/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Fysiske axiomer?
Fra : Michael Vittrup


Dato : 02-02-04 10:39



 
 
Kristian Damm Jensen (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen


Dato : 02-02-04 11:25

Michael Vittrup wrote:
> Vi har matematiske axiomer; men eksisterer der også fysiske axiomer?

Nej.

Axiomer er grundsætninger, der hverken kan eller skal bevises, endsige
argumenteres for. Man kan konstruere vilkårlige modeller ud fra sit
valg af aksiomer.

Alt dette giver ikke mening indenfor fysikken, hvis mål er at beskrive
den virkelige verden.

--
Kristian Damm Jensen
damm (at) ofir (dot) dk



Jesper Sørensen (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Jesper Sørensen


Dato : 02-02-04 12:49

Kristian Damm Jensen wrote:
> Michael Vittrup wrote:
>
>>Vi har matematiske axiomer; men eksisterer der også fysiske axiomer?
>
>
> Nej.
>
> Axiomer er grundsætninger, der hverken kan eller skal bevises, endsige
> argumenteres for. Man kan konstruere vilkårlige modeller ud fra sit
> valg af aksiomer.
>
> Alt dette giver ikke mening indenfor fysikken, hvis mål er at beskrive
> den virkelige verden.
>

Hvad er så fx termodynamikkens hovedsætninger så hvis de ikke er
axiomer. Deres rigtighed er kun empirisk bevist.

mvh
Jesper

Kristian Damm Jensen (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen


Dato : 02-02-04 12:58

Jesper Sørensen wrote:
> Kristian Damm Jensen wrote:
>> Michael Vittrup wrote:
>>
>>> Vi har matematiske axiomer; men eksisterer der også fysiske
axiomer?
>>
>>
>> Nej.
>>
>> Axiomer er grundsætninger, der hverken kan eller skal bevises,
>> endsige argumenteres for. Man kan konstruere vilkårlige modeller ud
>> fra sit valg af aksiomer.
>>
>> Alt dette giver ikke mening indenfor fysikken, hvis mål er at
>> beskrive den virkelige verden.
>
> Hvad er så fx termodynamikkens hovedsætninger så hvis de ikke er
> axiomer. Deres rigtighed er kun empirisk bevist.

"Bevist" er vist ikke det rette ord i den sammenhæng. Ingen fysiske
teorier er bevist i matematisk forstand. Men de er i større eller
mindre (oftest større) omfang understøttet af empirisk materiale. (Og
i ingen tilfælde modsagt af empirisk materiale!) Hvilket netop er hvad
der adskiller dem fra (matematiske) axiomer, der ikke (i al fald ikke
nødvendigvis) har noget med den virkeligt verden at gøre.

Hvis der skulle findes sammenhænge, hvor man benytter begrebet axiomer
i en anden betydning end den matematiske, så har jeg i al fald ikke
hørt om det.


>
> mvh
> Jesper

--
Kristian Damm Jensen
damm (at) ofir (dot) dk



Carsten Svaneborg (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg


Dato : 02-02-04 11:58

Jesper Sørensen wrote:
> Hvad er så fx termodynamikkens hovedsætninger så hvis de ikke er
> axiomer. Deres rigtighed er kun empirisk bevist.
Netop.

Og matematikkens aksiomer er slet ikke bevist. ;*)

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

Niels L. Ellegaard (03-02-2004)
Kommentar
Fra : Niels L. Ellegaard


Dato : 03-02-04 00:08

Jesper Sørensen <s961595@XXXstudent.dtu.dk> writes:
> Kristian Damm Jensen wrote:
> >
> > Axiomer er grundsætninger, der hverken kan eller skal bevises,
> > endsige argumenteres for. Man kan konstruere vilkårlige modeller
> > ud fra sit valg af aksiomer. Alt dette giver ikke mening indenfor
> > fysikken, hvis mål er at beskrive
> > den virkelige verden.
>
> Hvad er så fx termodynamikkens hovedsætninger så hvis de ikke er
> axiomer. Deres rigtighed er kun empirisk bevist.

