettersen; Roald" skrev
> Det jeg mener med det er, at det er i knækkende forlængelsen sker,
> og i den forbindelse er form og størrelse uden betydning.
Mener du jorden er knækket et eller andet sted, eller måske knækket hele
vejen rundt.
Så har vi jo løst problemet med cirklens kvadratur.
mvh
Alex Christensen
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 17:12 |
|
alexbo:
> Mener du jorden er knækket et eller andet sted,
> eller måske knækket hele vejen rundt.
> Så har vi jo løst problemet med cirklens kvadratur.
Nej, det har intet at gøre med formen,
men derimod hvor meget det bøjer, krummer eller knækker.
Så længe der er tale om lukkede former,
så vil alle figurer jo ende op i sig selv,
og dermed have samme totale krumning.
Jeg ser her bort fra baderinge og andre former med hul o.l.
| |
Jeppe Stig Nielsen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 18-04-04 18:53 |
|
"Pettersen; Roald" wrote:
>
> > Men tanken om at en hel række mennesker rundt om jorden
> > løfter op i en 40.000 km lang snor, den kan næsten ses på nethinden.
> > Og man vil umiddelbart sige, at den skal nok være et par km. længere.
>
> Hvad nu hvis de boede på en terning
> med sider a' 10.000, 5000 eller 1 km?
Hvis en snor skal løftes ud fra at være omkredsen af et kvadrat til at
være en meter længere ude, skal snoren forlænges 8 meter (idet jeg an-
tager at den løfede snor også danner et kvadrat.
Dette skal sammenlignes med de 2·pi meter = 6,3 meter man bruge med
cirklen.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 20:00 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Hvis en snor skal løftes ud fra at være omkredsen af et kvadrat til at
> være en meter længere ude, skal snoren forlænges 8 meter (idet jeg an-
> tager at den løfede snor også danner et kvadrat.
Ja, men så er afstanden pludselig over en meter.
> Dette skal sammenlignes med de 2·pi meter = 6,3 meter man bruge med
> cirklen.
Skal jeg så modsige dig med at den cirkel ikke har samme krumning?
Opgaven siger at snoren skal løftes 1m,
det bliver den kun længere/korter af der hvor legemet krummer.
Skal denne forlængelse være ret eller følge 1m regelen?
| |
Jeppe Stig Nielsen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 18-04-04 23:05 |
|
"Pettersen; Roald" wrote:
>
> > Hvis en snor skal løftes ud fra at være omkredsen af et kvadrat til at
> > være en meter længere ude, skal snoren forlænges 8 meter (idet jeg an-
> > tager at den løfede snor også danner et kvadrat.
>
> Ja, men så er afstanden pludselig over en meter.
Du har helt ret. Hvis man lader snoren være det geometriske sted for de
punkter der har afstand 1 til det massive kvadrat, så bliver snorens
forlængelse igen på 2·pi meter. Der indskydes nemlig fire kvarte enheds-
cirkler, en i hvert hjørne.
Resultatet må generalisere til andre konvekse polygoner. Og cirklen kan
opfattes som et grænsetilfælde af en konveks polygon.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Ivar Madsen (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Ivar Madsen |
Dato : 20-04-04 19:39 |
|
alexbo skrev i -dk.videnskab:
>> Nu undrer jeg mig mere over at jeg kommer til cirka
>>_31,8 cm_, når jeg prøver at regne den ud.
> Det er det snorens diameter forøges med.
> Men spørgsmålet gik på radius
Det passer så også meget godt med at jeg mente at kunne huske at det er 15 cm.
--
Med venlig hilsen Ivar Madsen
--------------------------------------------------------------------------------
http://milli.dk/webupdate/ nu i version 0.3.3 nogle sider meldtes konstant
opdateret, dette er fixet, båndbredebegrænsningen er desvære fjernet igen.
| |
Lasse Reichstein Nie~ (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 19-04-04 00:27 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Du har helt ret. Hvis man lader snoren være det geometriske sted for de
> punkter der har afstand 1 til det massive kvadrat, så bliver snorens
> forlængelse igen på 2·pi meter. Der indskydes nemlig fire kvarte enheds-
> cirkler, en i hvert hjørne.
>
> Resultatet må generalisere til andre konvekse polygoner.
Det gør det.
Argument (lidt løst/geometrisk):
Vi taler om punktmængden der har afstand r til den konvekse polygon
(den der er på ydersiden i det mindste).
Et punkt der har afstand r til polygonen har denne afstand til enten
en kant eller et hjørne (for en konveks polygon er der for ethvert
punkt uden for den netop et nærmeste punkt på polygonen).
