---

Jeg så denne nyhed hos Weisstein:
http://mathworld.wolfram.com/news/2003-12-05/rsa/

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3FD0B20D.F9174C96@jeppesn.dk...
> Jeg så denne nyhed hos Weisstein:
> http://mathworld.wolfram.com/news/2003-12-05/rsa/
>
> --
> Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «
>
> "Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
> hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
> Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!

Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er ulige, det
ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er større, resten må være
tidsfordriv til en for en supercomputer.
Eller tager jeg fejl ?

Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?


--
Hilsen
Peter N Petersen
http://peteropfinder.dk

---

15kw wrote:
> "Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
> news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
>
>>Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!
>
>
> Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er ulige, det
> ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er større, resten må være
> tidsfordriv til en for en supercomputer.
> Eller tager jeg fejl ?
>
> Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?

Du får at vide, at to tal ganget sammen er n.
Din opgave er at finde to tal p og q, så p*q = n.

For at finde ud af, om du har gættet rigtigt skal
du bare gange de to tal, som gætter på (p og q)
sammen. Får du n har gættet rigtigt, ellers må
du prøve igen.


Med hensyn til tidsfordrivet, så prøv at finde
ud af, hvor mange tal, der er mindre end kvadratroden
af n, hvis n har 174 cifre. Prøv så at regne ud, hvor
lang tid det vil tage at prøve alle muligheder.
Du kan for eksempel regne med et millisekund til et
forsøg.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i
news:3fd3a1a2$0$69944$edfadb0f@dread12.news.tele.dk
> 15kw wrote:
> > "Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
> > news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
> >
> >>Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!
> >
> >
> > Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er ulige,
det
> > ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er større, resten må
være
> > tidsfordriv til en for en supercomputer.
> > Eller tager jeg fejl ?
> >
> > Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?
>
> Du får at vide, at to tal ganget sammen er n.
> Din opgave er at finde to tal p og q, så p*q = n.
>
> For at finde ud af, om du har gættet rigtigt skal
> du bare gange de to tal, som gætter på (p og q)
> sammen. Får du n har gættet rigtigt, ellers må
> du prøve igen.

Det vil sige at der i teorien kan være mere end et regtigt svar.

> Med hensyn til tidsfordrivet, så prøv at finde
> ud af, hvor mange tal, der er mindre end kvadratroden
> af n, hvis n har 174 cifre. Prøv så at regne ud, hvor
> lang tid det vil tage at prøve alle muligheder.
> Du kan for eksempel regne med et millisekund til et
> forsøg.

JA det tager lidt tid, har man ikke tid må man jo "bare" bygge en computer
der har en bus der er breddere end 2048bit, den kan laves så den kun har de
funktioner der er brug for, de eneste problemer der er med den slags er
prisen, pladsen og hvad skal man bruge den til når man er færdig. I teorien
kan det lade sig gøre et teste flere millioner kombinationer pr. sec. med en
sådan computer.


--
Hilsen
Peter N Petersen
http://peteropfinder.dk

---

15kw wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i

>>Med hensyn til tidsfordrivet, så prøv at finde
>>ud af, hvor mange tal, der er mindre end kvadratroden
>>af n, hvis n har 174 cifre. Prøv så at regne ud, hvor
>>lang tid det vil tage at prøve alle muligheder.
>>Du kan for eksempel regne med et millisekund til et
>>forsøg.
>
>
> JA det tager lidt tid, har man ikke tid må man jo "bare" bygge en computer
> der har en bus der er breddere end 2048bit, den kan laves så den kun har de
> funktioner der er brug for, de eneste problemer der er med den slags er
> prisen, pladsen og hvad skal man bruge den til når man er færdig. I teorien
> kan det lade sig gøre et teste flere millioner kombinationer pr. sec. med en
> sådan computer.

Lad os sige at disse flere millioner kombinationer pr sekund er 50 millioner.

Det mindste tal på 174 cifre er:

> (expt 10 174)
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Vi er skal kun prøve op til kvadratroden af tallet:

> (sqrt (expt 10 174))
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Og da du og Jeppe også har udelukket de lige, skal vi kun se på de ulige tal.
Dermed er der så mange muligheder:

> (/ (sqrt (expt 10 174)) 2)
500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Kan vi klare 50 millioner pr sekund, skal vi bruge dette antal sekunder:

> (/ (sqrt (expt 10 174)) 2) 50000000)
500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

I minutter bliver det:

> (/ (/ (/ (sqrt (expt 10 174)) 2) 50000000) 60)
500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000/3

I timer bliver det:

> (/ (/ (/ (/ (sqrt (expt 10 174)) 2) 50000000) 60) 60)
25000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000/9

I døgn bliver det:

> (/ (/ (/ (/ (/ (sqrt (expt 10 174)) 2) 50000000) 60) 60) 24)
3125000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000/27

Konklusion: Det er ikke tilstrækkeligt at bygge en supercomputer.
Man skal også bruge sofistikerede matematiske teknikker, hvis vi skal
se svaret i vor levetid.