Jeg vil kalde termodynamikkens hovedsætninger for teoremer. De kan
udledes fra statistisk mekanik.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Michael Vittrup (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Michael Vittrup


Dato : 02-02-04 14:08



Henning Makholm (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 02-02-04 15:26

Scripsit Michael Vittrup <vittrup@ima.auc.dk>

> Men, er det ikke aksiomer, at "+" og "-" tiltrækker hinanden, og "+" og
> "+" frastøder hinanden ..

Nej, det er blot forsimplede (og informationstabende) fremstillinger
af en del af elektrostatikkens regler.

Jeg mener godt man kan tale om aksiomer i fysik, nemlig det deduktive
grundlag for en teori. Således er Maxwells ligninger aksiomer i
klassisk elektrodynamik, og "lysets fart i vakuum er konstant og ens i
alle inertialsystemer" et aksiom i den specielle relativitetsteori.

Aksiomerne står og falder naturligvis med den empiriske gyldighed af
den teori de giver ophav til. Men det er ikke meget anderledes end i
matematik: Aksiomerne for vektorrum gælder kun så længe det vi ser på,
faktisk opfører sig som et vektorrum.

--
Henning Makholm "og de står om nissen Teddy Ring."

Kristian Damm Jensen (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen


Dato : 02-02-04 15:25

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Michael Vittrup <vittrup@ima.auc.dk>
>
>> Men, er det ikke aksiomer, at "+" og "-" tiltrækker hinanden, og
"+"
>> og "+" frastøder hinanden ..
>
> Nej, det er blot forsimplede (og informationstabende) fremstillinger
> af en del af elektrostatikkens regler.
>
> Jeg mener godt man kan tale om aksiomer i fysik, nemlig det
deduktive
> grundlag for en teori. Således er Maxwells ligninger aksiomer i
> klassisk elektrodynamik, og "lysets fart i vakuum er konstant og ens
i
> alle inertialsystemer" et aksiom i den specielle relativitetsteori.
>
> Aksiomerne står og falder naturligvis med den empiriske gyldighed af
> den teori de giver ophav til. Men det er ikke meget anderledes end i
> matematik: Aksiomerne for vektorrum gælder kun så længe det vi ser
på,
> faktisk opfører sig som et vektorrum.

Men er der så tale om *fysiske* aksiomer? Er der ikke i stedet tale om
matematiske aksiomer, som du bruger til at opbygge en model.

Man kan så empirisk undersøge om modelen har noget med virkeligheden
at gøre, men modellens matematiske korrekthed er uafhængig heraf.

Oh, well, jeg er vist (1) ude at svømme og (2) ved at udvikle dette
til det rene ordkløveri.

--
Kristian Damm Jensen
damm (at) ofir (dot) dk



Henning Makholm (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 02-02-04 15:39

Scripsit "Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Jeg mener godt man kan tale om aksiomer i fysik, nemlig det
> > deduktive grundlag for en teori. Således er Maxwells ligninger
> > aksiomer i klassisk elektrodynamik, og "lysets fart i vakuum er
> > konstant og ens i alle inertialsystemer" et aksiom i den specielle
> > relativitetsteori.

> Men er der så tale om *fysiske* aksiomer? Er der ikke i stedet tale om
> matematiske aksiomer, som du bruger til at opbygge en model.

Det er vel en strid om ord. De fleste af dem er ikke så rent formelle
som matematikkens aksiomer plejer at være.

Så vidt jeg sådan lige kan observere, er en gennemsnitlig fysiker mere
indædt overbevist om at termodynamikkens anden lov gælder, end en
gennemsnitlig matematiker er om udvalgsaksiomet...

--
Henning Makholm "I have seen men with a *fraction* of
your trauma pray to their deity for death's
release. And when death doesn't arrive immediately,
they reject their deity and begin to beg to another."

Jeppe Stig Nielsen (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 02-02-04 16:10

Henning Makholm wrote:
>
> Jeg mener godt man kan tale om aksiomer i fysik, nemlig det deduktive
> grundlag for en teori. Således er Maxwells ligninger aksiomer i
> klassisk elektrodynamik, og "lysets fart i vakuum er konstant og ens i
> alle inertialsystemer" et aksiom i den specielle relativitetsteori.