Punkter med afstand r til polygonen hvis nærmeste punkt er en kant,
ikke et hjørne, danner linjer parallelt med kanterne, og med samme
længde (der er netop et punkt med afstand r til polygonen der er
nærmest et givent punkt på kanten, jvf trekantsulighed, og afstands-
vektorerne er alle vinkelret på kanten)
De resterende punkter ligger tættest på et hjørne, alle med afstand
r. De må altså ligge som en del af en cirkel. Tegningen nedefor viser
at der er tale om et cirkeludsnit med vinkel 180-v grader.
.................. . *** polygonkant
|r _| . ... punkter med afstand r
| | | 180-v *
****************** . _| * \ betyder
v * \ | | * \/\ - vinkelret
* \/\. *** *
* .
* .
* .
* \r .
* \.
.
Summen af de indre vinkler i en n-kant er 180*(n-2) grader.
Derfor bliver summen af vinklerne for de ydre vinkelafsnit
netop n*180 - (180*(n-2)) = 360 grader - en hel cirkel (med
radius r).
> Og cirklen kan opfattes som et grænsetilfælde af en konveks polygon.
Nemlig! :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 00:35 |
|
Lasse Reichstein Nielsen:
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
....
>> Resultatet må generalisere til andre konvekse polygoner.
>
> Det gør det.
....
> Summen af de indre vinkler i en n-kant er 180*(n-2) grader.
> Derfor bliver summen af vinklerne for de ydre vinkelafsnit
> netop n*180 - (180*(n-2)) = 360 grader - en hel cirkel (med
> radius r).
Altså summen af suplementvinklerne i en n-kant er 360 grader,
det er da lettere at huske end summen af de indre vinkler.
Noget tilsvarende må også gælde for rumlige figure,
her tænker jeg på rumvinkler.
| |
Martin Larsen (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 19-04-04 11:50 |
|
"Pettersen; Roald" <roald@nomail.invalid> skrev i en meddelelse news:87n058oodg.fsf@nomail.invalid...
> Lasse Reichstein Nielsen:
>
> > Summen af de indre vinkler i en n-kant er 180*(n-2) grader.
> > Derfor bliver summen af vinklerne for de ydre vinkelafsnit
> > netop n*180 - (180*(n-2)) = 360 grader - en hel cirkel (med
> > radius r).
>
> Altså summen af suplementvinklerne i en n-kant er 360 grader,
> det er da lettere at huske end summen af de indre vinkler.
Jeg ville snarere sige at det er mere intuitivt at skrive
vinkelsummen som n*180 - 360
Når nu Lasse vil have et lidt løst argument, så er det da
nemt at se at når polygonen kontraheres til et punkt, er
vinkelsummen er 360
> Noget tilsvarende må også gælde for rumlige figure,
> her tænker jeg på rumvinkler.
?
Mvh
Martin
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 19:41 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
> "Pettersen; Roald" <roald@nomail.invalid> skrev
....
>> Altså summen af suplementvinklerne i en n-kant er 360 grader,
>> det er da lettere at huske end summen af de indre vinkler.
>
> Jeg ville snarere sige at det er mere intuitivt at skrive
> vinkelsummen som n*180 - 360
>
> Når nu Lasse vil have et lidt løst argument, så er det da
> nemt at se at når polygonen kontraheres til et punkt, er
> vinkelsummen er 360
>
>> Noget tilsvarende må også gælde for rumlige figure,
>> her tænker jeg på rumvinkler.
>
> ?
Hvis du betragter en terning, badebold eller en anden lukket form,
så vil den på samme måde som en flad polygon "ende op i sig selv".
Hvis du følger (går) langs polygonen, vil du ende op hvor du startede,
med næsen pegende den samme vej.
Du har med andre ord drejet n*360 grader om dig selv.
rent intiutivt vil jeg mene at n=1 eller n=-1 er de eneste muligheder.
På samme måde vil summen af de dobbelte krumninger i de rumlige figurer
ende op i en fuld omgang. (Nej jeg kender ikke de rette ord)
Bemærk at her tæller enkeltkrumninger som en ternings kant ikke,
det er kun hjørnerne der skæpper i regnskabet.
Man kan altså ikke krumme en lukket figur én vej,
uden at krumme den lige meget modsat et andet sted.
Det ser meget tilforladeligt ud i mine øjne,
men jeg har taget fejl før.
Hvis det nu er rigtigt,
vil det også kunne overføres til flere dimentioner?
| |
Henning Makholm (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 19-04-04 20:37 |
|
Scripsit roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald)
> På samme måde vil summen af de dobbelte krumninger i de rumlige figurer
> ende op i en fuld omgang. (Nej jeg kender ikke de rette ord)
> Bemærk at her tæller enkeltkrumninger som en ternings kant ikke,
> det er kun hjørnerne der skæpper i regnskabet.