--
Jens Axel Søgaard

---

15kw wrote:

> Det vil sige at der i teorien kan være mere end et regtigt svar.

Nej. Da der er tale om et produkt af to primtal, er der kun én mulighed,
hvis man ser bort fra fortegn.

Det kan bevises og kaldes entydig faktorisering.

-mb

---

"15kw" <nospam15kw@tdcadsl.dk> writes:

> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i
> news:3fd3a1a2$0$69944$edfadb0f@dread12.news.tele.dk

> > Du får at vide, at to tal ganget sammen er n.
> > Din opgave er at finde to tal p og q, så p*q = n.
> >
> > For at finde ud af, om du har gættet rigtigt skal
> > du bare gange de to tal, som gætter på (p og q)
> > sammen. Får du n har gættet rigtigt, ellers må
> > du prøve igen.
>
> Det vil sige at der i teorien kan være mere end et rigtigt svar.

I almindelighed, ja. Men RSA og andre algoritmer bruger altid tal,
som er et produkt af to primtal, så der findes kun en løsning (hvis vi
ser bort fra den trivielle ombytning af p og q).

For at RSA et al. skal virke skal man finde to store primtal p og q
hver gang man vil lave en ny nøgle. Derfor er det vigtigt, at det er
effektivt at finde store "tilfældige" primtal, mens det er svært at
faktorisere produktet af disse. Effektive primtalstest er nævnt
andetsteds i tråden.

I praksis findes nøgletallene for RSA ved at generere store tilfældige
tal med en blanding af brugerinput, tidsmåling og pesudotilfældighed.
Disse vil sandsynligvis ikke være primtal, men man prøver nu med de
efterfølgende ulige tal indtil man rammer et primtal. Antallet af tal
man i gennemsnit skal prøve er proportionalt med antallet af cifre i
det første gæt, så processen er polynomisk (med lav grad) i antallet
af cifre og dermed overkommeligt.

Det er mere speget med situationen omkring faktorisering. Der kendes
ikke nogen algoritmer, der er garanteret polynomiske og heller ingen,
der i gennemsnit er det. Men nogle algoritmer kan være "heldige" at
gætte en løsning ret hurtigt, så for at undgå brydning af koden, kan
det være en god ide at prøve nogle af disse metoder på sine nøgler,
inden man bruger dem. Hackere vil jo nok gøre det før eller siden,
hvis der er noget interessant bagved krypteringen (penge,
hemmeligheder osv.).

   Torben

---

In article <w5d6azmxxx.fsf@pc-032.diku.dk>, torbenm@diku.dk says...

> Disse vil sandsynligvis ikke være primtal, men man prøver nu med de
> efterfølgende ulige tal indtil man rammer et primtal.

Så vil man ikke generere de forskellige primtal af længde n med samme
sandsynlighed, da afstanden mellem to forskellige primtal varierer. Er
det ikke en ulempe?

http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html

I stedet ville det være bedre blot at generere en nyt tilfældigt tal og
teste det. Det ville blot tage lidt længere.

> Det er mere speget med situationen omkring faktorisering. Der kendes
> ikke nogen algoritmer, der er garanteret polynomiske og heller ingen,
> der i gennemsnit er det.

To af de i praksis mest brugte primtalssier er Quadratic Sieve og Number
Field Sieve. De er meget bedre en blot at prøve sig frem (ulige) tal for
tal. Men som sagt tager de stadig (alt for) lang tid at udføre på store
RSA-tal, uanset hvor store supercomputere man bruger.

http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactorizationAlgorithms.html

Med venlig hilsen Sven.

---

Sven Nielsen wrote:
>
> > Disse vil sandsynligvis ikke være primtal, men man prøver nu med de
> > efterfølgende ulige tal indtil man rammer et primtal.
>
> Så vil man ikke generere de forskellige primtal af længde n med samme
> sandsynlighed, da afstanden mellem to forskellige primtal varierer. Er
> det ikke en ulempe?