Det synes jeg også.

>
> Aksiomerne står og falder naturligvis med den empiriske gyldighed af
> den teori de giver ophav til. Men det er ikke meget anderledes end i
> matematik: Aksiomerne for vektorrum gælder kun så længe det vi ser på,
> faktisk opfører sig som et vektorrum.

I hvert fald er det jo nyttigt også for en fysiker at skelne mellem
hvilke udsagn der er fundamentale påstande (»aksiomer«), og hvilke der
er logiske (matematiske) konsekvenser af de førstnævnte.

Efter behag kan man selvfølgelig selv udnævne hvilket sæt af påstande
man vil tage som udgangspunkt (ligesom inden for matematikken).

Teoretiske fysikere kan jo godt finde på at bevise sætninger (af dem
indimellem kaldet »teoremer«) og alt muligt ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Jesper Harder (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Jesper Harder


Dato : 02-02-04 16:25

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Jeg mener godt man kan tale om aksiomer i fysik, nemlig det
> deduktive grundlag for en teori.

Du kan sagtens finde folk, der beskæftiger sig med aksiomatiseringer
af forskellige fysiske teorier: aksiomatisk kvantefeltteori, »rationel
termodynamik« osv. osv.

Men det er som regel matematikere, og det de laver har sjældent nogen
særlig fysisk relevans eller interesse for fysikere. Hvis det har en
gran af fysisk betydning, kalder man det nogen gange matematisk fysik.

Jesper Harder (03-02-2004)
Kommentar
Fra : Jesper Harder


Dato : 03-02-04 00:41

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

> Jeg vil kalde termodynamikkens hovedsætninger for teoremer. De kan
> udledes fra statistisk mekanik.

Næppe på en måde som vil kunne tilfredstille en matematikers
bevisstandard

Brian Elmegaard (05-02-2004)
Kommentar
Fra : Brian Elmegaard


Dato : 05-02-04 20:33

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

> Jeg vil kalde termodynamikkens hovedsætninger for teoremer. De kan
> udledes fra statistisk mekanik.

Jeg har svært ved at tro på dette, men har også kun et vagt begreb om
statistisk mekanik.

Jeg har efter at have læst mig gennem hvad jeg kunne finde af artikler
om hvad entropi er, nu fundet et par lærebøger i statistisk mekanik (SM).
Ingen af dem udleder 1. hovedsætning ud fra SM, men konstaterer den
kun.

Hvad anden hovedsætning angår roder man sig ud i at SM kan forklare
entropien, men ikke sætningen. Entropien mener man forklaret fordi
man for en ideal gas kan udlede et udtryk som giver samme
entropiændring for det mikroskopiske som det makroskopiske
tilfælde. Det mener jeg ikke kan give anledning til den
generalisering som bruges i en del litteratur og lærebøger, nemlig at
entropien er en usikkerhed (og/eller uorden og/eller information
og/eller viden). Hvad er det jeg ikke har indset?

Derudover: Hvordan kan man acceptere at man udleder formlerne i statistisk
mekanik ud fra faserum (? ´phase space´) som i nogle tilfælde dækker
over positioner, i nogle over hastigheder, i nogle over begge, men
aldrig inddrager acceleration som er lige så vigtig som de to andre i
normal anvendelse af mekanik?

Hvorfor kan man benytte modellen, hvor man tænker på kasser der
inddeler faserummet, når hastigheder kan ligge mellem 0 og uendelig,
mens position kan være undelig mange steder i gassens volumen? Så
vidt jeg kan se giver den samme entropiændring ikke samme usikkerhed
i faserummet, hvis der påføres som volumen frem for hastighed.

Jeg undres og håber at jeg kan blive afklaret.
--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be

Jonas Møller Larsen (08-02-2004)
Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen


Dato : 08-02-04 11:46

Brian Elmegaard wrote:
> Jeg har efter at have læst mig gennem hvad jeg kunne finde af artikler
> om hvad entropi er, nu fundet et par lærebøger i statistisk mekanik (SM).
> Ingen af dem udleder 1. hovedsætning ud fra SM, men konstaterer den
> kun.