De rette ord må være noget med "rumvinkel". Hvis polyederet er
konvekst, kan man vel definere en "supplementsrumvinkel" i hvert
hjørne som det sfæriske areal af fællesmængden af de udadpegende
enhedsnormaler til samtlige planer gennem hjørnet som ikke rører
polyederet andre steder. Summen af alle disse supplementsvinkler må
(intuitivt klart) være lig arealet af en enhedskugleflade uanset
hvilken facon vores konvekse polyeder.
Hvis legemet ikke er et polyeder, men derimod glat, kan vi tilnærme
med stadig finere polyedre, og ved grænseovergang finde en
"supplementsrumvinkel-tæthed" i hvert punkt som vi kan integrere over
hele overfladen og få samme konstant. Hermed har vi (tror jeg nok)
genopdaget den gaussiske krumning!
> Hvis det nu er rigtigt,
> vil det også kunne overføres til flere dimentioner?
Det bør det kunne. Men i højere dimensioner viser der sig vist at være
meget mere at sige om krumningen et blot et enkelt tal i hvert punkt.
(Jeg kan ikke huske detaljer. Differentialgeometri er fandens langhåret).
--
Henning Makholm "You propose to avoid dying? I will be
interested to hear the method you plan for this endeavour."
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 21:08 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> (Jeg kan ikke huske detaljer. Differentialgeometri er fandens langhåret).
Jeg stopper her :)
| |
Jeppe Stig Nielsen (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 20-04-04 13:26 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> Det bør det kunne. Men i højere dimensioner viser der sig vist at være
> meget mere at sige om krumningen et blot et enkelt tal i hvert punkt.
> (Jeg kan ikke huske detaljer. Differentialgeometri er fandens langhåret).
Det er rigtigt nok. Krumningen i det pågældende punkt er en form for
tensor.
Hvis man vælger et todimensionalt lineært underrum (et »snit«) af
tangentrummet i det valgte punkt på mangfoldigheden, så er der et
enkelt tal, snitkrumningen, der beskriver krumningen i den »retning«
som snittet angiver.
Disse snitkrumninger bruger man meget. Alle de andre krumningsbegreber
kan rekonstrueres ud fra snitkrumningerne, så de indeholder al in-
formationen om krumningen (men ikke om mangfoldighedens evt. indlejring
i R^n eller en anden større mangfoldighed).
For et punkt på en 1-mangfoldiged er tangentrummet en linje, og der er
derfor ingen 2-snit (todimensionale underrum), og dermed intet krum-
ningsbegreb.
For et punkt på en 2-mangfoldighed er tangentrummet selv sit eget eneste
2-underrum. Der er derfor kun en snitkrumning, og den kaldes Gauss-
krumningen for 2-mangfoldigheden i dette punkt.
For et punkt på en 3-mangfoldighed er der mange 2-snit, og derfor mange
snitkrumninger.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jeppe Stig Nielsen (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 20-04-04 14:35 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> > På samme måde vil summen af de dobbelte krumninger i de rumlige figurer
> > ende op i en fuld omgang. (Nej jeg kender ikke de rette ord)
> > Bemærk at her tæller enkeltkrumninger som en ternings kant ikke,
> > det er kun hjørnerne der skæpper i regnskabet.
>
> De rette ord må være noget med "rumvinkel". Hvis polyederet er
> konvekst, kan man vel definere en "supplementsrumvinkel" i hvert
> hjørne som det sfæriske areal af fællesmængden af de udadpegende
> enhedsnormaler til samtlige planer gennem hjørnet som ikke rører
> polyederet andre steder. Summen af alle disse supplementsvinkler må
> (intuitivt klart) være lig arealet af en enhedskugleflade uanset
> hvilken facon vores konvekse polyeder.
Er intuitionen nu også klar nok her?
Betragt et kovekst polyeder, og lad H være antallet af hjørner. Benævn
med v_1, v_2, ..., v_H de indre rumvinkler i hjørnerne af polyedret.
Så lyder det nærmest til at det du siger, implicerer at
sum[ k·pi - v_i ] = 4·pi
hvor k formentlig er 1 eller 2. Det skulle betyde at
H·k·pi - sum[v_i] = 4·pi altså sum[v_i] = (H·k - 4)·pi
Hvis det er sådan det skal forstås, skulle rumvinkelsummen i et poly-
eder kun afhænge af antallet H af hjørner.
(Det svarer til at planvinkelsummen i en polygon er (n-2)·pi.)
Jeg tror dog ikke dette resultat holder. Intuitivt er der også noget
bøjning langs med kanterne (borte fra hjørnerne).