Du har ret i at man så oftere vil få valgt primtal med den egenskab at
der er et stort »gab« af sammensatte tal lige under, mens fx et primtal
p hvor p-2 også er et primtal, vil blive valgt sjældent.

Men jeg er ikke sikker på at dette er noget særligt problem.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In article <3FD47A55.27BCCEEC@jeppesn.dk>, mail@jeppesn.dk says...

> Du har ret i at man så oftere vil få valgt primtal med den egenskab at
> der er et stort »gab« af sammensatte tal lige under, mens fx et primtal
> p hvor p-2 også er et primtal, vil blive valgt sjældent.

> Men jeg er ikke sikker på at dette er noget særligt problem.

Tja, det vil være nemmere for en attacker at gætte det samme primtal en
gang til, hvis du forstår hvad jeg mener. Effektivt set er der færre
sandsynlige primtal at vælge i mellem - eller mindre entropi. Er faktoren
så så stor, at det har nogen betydning?

Med venlig hilsen Sven.

---

15kw wrote:
>
> Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er ulige,

Lige? Alle primtal større end 2 er da ulige.

Tallene fra RSA er konstrueret som produktet af to store primtal.

Måske blander du sum og produkt sammen? Der gælder

lige+lige = lige
lige+ulige = ulige
ulige+lige = ulige
ulige+ulige = lige

lige*lige = lige
lige*ulige = lige
ulige*lige = lige
ulige*ulige = ulige

Dermed er {lige,ulige} algebraisk set et legeme.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i
news:3FD3A67C.9407C2C8@jeppesn.dk
> 15kw wrote:
> >
> > Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er ulige,
>
> Lige? Alle primtal større end 2 er da ulige.
>
> Tallene fra RSA er konstrueret som produktet af to store primtal.
>
> Måske blander du sum og produkt sammen? Der gælder
>
> lige+lige = lige
> lige+ulige = ulige
> ulige+lige = ulige
> ulige+ulige = lige
>
> lige*lige = lige
> lige*ulige = lige
> ulige*lige = lige
> ulige*ulige = ulige

Du har ret, jeg huskede forkert, men nu ved vi så at de to tal vi skal finde
er ulige da vores meget store tal er ulige.



--
Hilsen
Peter N Petersen
http://peteropfinder.dk

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Dermed er {lige,ulige} algebraisk set et legeme.

Nemlig F_2.

--
Henning Makholm "Den nyttige hjemmedatamat er og forbliver en myte.
Generelt kan der ikke peges på databehandlingsopgaver af
en sådan størrelsesorden og af en karaktér, som berettiger
forestillingerne om den nye hjemme- og husholdningsteknologi."

---

"15kw" <nospam15kw@tdcadsl.dk> writes:

> "Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
> news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
> > Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!
>
> Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er
> ulige, det ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er
> større, resten må være tidsfordriv til en for en supercomputer.
> Eller tager jeg fejl ?
>
> Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?

Sidste år fandt man en effektiv algoritme til at teste om et stort tal
et et primtal (Læs polynominel tid). Hvis du kan læse postscriptfiler,
så er artiklen her:

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

"15kw" <nospam15kw@tdcadsl.dk> writes:

> "Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
> news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
> > Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!
>
> Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er
> ulige, det ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er
> større, resten må være tidsfordriv til en for en supercomputer.
> Eller tager jeg fejl ?
>
> Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?

Sidste år fandt man en effektiv algoritme til at teste om et stort tal
et et primtal (Læs polynominel tid). Hvis du kan læse postscriptfiler,
så er artiklen her:

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps

Men så vidt jeg kan se returnerer algoritmen ikke primfaktorerne.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> Sidste år fandt man en effektiv algoritme til at teste om et stort tal
> et et primtal (Læs polynominel tid). Hvis du kan læse postscriptfiler,
> så er artiklen her:
>
> http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps
>
> Men så vidt jeg kan se returnerer algoritmen ikke primfaktorerne.

Nej. Det er væsentlig nemmere at afgøre om et tal er sammensat
eller ej, end det er at finde en primfaktor i tallet.