De bøger, jeg har om emnet, begynder med at referere til generel
energibevarelse og *definerer* herefter varme, som den andel af et
systems energitilvækst, der ikke skyldes et ydre arbejde, dQ = dE - dW
(pr. definition), så her er ikke noget nyt at bevise/udlede udover
energibevarelsen.

> Hvad anden hovedsætning angår roder man sig ud i at SM kan forklare
> entropien, men ikke sætningen. Entropien mener man forklaret fordi
> man for en ideal gas kan udlede et udtryk som giver samme
> entropiændring for det mikroskopiske som det makroskopiske
> tilfælde.

Jeg er ikke helt sikker på, hvad du mener her. I stat. mek. viser man,
at den makroskopiske definition på entropi, dS = dQ_reversibel/T,
generelt (ikke kun for idealgasser) er ækvivalent med den mikroskopiske
definition, S = k ln W.

At den totale entropi så er ikke-aftagende, kan man appellere til med
argumenter som "når 1000 puslespilsbrikker kastes op i luften, er der
større chance for at de lander hulter til bulter (høj entropi-tilstand)
end som et samlet puslespil (lav entropi-tilstand), så det er klart, at
entropien vokser!", men det er sværere at give et formelt matematisk
bevis for, at dette er en systematisk tendens (fordi man ikke kan regne
på 1000 brikker for slet ikke at tale om 10^26 molekyler), så man
indfører det som en selvstændig fysisk lov.

> Det mener jeg ikke kan give anledning til den
> generalisering som bruges i en del litteratur og lærebøger, nemlig at
> entropien er en usikkerhed (og/eller uorden og/eller information
> og/eller viden). Hvad er det jeg ikke har indset?

Fortolkningen af entropi som uorden eller uviden følger ret direkte af
den mikroskopiske definition, S = k ln W. W er antallet af tilstande i
faserummet som er kompatible med vores viden om systemet. Jo flere af
systemets koordinater vi kender, jo mindre er W og dermed S. Omvendt, jo
mindre vi ved om systemet, jo større er entropien. k er i denne
sammenhæng blot en irritationskonstant.

> Derudover: Hvordan kan man acceptere at man udleder formlerne i statistisk
> mekanik ud fra faserum (? ´phase space´) som i nogle tilfælde dækker
> over positioner, i nogle over hastigheder, i nogle over begge, men
> aldrig inddrager acceleration som er lige så vigtig som de to andre i
> normal anvendelse af mekanik?

Jeg /tror/, at stat. mek. er ligeglad med, hvordan faserummet præcist
ser ud, men når faserummet typisk udspændes af impulser og positioner,
så skyldes det, at de fundamentale bevægelsesligninger er netop 2.
ordens differentialligninger. For at specificere et systems tilstand
fuldstændigt er det derfor nødvendigt at angive hvert molekyles position
og hastighed (eller position og impuls).

Havde Newtons 2. lov hypotetisk været af 4. orden i tiden, ville det
også være nødvendigt at angive hvert enkelt molekyles acceleration samt
accelerationens tidsafledede for at fastlægge systemets tilstand.

> Hvorfor kan man benytte modellen, hvor man tænker på kasser der
> inddeler faserummet, når hastigheder kan ligge mellem 0 og uendelig,
> mens position kan være undelig mange steder i gassens volumen? Så
> vidt jeg kan se giver den samme entropiændring ikke samme usikkerhed
> i faserummet, hvis der påføres som volumen frem for hastighed.

Hvad mener du? Hvis vi bruger S = k ln W til at bestemme entropien, så
er det klart, at det alene er antallet af tilstande i det til rådighed
stående faserum som bestemmer entropien. Formen skulle være ligegyldig.