På nettet har jeg fundet at den indre rumvinkel i hvert af de fire
hjørner i et regulært tetraeder er
3 arccos(1/3) - pi = 0.551285598432530807942144151464459... steradianer
Så rumvinkelsummen i det regulære tetraeder er fire gange dette tal.
Altså ikke noget »pænt« brøkmultiplum af pi.
Under alle omstændigheder:
Betragt den bipyramide der fremkommer ved at lime to regilære tetraedre
sammen på en flade. Dette giver et polyeder med fem hjørner. Den samlede
rumvinkel for bipyramiden er 2 gange rumvinklen, mens antallet af hjør-
ner (der var 4 for tetraederet) er 5.
Limer man i stedet to pyramider med n-kantet grundflade sammen, får man
en ny bipyramide med n+2 hjørner. Heraf kan man vist se at en formel
som den ønskede ikke kan findes.
Her er et andet argument:
Betragt en ligesidet trekant som grundflade. Oprejs et ikke-regulært
tetraeder ved at tilføjet et nyt punkt i afstanden h vinkelret over
grundfladetrekantens centrum. Dette danner altid et polyeder med 4
hjørner. Men for h->0 går rumvinkelsummen mod 2·pi steradianer, hvor-
imod den for h->oo går mod pi steradianer. Derfor har alle tetraedre
ikke samme rumvinkelsum, og rumvinkelsummen afhænger ikke kun af
polyedrets topologi.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jeppe Stig Nielsen (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 20-04-04 15:28 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> > De rette ord må være noget med "rumvinkel". Hvis polyederet er
> > konvekst, kan man vel definere en "supplementsrumvinkel" i hvert
> > hjørne som det sfæriske areal af fællesmængden af de udadpegende
> > enhedsnormaler til samtlige planer gennem hjørnet som ikke rører
> > polyederet andre steder. Summen af alle disse supplementsvinkler må
> > (intuitivt klart) være lig arealet af en enhedskugleflade uanset
> > hvilken facon vores konvekse polyeder.
>
> Er intuitionen nu også klar nok her?
>[...]
Ups, jeg misforstod hvad du mente (dvs. jeg læste det åbenbart ikke
grundigt nok). Den type supplementrumvinkel som *du* taler om har du
vist ret i summerer til 4·pi. Tror jeg.
Mit indlæg handlede om noget lidt andet.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 21-04-04 13:34 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Ups, jeg misforstod hvad du mente (dvs. jeg læste det åbenbart ikke
> grundigt nok). Den type supplementrumvinkel som *du* taler om har du
> vist ret i summerer til 4·pi. Tror jeg.
Det var nok også forkert af mig at kalde det noget med supplement. Den
supplerer jo ikke den indre rumvinkel op til noget pænt.
--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"
| |
Jeppe Stig Nielsen (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 21-04-04 21:22 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> Det var nok også forkert af mig at kalde det noget med supplement. Den
> supplerer jo ikke den indre rumvinkel op til noget pænt.
Hvis man opfatter en planvinkel som to halvlinjer der udgår fra samme
punkt, så gælder der at to sådanne planvinkler er kongruente hvis de
har samme radiantal.
Det anderledes ved rumvinkler er at deres størrelse (steradiantal) ikke
siger alt om deres facon. »Keglen« hørende til en rumvinkel på fx 1 sr
kan jo have mange former.
Når man bare siger »rumvinkel« er jeg i tvivl om man udelukkende mener
den størrelse der måles i steradianer, eller om man også tænker på
faconen af den »kegle« der udgår fra rumvinklens toppunkt.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 21-04-04 23:24 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Når man bare siger »rumvinkel« er jeg i tvivl om man udelukkende mener
> den størrelse der måles i steradianer, eller om man også tænker på
> faconen af den »kegle« der udgår fra rumvinklens toppunkt.
Jeg har hele tiden kun tænkt på den første størrelse.
Men mit (uudtalte) argument for at det hele summer op til 4pi sr, var
ganske vist at hvis man parallelforskyder de de enkelte normalkegler i
hjørnepunkterne så deres toppunkter falder sammen, vil næsten alle
punkter i rummet derefter indgå i netop én af keglerne.
--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."
| |
Pettersen; Roald (21-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 21-04-04 23:51 |
|
Henning Makholm:
....
> Men mit (uudtalte) argument for at det hele summer op til 4pi sr, var
> ganske vist at hvis man parallelforskyder de de enkelte normalkegler i
> hjørnepunkterne så deres toppunkter falder sammen, vil næsten alle
> punkter i rummet derefter indgå i netop én af keglerne.
Men der er vel ingen _retninger_ der er udeladt?