(Men det er ikke bevist endnu)

--
Jens Axel Søgaard

---

In <7wfzfwgr0l.fsf@i19.ruc.dk> gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

>"15kw" <nospam15kw@tdcadsl.dk> writes:

>> "Teis Jacobsen" <replicat@hotmail.com> skrev i
>> news:bqt4rh$1jaf$1@gnd.k-net.dk
>> > Jeg tager den næste i rækken. Bare vent!
>>
>> Det kan vel ikke være så svært, det ene tal er lige det andet er
>> ulige, det ene tal er mindre end kvadratroden og det andet er
>> større, resten må være tidsfordriv til en for en supercomputer.
>> Eller tager jeg fejl ?
>>
>> Hvordan finder de ud af om det er det regtige resultat ?

>Sidste år fandt man en effektiv algoritme til at teste om et stort tal
>et et primtal (Læs polynominel tid). Hvis du kan læse postscriptfiler,
>så er artiklen her:

>http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps

>Men så vidt jeg kan se returnerer algoritmen ikke primfaktorerne.

>--
>Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Man bør nok også nævne at der i praksis bruges nogle hurtigere, men
ikke-helt garanteret korrekte algoritmer til at teste for om et tal
er et primtal. Derfor er den effektive korrekte algoritme ikke
den, der bruges i praksis.

Det var overraskende at der var et så enkelt trick til at teste
primtalsegenskaben i polynomiel tid og at det var blevet overset
i så lang tid. Lad os håbe at de kvikke indere får flere gode
ideer af samme kaliber.

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

"Niels L. Ellegaard" wrote:
>
> Sidste år fandt man en effektiv algoritme til at teste om et stort tal
> et et primtal (Læs polynominel tid). Hvis du kan læse postscriptfiler,
> så er artiklen her:
>
> http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps
>
> Men så vidt jeg kan se returnerer algoritmen ikke primfaktorerne.

Nej, hvis algoritmen både var af klasse P og gav en primfaktor, ville
der være tale om en kæmpesensation. Man mener nemlig at en sådan algo-
ritme ikke kan eksistere.

Men der er en henvisning til en FAQ (ofte stillede spørgsmål) på siden
http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Nej, hvis algoritmen både var af klasse P og gav en primfaktor, ville
> der være tale om en kæmpesensation. Man mener nemlig at en sådan algo-
> ritme ikke kan eksistere.

Heh. Det minder mig om en eksamen jeg var til for nogle år siden. Et af
de andre gruppemedlemmer fik pludselig en ide, og påstod at han havde
lavet en lynhurtig primfaktoreringsfunktion med de my-rekursive
funktioner. Jeg tror at han i gejsten glemte hvor mange der egentlig har
arbejdet på det gennem tiderne

--
Jakob Møbjerg Nielsen | "Nine-tenths of the universe is the
jakob@dataloger.dk | knowledge of the position and direction
http://www.jakobnielsen.dk/ | of everything in the other tenth."
| -- Terry Pratchett, Thief of Time

---

Scripsit "Jakob Møbjerg Nielsen" <jakob@dataloger.dk>

> Et af de andre gruppemedlemmer fik pludselig en ide, og påstod at
> han havde lavet en lynhurtig primfaktoreringsfunktion med de
> my-rekursive funktioner.

Hmm. I mit hoved er "lynhurtig" og "my-rekursive" gensidigt
udelukkende. (Ihvertfald hvis "my-rekursive" betyder
efterfølgerfuktionen + primitiv rekursion + minimering,
hvilket er det første jeg lige kommer til at tænke på).

--
Henning Makholm "This imposes the restriction on any
procedure statement that the kind and type
of each actual parameter be compatible with the
kind and type of the corresponding formal parameter."

---

Henning Makholm wrote:
> Hmm. I mit hoved er "lynhurtig" og "my-rekursive" gensidigt
> udelukkende. (Ihvertfald hvis "my-rekursive" betyder
> efterfølgerfuktionen + primitiv rekursion + minimering,
> hvilket er det første jeg lige kommer til at tænke på).

Du ramte rigtigt. Men kan man lave en P-algoritme vha. de my-rekursive
funktioner, så kan det også lade sig gøre i et sprog som C, da
my-rekursive funktioner er ækvivalente med sprog bygget på sekvens,
selektion og iteration (og så kan man tage den videre derfra .

--
Jakob Møbjerg Nielsen | "Nine-tenths of the universe is the
jakob@dataloger.dk | knowledge of the position and direction
http://www.jakobnielsen.dk/ | of everything in the other tenth."
| -- Terry Pratchett, Thief of Time

---

Scripsit "Jakob Møbjerg Nielsen" <jakob@dataloger.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hmm. I mit hoved er "lynhurtig" og "my-rekursive" gensidigt
> > udelukkende. (Ihvertfald hvis "my-rekursive" betyder
> > efterfølgerfuktionen + primitiv rekursion + minimering,
> > hvilket er det første jeg lige kommer til at tænke på).