--
Jonas Møller Larsen

Jeppe Stig Nielsen (08-02-2004)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 08-02-04 18:24

Jonas Møller Larsen wrote:
>
> At den totale entropi så er ikke-aftagende, kan man appellere til med
> argumenter som "når 1000 puslespilsbrikker kastes op i luften, er der
> større chance for at de lander hulter til bulter (høj entropi-tilstand)
> end som et samlet puslespil (lav entropi-tilstand), så det er klart, at
> entropien vokser!", men det er sværere at give et formelt matematisk
> bevis for, at dette er en systematisk tendens (fordi man ikke kan regne
> på 1000 brikker for slet ikke at tale om 10^26 molekyler), så man
> indfører det som en selvstændig fysisk lov.

Hvis man vil appellere til matematik her, skal man vist have fat i et
passende resultat fra sandsynlighedsteorien, fx en version af de store
tals lov. Dybest set er anden hovedsætning vel en statistisk sandhed
i stil med: Når man kaster 10^26 terninger, vil 16,67 % af dem vise en
sekser.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Jonas Møller Larsen (08-02-2004)
Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen


Dato : 08-02-04 20:56

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Dybest set er anden hovedsætning vel en statistisk sandhed
> i stil med: Når man kaster 10^26 terninger, vil 16,67 % af dem vise en
> sekser.

Ja, sådan opfatter jeg det også, men kan man bevise at virkelige
terninger faktisk adlyder dén statistik (uden at ty til billige tricks
som empiri)? Antag, at en terning ligger i tilfældig position i et
raflebæger men orienteret sådan at ét-siden vender opad. Ryst bægeret i
lang tid og slå et slag. Vis, at de seks udfald er lige sandsynlige.
(Hvis man ikke bryder sig om det tilfældige element i
begyndelsestilstanden, så gennemfør i stedet argumentet for et ensemble
af 10^26 bægere, hvor terningerne ligger i alle mulige positioner.) Det
er svært.

--
Jonas Møller Larsen

Niels L. Ellegaard (08-02-2004)
Kommentar
Fra : Niels L. Ellegaard


Dato : 08-02-04 15:30

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:

> gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:
>
> > Jeg vil kalde termodynamikkens hovedsætninger for teoremer. De kan
> > udledes fra statistisk mekanik.
>
> Jeg har svært ved at tro på dette, men har også kun et vagt begreb om
> statistisk mekanik.

Hmm jeg var måske lidt hurtigt ude med ordet teorem. Her kommer en
kort beskrivelse af argumentationen der er også nogen huller i. Når
jetg får lidt mere tid vil jeg kigge i mine bøger og vende tilbage til
denne thread.

Anden hovensætning siger at ligevægtstilstanden for et makroskopisk
system er den tilstand der har den største entropi. Du har ret i at de
fleste bøger postulerer dette resultat ud fra en intuitiv
argumentation. Problemet er at man ikke kan definere ordet ligevægt
uden at definere en slags bevægelsesligning. Opgaven går altså ud på
at vise at for en hvilken som helst starttilstand vil den
makroskopiske system ende i ligevægtstilstanden.

Lad os regne klassisk på det for eller bliver det hele så
indviklet. En mikroskopisk tilstand er fuldstændigt fastlagt ved en
vektor x af positioner og en vektor p af impulser.[1] Hvis du kender x
og p til en tidspunkt kan du finde x og p til alle fremtidige
tidspunkter [1]. I det simpleste tilfælde er den potentielle energi U
er funktion af x. Dette giver

dx/dt = 1/m p (Definition af impuls)
dp/dt = - grad U(x) (Newtons lov)

Vi har ikke brug for at indføre accellerationen som en selvstændig
dimension i faserummet, for accellerationen er fuldsætdigt fastlagt
ved x og p .

Nu kigger vi på en stor mængde af uafhængige systemer. Lad os bare
sige at den er uendelig stor. Denne mængde er kalder jeg et
ensemble. Hver af systemerne i ensemblet er beskrevet ved en vektor x
og en vektor p. Vi kan beskrive hele ensemblet ved en tæthedsfunktion
f(x,p,t). Denne tæthedsfunktion angiver tætheden af systemer der har
en positionsvektor x og en impuls p til tiden t.