(Og ingen optræder n*2 gange)
Jeg kan ikke lide "næsten alle punkter",
især hvis der ikke er endeligt mange af dem.
| |
Henning Makholm (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 22-04-04 00:07 |
|
Scripsit roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald)
> Henning Makholm:
> > Men mit (uudtalte) argument for at det hele summer op til 4pi sr, var
> > ganske vist at hvis man parallelforskyder de de enkelte normalkegler i
> > hjørnepunkterne så deres toppunkter falder sammen, vil næsten alle
> > punkter i rummet derefter indgå i netop én af keglerne.
> Men der er vel ingen _retninger_ der er udeladt?
Min definition var "normalerne til de planer der kun rører polyederet
i det pågældende hjørne". Med den definition vil normalen til et plan
der er parallel med en kant, aldrig blive taget med. (Men det gør ikke
noget, for de udgør alligevel en nulmængde).
> Jeg kan ikke lide "næsten alle punkter",
> især hvis der ikke er endeligt mange af dem.
Det var et målteoretisk "næsten alle". En delmængde af en eller anden
grundmængde med et mål på siges at indeholde "næsten alle punkter"
(eller: den egenskab der definerer mængden holder "næsten overalt"),
hvis dens komplementærmængde har mål 0.
--
Henning Makholm "Han råber og skriger, vakler ud på kørebanen og
ind på fortorvet igen, hæver knytnæven mod en bil,
hilser overmådigt venligt på en mor med barn, bryder ud
i sang og stiller sig til sidst op og pisser i en port."
| |
Jeppe Stig Nielsen (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 22-04-04 08:37 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> > Når man bare siger »rumvinkel« er jeg i tvivl om man udelukkende mener
> > den størrelse der måles i steradianer, eller om man også tænker på
> > faconen af den »kegle« der udgår fra rumvinklens toppunkt.
>
> Jeg har hele tiden kun tænkt på den første størrelse.
Men afhænger din konstruktion af »supplemt-rumvinkel« (som måske skal
hedde noget andet) ikke af »keglens« kongruensklasse?
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 22-04-04 14:45 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:
> > > Når man bare siger »rumvinkel« er jeg i tvivl om man udelukkende mener
> > > den størrelse der måles i steradianer, eller om man også tænker på
> > > faconen af den »kegle« der udgår fra rumvinklens toppunkt.
> > Jeg har hele tiden kun tænkt på den første størrelse.
> Men afhænger din konstruktion af »supplemt-rumvinkel« (som måske skal
> hedde noget andet) ikke af »keglens« kongruensklasse?
Jo, (som jeg også skrev). Hvad jeg mente var at med *ordet*
"rumvinkel" forstod jeg kun det skalare tal der måles i steradianer.
--
Henning Makholm "Hele toget raslede imens Sjælland fór forbi."
| |
Jeppe Stig Nielsen (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 19-04-04 14:40 |
|
"Pettersen; Roald" wrote:
>
> Altså summen af suplementvinklerne i en n-kant er 360 grader,
> det er da lettere at huske end summen af de indre vinkler.
Det er rigtigt. Altså sum[ 180° - v_i ] = 360° , hvor v_1, v_2, ...,
v_n er polygonvinklerne, altså de indre vinkler.
Heraf følger ganske rigtigt at n·180° - sum[v_i] = 360° .
Supplementvinklerne er de vinkler som hastighedsvektoren ændrer sig med
i knækket når polygonen gennemløbes af en partikel (fx med konstant
fart). For krumme, stykkevis differentiable Jordan-kurver kan man bevise
et tilsvarende resultat hvor man skal medtage kontinuerte drejning langs
kurvens krumme stykker.
Om de ydre vinkler, altså eksplementvinklerne (360°-v_i), gælder der
derimod sum[ 360° - v_i ] = n·180° .
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Kragelund (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Kragelund |
Dato : 18-04-04 19:37 |
|
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
> enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
> ned til jorden hele vejen rundt.
>
> Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter
forlængelsen.?
> (Jordens radius antages at være 6378km)
>
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft"
inden
> du regner på det.!
>
> Overrasket ?
Prøv så at regne det samme ud med en appelsin...lad os sige radius 5cm...
Kan huske at mine forældre ikke helt kunne forstå forskellen (eller manglen
derpå) da jeg gav dem opgaven...
krage
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 21:01 |
|
Martin Kragelund:
> Prøv så at regne det samme ud med en appelsin...
> lad os sige radius 5cm...
> Kan huske at mine forældre ikke helt kunne forstå forskellen
> (eller manglen derpå) da jeg gav dem opgaven...
Prøv så at indhyld Jorden i appelsinskal.
Forøg arealet med skallen fra din appelsin,
og du vil kunne løfte skallen om Jorden med 5 cm
overalt på samme tid!
| |
Henning Makholm (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 18-04-04 21:31 |
|
Scripsit roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald)
> Prøv så at indhyld Jorden i appelsinskal.