> Du ramte rigtigt. Men kan man lave en P-algoritme vha. de my-rekursive
> funktioner, så kan det også lade sig gøre i et sprog som C,

Javist - de er jo lette at simulere direkte. Men det siger ikke
noget om lynhyrtighed - O(n^200) er ikke lynhurtig, uanset hvad man
kører den på.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"

---

Henning Makholm wrote:
> Javist - de er jo lette at simulere direkte. Men det siger ikke
> noget om lynhyrtighed - O(n^200) er ikke lynhurtig, uanset hvad man
> kører den på.

Det er jeg ikke uenig i

--
Jakob Møbjerg Nielsen | "Nine-tenths of the universe is the
jakob@dataloger.dk | knowledge of the position and direction
http://www.jakobnielsen.dk/ | of everything in the other tenth."
| -- Terry Pratchett, Thief of Time

---

In <br2r3o$r7i$1@sunsite.dk> "Jakob Møbjerg Nielsen" <jakob@dataloger.dk> writes:

>Heh. Det minder mig om en eksamen jeg var til for nogle år siden. Et af
>de andre gruppemedlemmer fik pludselig en ide, og påstod at han havde
>lavet en lynhurtig primfaktoreringsfunktion med de my-rekursive
>funktioner. Jeg tror at han i gejsten glemte hvor mange der egentlig har
>arbejdet på det gennem tiderne

Det er jo rigtigt, men på den anden side, så er den P-algoritme til
primtalstest jo også ret simpel og der _må_ være masser af kløgtige
folk, der har kigget i det hjørne før. En eller anden skal jo være
den første til at opdage et resultat

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:


> Nej, hvis algoritmen både var af klasse P og gav en primfaktor, ville
> der være tale om en kæmpesensation. Man mener nemlig at en sådan algo-
> ritme ikke kan eksistere.

Det er dog ikke bevist.

Man skal iøvrigt passe på hvilet tidsmål man bruger. Hvis man blot
tæller antallet af aritmetiske operationer (additioner,
multiplikationer, osv.) uden at bekymre sig om hvor store tal de
bruges på, så findes der en faktoriseringsalgoritme, der er lineært
proportional med antallet af cifre i tallet.

Problemet med denne algoritme er, at den bruger mellemresulater, der
er _meget_ store, så i praksis er metoden ikke anvendelig.

   Torben

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Nemlig F_2.

Hvilket vel ikke er så overraskende når man tænker på antallet af
forskellige legemer af orden 2.

--
Stefan Holm
"I move for a bad court thingy."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Nemlig F_2.

> Hvilket vel ikke er så overraskende når man tænker på antallet af
> forskellige legemer af orden 2.

Nej, men i dette tilfælde er selv definitionen jo den samme.

--
Henning Makholm "It was intended to compile from some approximation to
the M-notation, but the M-notation was never fully defined,
because representing LISP functions by LISP lists became the
dominant programming language when the interpreter later became available."

---

Stefan Holm wrote:
>
> > Nemlig F_2.
>
> Hvilket vel ikke er så overraskende når man tænker på antallet af
> forskellige legemer af orden 2.

Eller når man tænker på at de to elementer i den sædvanlige konstruktion
af Z/2Z (sideklasserne modulo 2) netop er:
0. Mængden af de lige tal
1. Mængden af de ulige tal

Nå, alt dette er jo trivielt for enhver som kender det, og dårligt
forklaret for alle jer andre.

Men kort sagt: Som bekendt fra folkeskolen giver det mening at spørge
om hvad lige/ulige plus/gange lige/ulige giver, og svaret fremgik af
den tabel jeg postede tidligere. Og multiplikation er forskellig fra
addition, også når man regner modulo 2.

(At subtraktion og addition derimod er det samme (»minus er lig plus«),
forbigår vi.)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Og multiplikation er forskellig fra addition, også når man regner
> modulo 2.

> (At subtraktion og addition derimod er det samme (»minus er lig plus«),
> forbigår vi.)

Til gengæld er multiplikation og division næsten det samme. Det er det
også i F_3, og dermed pr. induktion i F_p i almindelighed. (?)

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Til gengæld er multiplikation og division næsten det samme. Det er det
> også i F_3, og dermed pr. induktion i F_p i almindelighed. (?)

Totalt i orden algebraikerhumor.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)