Vi kender en bevægelsesligning for alle de enkelte mikrosystemer, og
den kan vi bruge til at opstille en bevægelsesligning for
f(x,p,t). Den hedder Liouville ligningen
http://www.plmsc.psu.edu/~www/matsc597c-1997/simulations/Lecture7/node1.html

df/dt + \sum_i (dx_i/dt * df/dp + dv_i/dt * df/dx) = 0

Hvis man vil bruge denne ligning til noget er vi nødt til at indsætte
de udtryk for dx_i/dt og dp_i/dt, om jeg intrducerede ovenfor. Nu er
vi nået så læangt at vi kan definere hvad vi mener med den eneste
ligevægtstilstand. Vi leder efter en funktion feq(x,p), så det gælder
for alle x og p og alle valg af funktionen f(x,p,0) at

f(x,p,t) -> feq(x,p) for t -> oo

Ydermere skal funktionene feq kunne findes ved at maksimere entropien
S(t). Entropien er givet ved

S(t) = -\int k_B f(x,p) ln f(x,p)) dx dp

Her er en lille matematisk unøjagtighed. Hvis man har et system, der
indeholder flere ens partikler, så er man nødt til at tage højde for
at man ikke kan bringe systemet ud af ligevægt ved at bytte om på to
ens partikler.

Nu har jeg kridtet banen op og jeg har ikke sagt meget mere end der
står i de fleste bøger om statistisk mekanik. Hvis man vil forsøge at
sadnsynliggøre feq(x,p) er en ligevægsttilstand kan gøre tre ting.

1) Det simpleste er at vise at hvis f(x,p,t) er et maximuk for
entropien, så gælder det at

df(x,p,t)/dt = 0


2) Hvis det skal være lidt mere frækt, så kan man vise at
makrotilstanden er stabil over for perturbationer. Man kan påvirke
alle systemerne med en svag støj og se hvad der sker.

3) Men hvis det skal være helt rigtigt så skal man vise at for en
hvilken som helst starttilstand vil systemet ende i tilstanden feq.

Nu kiggede jeg efter i mine bøger igen, og så vidt jeg kan se er der
ikke nogen, der viser at 3) er opfyldt for alle valg af
potentialer. Jeg har ikke fået kigget i literaturen for at kunne svare
på spørgsmålet, men her er en beskrivelse af hvad jeg mener at kunne
huske. (En del af det føgende er lidt frit fra hukommelsen)

Her på det sidste er der en fyr der har fået meget omtale ved at bruge
Lyaponov exponenter til at undersøge om anden hovedsætning gælder
generelt i Newtonsk mekanik, men jeg har ikke fået læst hans artikler.
http://rsc.anu.edu.au/~evans/

Hvis man kigger på et kvantemekanisk system, hvor energiniveauerne er
tællelige, mener jeg at man kan vise at anden hovedsætning gælder. Men
det er noget tid siden at jeg har læst om det, så jeg er ikke helt
sikker. med hensyn til de kvantemekaniske systemer, så er der et lille
problem. man er nødt til at indføre en slags termisk støj, hvis man
vil have systemet til at bevæge sig fra er energiniveau til et
andet. Det er lidt snyd.

Hvis du har et energipotential med dybe brønde (i forhold til k_BT),
så kan du regne med at et mikrosystem altid fanget i et minimum for
den potentielle energi. Nu kan du give en beskrivelse af dynamikken,
hvor du beskriver ethvert system ved nummeret på en en brønd i den
potentielle energi. Denne beskrivelse kan man kalde "halvvejs
makroskopisk". Hvis man regner på denne halvvejs makroskopiske dynamik
kan man vise noget der svarer til anden hovedsætning.

Konklussionen er vist at det hele er lidt mindre velunderbygget end
jeg troede.

> Jeg har efter at have læst mig gennem hvad jeg kunne finde af
> artikler om hvad entropi er, nu fundet et par lærebøger i statistisk
> mekanik (SM). Ingen af dem udleder 1. hovedsætning ud fra SM, men
> konstaterer den kun.