> Forøg arealet med skallen fra din appelsin,
> og du vil kunne løfte skallen om Jorden med 5 cm
> overalt på samme tid!
Nej, det virker ikke med arealer. De vokser nemlig proportionalt med
*kvadratet* på radius, og ikke ligefremt proportionalt.
Forskellen mellem *arealet* af en kugleflade med Jordens radius og en
kugleflade med radius 5 cm større er det samme som overfladearealet af
en appelsin med radius 800 meter!
--
Henning Makholm "Jeg har tydeligt gjort opmærksom på, at man ved at
følge den vej kun bliver gennemsnitligt ca. 48 år gammel,
og at man sætter sin sociale situation ganske overstyr og, så
vidt jeg kan overskue, dør i dybeste ulykkelighed og elendighed."
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 22:41 |
|
Henning Makholm:
> Nej, det virker ikke med arealer. De vokser nemlig proportionalt med
> *kvadratet* på radius, og ikke ligefremt proportionalt.
Ja, jeg tænkte terning og hjørner, men glemte kanterne.
Ja ja, jeg matematik er ikke _så_ enkelt alligevel.
| |
Pettersen; Roald (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 18-04-04 22:56 |
|
Pettersen; Roald:
> Henning Makholm:
>
> > Nej, det virker ikke med arealer. De vokser nemlig proportionalt med
> > *kvadratet* på radius, og ikke ligefremt proportionalt.
>
> Ja, jeg tænkte terning og hjørner, men glemte kanterne.
Og ikke dermed sagt at kugle og terning har samme areal.
Nu har jeg vist dummet mig nok, godnat.
| |
Jeppe Stig Nielsen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 18-04-04 23:13 |
|
"Pettersen; Roald" wrote:
>
> > > Nej, det virker ikke med arealer. De vokser nemlig proportionalt med
> > > *kvadratet* på radius, og ikke ligefremt proportionalt.
> >
> > Ja, jeg tænkte terning og hjørner, men glemte kanterne.
>
> Og ikke dermed sagt at kugle og terning har samme areal.
Det vigtige er jo bare at overfladearealet S går som kvadratet på den
karakteristiske længde. For kubussen er det
S = 6·a²
og for sfæren er det
S = (4·pi)·r²
men de konstante koefficienter 6 og 4·pi er egentlig ligegyldige i
denne sammenhæng.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Michael Berg (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Michael Berg |
Dato : 18-04-04 23:53 |
|
Hej,
> Det vigtige er jo bare at overfladearealet S går som kvadratet på den
> karakteristiske længde. For kubussen er det
>
> S = 6·a²
>
> og for sfæren er det
>
> S = (4·pi)·r²
Det har også den konsekvens, at hvis man laver en sfære, der præcist passer
indeni en kubus, så har kubussen et areal der er næsten dobbelt så stort som
sfæren - godt 91%.
Så hvis solen var en kubus så .. tja. Gad vide hvor mange % mere varme pr.
m2 vi ville modtage her på jorden...?
/Michael
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 00:01 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Det vigtige er jo bare at overfladearealet S går som kvadratet på den
> karakteristiske længde. For kubussen er det
>
> S = 6·a²
>
> og for sfæren er det
>
> S = (4·pi)·r²
>
> men de konstante koefficienter 6 og 4·pi er egentlig ligegyldige i
> denne sammenhæng.
Jeg ku sku ikke sove.
Så hvis du har to vilkårlig legemer,
med lige store overfladeareal,
og lægger et lige tykt lag på begge,
vil så arealforøgelsen være den samme?
| |
Bertel Lund Hansen (18-04-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 18-04-04 22:01 |
|
Pettersen; Roald skrev:
>Prøv så at indhyld Jorden i appelsinskal.
>Forøg arealet med skallen fra din appelsin,
>og du vil kunne løfte skallen om Jorden med 5 cm
>overalt på samme tid!
Fedt!
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:46 |
|
On 2004-04-18 22:01:13 +0200, roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald) said:
> Prøv så at indhyld Jorden i appelsinskal.
> Forøg arealet med skallen fra din appelsin,
> og du vil kunne løfte skallen om Jorden med 5 cm
> overalt på samme tid!
Så skal jorden vist pakkes til neutronstjernetæthed.
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
We communists have to string along with the capitalists for a while. We
need their credits, their agriculture, and their technology. But we are
going to continue massive military programs and by the middle 1980s we
will be in a position to return to a much more aggressive foreign
policy designed to gain the upper hand in our relationship with the
West.
- Leonid Brezhnev. Remarks in 1971 to the Politburo at the beginning of
détente.
| |
Lasse Reichstein Nie~ (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 19-04-04 00:41 |
|
roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald) writes:
>
> Så hvis du har to vilkårlig legemer,
> med lige store overfladeareal,
> og lægger et lige tykt lag på begge,
> vil så arealforøgelsen være den samme?
Nej. Ikke engang hvis det er konvekse legemer.
Tag en plade der er 1 meter på hver led og 10 cm tyk.
Smør et 50cm tykt lag på hele overfalde.
Hvad volumen end er, så er den mindre end 2m * 2m * 1.1m =
4.4 kubikmeter.
Tag så en plade der er 10 meter på hver led og 1 mm tyk.
Den har samme volumen som den anden.
Smør et 50 cm tykt lag på den også.
Der ligger nu 100 kubikmeter på de store flader alene.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Henning Makholm (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 19-04-04 00:39 |
|
Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald) writes:
> > Så hvis du har to vilkårlig legemer,
> > med lige store overfladeareal,
> > og lægger et lige tykt lag på begge,
> > vil så arealforøgelsen være den samme?
> Nej. Ikke engang hvis det er konvekse legemer.
[Klip argument]
Læg mærke til at der slet ikke blev spurgt om volumenforøgelse
eller "samme volumen".
Men svaret er "nej" alligevel.
Lad os gøre de to legemer til meget flade og tynde legemer.
Arealforøgelsen vil nu være tilnærmelsesvis proportional med hver
todimensionel figurs *omkreds*. Og den har ikke noget fast forhold
til figurens *areal*.
--
Henning Makholm "Larry wants to replicate all the time ... ah, no,
all I meant was that he likes to have a bang everywhere."
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 19:41 |
|
Henning Makholm:
>> roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald) writes:
>
>>> Så hvis du har to vilkårlig legemer,
>>> med lige store overfladeareal,
>>> og lægger et lige tykt lag på begge,
>>> vil så arealforøgelsen være den samme?
....
> Men svaret er "nej" alligevel.
>
> Lad os gøre de to legemer til meget flade og tynde legemer.
To stykker papir, hvor det ene er krøllet sammen til en kugle?
> Arealforøgelsen vil nu være tilnærmelsesvis proportional med hver
> todimensionel figurs *omkreds*.
> Og den har ikke noget fast forhold til figurens *areal*.
Jeg tror jeg har forstået.
| |
Henning Makholm (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 19-04-04 20:22 |
|
Scripsit roald@nomail.invalid (Pettersen; Roald)
> Henning Makholm:
> > Lad os gøre de to legemer til meget flade og tynde legemer.
> To stykker papir, hvor det ene er krøllet sammen til en kugle?
Nej. To stykker pap med samme areal. Det ene er trekantet, det andet
er rundt. Trekanten har længere omkreds end cirklen, og vinder derfor
mere overflade end cirklen, hvis man tilføjer et jævnt lag materiale
over det hele.
--
Henning Makholm "... it cannot be told in his own
words because after September 11 he
forgot about keeping his diary for a long time."
| |
Pettersen; Roald (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Pettersen; Roald |
Dato : 19-04-04 21:08 |
|
Henning Makholm:
....
> Nej. To stykker pap med samme areal. Det ene er trekantet, det andet
> er rundt. Trekanten har længere omkreds end cirklen, og vinder derfor
> mere overflade end cirklen, hvis man tilføjer et jævnt lag materiale
> over det hele.
Pga. omkredsen som du nævnte tidligere, tak!
| |
anonym (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : anonym |
Dato : 19-04-04 00:28 |
|
>
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft" inden
> du regner på det.!
>
Min logik siger, at en snor rundt omkring jorden, som man strammer, vil hoppe op - og dermed så må
afstanden i en meters højde være mindre.
| |
Brian Lund (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Brian Lund |
Dato : 19-04-04 17:58 |
|
> > Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft"
inden
> > du regner på det.!
> >
>
> Min logik siger, at en snor rundt omkring jorden, som man strammer, vil
hoppe op - og dermed så må
> afstanden i en meters højde være mindre.
Det var da en mærklig logik, medmindre at du har lært at vi bor på
indersiden af jorden, og at jorden er hul ;)
Brian
| |
Henning Makholm (19-04-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 19-04-04 20:24 |
|
Scripsit "Brian Lund" <geronimo@-ABCDE-mobilixnet.dk>
> > Min logik siger, at en snor rundt omkring jorden, som man
> > strammer, vil hoppe op - og dermed så må afstanden i en meters
> > højde være mindre.
> Det var da en mærklig logik, medmindre at du har lært at vi bor på
> indersiden af jorden, og at jorden er hul ;)
Det er vist en hverdagslogik der (med vilje?) ikke tager højde for at
jorden er rund. Normalt i hverdagen gælder det jo at hvis man har en
snor der ligger fladt hen ad jorden og vil have den til at svæve et
stykke højere oppe, skal man trække i den.
--
Henning Makholm "We can hope that this serious deficiency will be
remedied in the final version of BibTeX, 1.0, which is
expected to appear when the LaTeX 3.0 development is completed."
| |
Bertel Lund Hansen (20-04-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 20-04-04 09:07 |
|
anonym skrev:
>Min logik siger, at en snor rundt omkring jorden, som man
>strammer, vil hoppe op - og dermed så må afstanden
>i en meters højde være mindre.
Men hvis din logik nu også siger dig at snoren skal ligge stramt
hen ad jorden før vi skal have den løftet op, så kan du nok se at
det ikke kan gøres uden at gøre den længere. Din snor kan jo kun
strammes fordi den er slap fra begyndelsen.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
N/A (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : N/A |
Dato : 22-04-04 13:55 |
|
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:24 |
|
On 2004-04-17 20:09:43 +0200, "pmn" <pmn@nospam.dk> said:
> Hejsa
>
> Forestil jer at vi binder en snor rundt om jorden ved ækvator, således at
> enderne når hinanden og snoren rører jorden hele vejen rundt.
>
> Vi forlænger herefter snoren med 1 meter, og lader den have samme afstand
> ned til jorden hele vejen rundt.
>
> Hvor stor afstand vil der være mellem snoren og jorden efter forlængelsen.?
> (Jordens radius antages at være 6378km)
>
> Prøv først at komme med et kvalificeret gæt udfra alm. "sund fornuft" inden
> du regner på det.!
>
> Overrasket ?
>
> (P.s. for dem der ikke selv gider regne på det kommer resultatet lidt
> senere....)
Jeg har hørt den før, men har glemt den i mellemtiden, så ja, jeg blev
overrasket.
Løsning:
Forhold mellem en cirkels radius r og omkreds O er:
O = 2 ? r
omskriv og isoler r:
O / 2 ? = r
omkreds skal blive 1 m. længere, således bliver ligningen:
O + 1 / 2 ? = r
Ovenstående tænker man jo intuitivt, men det skal være således:
(O +1 ) - O / 2 ? = r = 1 / 2 ? =
1 / ~6,28 ? 0,1592 m
Utroligt, men sandt.
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
We communists have to string along with the capitalists for a while. We
need their credits, their agriculture, and their technology. But we are
going to continue massive military programs and by the middle 1980s we
will be in a position to return to a much more aggressive foreign
policy designed to gain the upper hand in our relationship with the
West.
- Leonid Brezhnev. Remarks in 1971 to the Politburo at the beginning of
détente.
| |
Peter Bjørn Perlsø (22-04-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Bjørn Perlsø |
Dato : 22-04-04 17:30 |
|
On 2004-04-22 18:24:15 +0200, Peter Bjørn Perlsø
<peter@FUCKOFFSPAMMER.dk> said:
> Jeg har hørt den før, men har glemt den i mellemtiden, så ja, jeg blev
> overrasket.
>
> Løsning:
>
> Forhold mellem en cirkels radius r og omkreds O er:
>
> O = 2 ? r
>
> omskriv og isoler r:
>
> O / 2 ? = r
>
> omkreds skal blive 1 m. længere, således bliver ligningen:
>
> O + 1 / 2 ? = r
>
> Ovenstående tænker man jo intuitivt, men det skal være således:
>
> (O +1 ) - O / 2 ? = r = 1 / 2 ? =
>
> 1 / ~6,28 ? 0,1592 m
>
> Utroligt, men sandt.
Og for skeptikerne regnede jeg den lige ud med de angivne størrelser:
Jordens radius er givet til: 6378 kilometer = 6378000 m
Omkredsen er radius * 2? = 6378000 m * 2? = 40074155.89 meter
Så skal snoren være 1 meter længere end ovenstående omreds, dvs:
40074155.89 + 1 = 40074156.89
Nu skal vi tilbage til radius dvs vi dividerer med 2?:
40074156.89 / 2? = 6378000,159
dvs nu har vi de lovede 15,9 cm tilovers. HOPLA!
=)
--
http://haxor.dk +45 2685 5909
We communists have to string along with the capitalists for a while. We
need their credits, their agriculture, and their technology. But we are
going to continue massive military programs and by the middle 1980s we
will be in a position to return to a much more aggressive foreign
policy designed to gain the upper hand in our relationship with the
West.
- Leonid Brezhnev. Remarks in 1971 to the Politburo at the beginning of
détente.
| |
|
|