Første hovedsæning siger at energien er bevaret. Hvis du bygger oven
på Newtons mekanik, så har du automatisk energibevarelse. I
termodynamikbøger gør man ofte meget ud af forskelllen mellem tilført
varme og tilført arbejde. I statisitk mekanik bliver varmebadet
indført meget explicit, så det er ikke så svært at se hvilken energi
der kommer hvorfra.

Det er lidt tid siden at jeg har lavet kvantemekanik. hvis jeg
undersøger et kantemekanisk system, så kan jeg indføre en termisk støj
ved at indføre en tidsahængig perturbation af systemets
hamiltonian. Denne svage perturbation vil ændre på et koeficienter der
svarer til de forskellige energitilstande. Hvis jeg regner på sådan et
system, så er jeg lidt i tvivl om jeg har energibevarelse. Her mener
jeg bevarelse af den forventede gennemsnitsenergi fra mange målinger
på samme bølgefunktion, men der er nok ingen problemer.

> Hvad anden hovedsætning angår roder man sig ud i at SM kan forklare
> entropien, men ikke sætningen. Entropien mener man forklaret fordi
> man for en ideal gas kan udlede et udtryk som giver samme
> entropiændring for det mikroskopiske som det makroskopiske
> tilfælde. Det mener jeg ikke kan give anledning til den
> generalisering som bruges i en del litteratur og lærebøger, nemlig
> at entropien er en usikkerhed (og/eller uorden og/eller information
> og/eller viden). Hvad er det jeg ikke har indset?

Hvis man skal gøre det rigtigt synes jeg at man skal gøre det i den
modstatte rækkefølge.

Man skal starte med at opstille en matematisk definion af
entropien. Det viser sig at man er nødt til at vælge en definition
svarer til et mål for information elektroingeniører som man bruger når
de vil sende information igennem over ledninger. Det er selvfølgelig
skægt at vide, men hvis du bare er interesseret i en matematisk
konsistent udledning af den statistiske mekanik, så er al den snak om
informationesteorien så vidt jeg kan se lidt irellevant.

Når man så defineret entropien, kan man forsøge at vise at denne
definition af entropi opfylder anden hovedsætning, og man kan forsøge
at vise at

dS = dQ/T

Jeg vil give dig ret i at det er snyd at generalisere ud fra en
idealgas.

> Derudover: Hvordan kan man acceptere at man udleder formlerne i
> statistisk mekanik ud fra faserum (? ´phase space´) som i nogle
> tilfælde dækker over positioner, i nogle over hastigheder, i nogle
> over begge, men aldrig inddrager acceleration som er lige så vigtig
> som de to andre i normal anvendelse af mekanik?

Hvis det skal være rigtigt så skal man starte med at regne på en
funktion f(x,p,t), hvor man tager højde for både positioner og
impulser. Men der er et vigtigst specialtilfælde. Antag at energien H
er givet ved følgende funktion

H(x,p) = U(x) + K(p)

Hvis man nu regner på et ligevægtsensemble der er i forbindelse med et
varmebad, så kan man vise at man kan definere to funktioner f1 og f2
således at

feq(x,p) = f1(x) * f2(p)

Det betyder hvis man regner på et ligevægtsensemblet i forbindelse med
et varmebad så er de strokastiske variable x og p uafhængige. Hvis vi
lader Z1 og Z2 angive passende numeringskonstanter, så er f1 og f2
givet ved:

f1(x) = exp(-U(x)/kT) / Z1
f2(p) = exp(-K(p)/kT) / Z2

> Hvorfor kan man benytte modellen, hvor man tænker på kasser der
> inddeler faserummet, når hastigheder kan ligge mellem 0 og uendelig,
> mens position kan være undelig mange steder i gassens volumen? Så
> vidt jeg kan se giver den samme entropiændring ikke samme usikkerhed
> i faserummet, hvis der påføres som volumen frem for hastighed.

Så vidt jeg husker stammer kasserne fra Boltzmanss oprindelige
udledning af anden hovedsætning. Hvis man bruger ensembler, mener jeg
at man slipper for at bruge kasser.


> http://www.et.dtu.dk/staff/be
Din url virker ikke i min browser. Jeg tror at her burde stå sådan her:
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html


--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Niels L. Ellegaard (02-02-2004)
Kommentar
Fra : Niels L. Ellegaard


Dato : 02-02-04 23:53

Michael Vittrup <vittrup@ima.auc.dk> writes:

> Vi har matematiske axiomer; men eksisterer der også fysiske axiomer?

Som fysiker vil jeg ofte foretrække ordet "lov" istedet for ordet
"aksiom". Bohr brugte ofte ordet princip, men jeg har aldrig helt
forstået hans sprogbrug.

Men der er forskel på matematik of fysik:

Idealet i fysik er at der kun er et sæt grundlæggende naturlove, og at
alle de andre teorierne kan deduceres ud fra disse grundlæggende
naturlov. Eksempelvis er Newtons lov et specialtilfælde af
relativitetsteorien. Hvis du kan lave et eksperiment der er
inkonsistent med de grundlæggende naturlove, så falder hele korthuset
sammen. På samme måde er der grænser for hvilke nye love du kan
tillade dig at postulere uden at de bliver inkonsistente med de
grundlæggende naturlove. Det er derfor at de fleste fysikere opfører
sig så skægt, hvis man siger at man tror på jordstråler.

I matematik er alle aksiomssæt i princippet lige gode. Hvis du finder
på et konsistent aksiomssæt, så har du lov til at sætte dig ned og
undersøge hvilke konsekvenser det medfører. Så længe at du ikke laver
regnefejl, så kan en matematiker ikke komme og fortælle dig at du gør
noget forkert. Til gengæld kan hun selvfølgelig fortælle dig at dit
aksiomssæt er uinteressant og at du spilder din tid.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Henning Makholm (03-02-2004)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 03-02-04 00:59

Scripsit gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard)

> I matematik er alle aksiomssæt i princippet lige gode. Hvis du finder
> på et konsistent aksiomssæt, så har du lov til at sætte dig ned og
> undersøge hvilke konsekvenser det medfører.

Men man får kun publiceret sine undersøgelser hvis man kan argumentere
for at aksiomsættet foruden at være konsistent også er *interessant*.

Fysikerne har bare en mere objektiv test for hvornår en teori er
interessant.

--
Henning Makholm "We can build reactors, we can melt
ice. Or engineers can be sent north for
re-education until they *do* understand ice."

Jeppe Stig Nielsen (03-02-2004)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 03-02-04 14:21

"Niels L. Ellegaard" wrote:
>
> I matematik er alle aksiomssæt i princippet lige gode. Hvis du finder
> på et konsistent aksiomssæt, så har du lov til at sætte dig ned og
> undersøge hvilke konsekvenser det medfører.

Også hvis man finder et aksiomsæt som man kun kan håbe er konsistent.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

LR (02-02-2004)
Kommentar
Fra : LR


Dato : 02-02-04 23:55

> Vi har matematiske axiomer; men eksisterer der også fysiske axiomer?

Advarsel, lommefilosofi:

I fysik findes der grundenheder, afledede enheder og konstanter. Alle disse
er opbygget af grundenhederne:

Et par grundenheder:
* energi: J
* længde: m
* masse: kg
* tid: s
* strøm: A
* temperatur: K

Et par afledede enheder:
* areal: [A] = m^2
* volumen: [V] = m^3
* densitet: [d] = [m/V] = kg/m^3
* fart: [v] = m/s
* frekvens: [f] = 1/s
* kraft [F] = [ma] = kg * m/s^2
* effekt: [P] = W = J/s

osv, osv, osv

Måske kunne man sammenligne matematikkens axiomer med opbygningen af disse
afledede enheder?

Mvh,

Lasse



Henry Vest (03-02-2004)
Kommentar
Fra : Henry Vest


Dato : 03-02-04 18:46

LR skrev:

> Et par grundenheder:
> * energi: J

Næ. J = N m = kg m^2 / s^2.

--
Henry Vest


Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408849
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste