"Rømer" <fupkonto@hotmail.dk> writes:
> Men man kan dog anslå atomer og derved bringe dem i en tilstand,
> hvor de per se søger tilbage til en mere energifattig tilstand -
> altså en mere naturlig tilstand.
Den laveste energitilstand er kun "naturlig" hvis temperaturen er
lav. Lad os sige at jeg har et kvantemekanisk system der kan antage
energitilstandene E_1 E_2 .....E_N. Jeg antager desuden at mit system
er forbundet med et varmebad med temperaturen T. (Hmm... Her burde
jegv bruge begrebet ensemble her)
Jeg venter til systemet er i ligevægt med varmebadet, og derefter
måler jeg systemets energi. Denne måling vil give med et af følgende
resultater: E_1 E_2 .... E_N. Hvis jeg gentager forsøget mange gange
kan jeg lade funktionen p(i) angive sandsynligheden for at jeg ved et
ivent forsøg måler energien E_i. Det viser sig at p(i) er givet ved
følgende formel
p(i) = exp(-E_i / (k_B * T))/Z
Her angiver k_B er Boltzmanss konstant (Du kender den fra
idealgasloven). Konstanten Z sørger for at summen af sandsynlighederne
bliver 1.
Z = exp(-E_1 / (k_B*T)) + exp(-E_2 / (k_B*T)).... + exp(-E_N /(k_B*T))
Hvis man prøver at sætte tilfældige nogen tal ind i denne formelen for
p(i), vil man opdage at p(i) er meget afhængig af temperaturen. Hvis
temperaturen er meget stor, så er energitilstandene lige sandsynlige.
p(i) = 1/N
Hvis derimod temperaturen er meget lille, så bliver den laveste
energitilstand meget mere sandsynlig end de andre. Derfor ligner den
laveste energitilstand en "naturlig tilstand".
> Spørgsmålet var om man kunne forestille sig et stof havde et
> balancepunkt, hvor dets "energibalance" (det lyder helt alternativt)
> var optimal - at yderligere afkøling ikke ændrede på stoffets lad os
> bare sige kinetiske energi - Men jeg kan forstå, at temperatur ikke
> er en fysisk egenskab ved stoffet - det er et udtryk for
> omgivelsernes interaktion med stoffet.
Du kan definere temperaturen på flere forskellige måder
1) I princippet kan du definere temperaturen som den konstant der får
formelen for p(i) til at passe. Hvis du bruger denne definition af
temperatur, så kan du ikke definere temperaturen af et system der er
ude af ligevægt. I dte hele taget er denne definition er noget rod.
2) Hvis du indfører en formel for entropien kan du bruge den til at
definere temperaturen (Se Carstens indlæg). Hvis du bruger denne
definition kan du vist også kun definere temperaturen af et system i
ligevægt.
3) Hvis man laver computerberegninger er det ofte en god ide at lade T
angive temperaturen af en varmebad. hvis man vil simulere noget på en
computer er man nødt til at give en meget præcis beskrivelse af
varmebadet. Det letteste er at beskrive varmebadet som en ydre kræft,
der skifter retning hele tiden. Her er eksempelvis et link til
Langevin-ligningen
http://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation
Langevin-ligingen set sådan her ud
m *a(t) = F(t) - beta * m * v(t) + F'(t)
Her angiver a(t) systemets acelleration, mens v(t) angiver systemets
hastighed. F(t) er en (indre) kraft, mens m er systemets
masse. Bemærk at hvis beta=0 og F'(t) = 0, så svarer Langevinligingen
til Newtons lov.
Leddet beta * m * v(t) er en slags termisk gnidningskraft. Det sørger
for at systemet mister energi til varmebadet hvis temperaturen er for
høj. Hvis systemet bevæger sig mod højre så peger gnidningskraften mod
venstre, men hvis systemet bevæger sig mod venstre peger
gnidningskraften mod højre.
Kraften F'(t) beskriver støj fra varmebadet. Det er denne støj sørger
for at der hele tiden bliver tilført enerhi til systemet. Jeg vil ikke
kaste mig ud i en matematisk beskrivelse af hvid støj, men ideen er at
F'(t) skifter retning hele tid. Hvis man midler over tid kan man vise
at F'(t) i gennemsnit udfører i positivt arbejde på sysemet. Den
gennemsnitlige amplitude af støjen afhænger af varmebadets
temperatur. Jo større temperatur desto kraftigere er støjen.
Man kan ikke bruge Langevinligningen til at beskrive alle termiske
systemer, men jeg synes at den giver en god intuition for hvordan man
kan tænke på begrebet temperatur. Ideen er at temperaturen er en
beskrivelse af den støj der stammer fra systemets omgivelser. (jævnfør
dit eget indlæg)
5) Her er en til: Hvis et system har N frihedsgrader, så betyder det
at du har brug for N relle tal til at fastlægge systemets
tilstand. (Intet matematisk pedanteri her tak :) ). Lad os nu sige at
du undersøger er system med N frihedsgrader og måler den kinetiske
energi E_kin(t) som funktion af tiden. Hvis du laver en tilpas lang
måling kan du definere et gennemsnit af den kinetiske energi. Dette
gennemsnit kan vi kalde < E_kin >. Nu kan du definere temperaturen ved
(Se også Per's indlæg)
T = 2 < E_kin > / (k_B * N)
Denne definition har nogle fine egenskaber. Du kan definere
temperaturen af et system der ikke er i kontakt med et varmebad. men
til gengæld kan du kun definere temperaturen i ligevægt. Det skyldes
at du er nødt til at midle i uendelig lang tid for at finde <E_kin>.
Desuden er der vistnok problemer ved at bruge definitionen til at
kigge et lille systemer der ikke er i kontakt med et kunstigt
varmebad.
6) Her er en alternativ måde at definere <E_kin> på: Ideen er at du
kigger på M ens systemer (Her skal M være meget stor). Hvis du vil en
simpel beskrivelse af de M system, så kan du indføre tæthedsfunktion
f(x,v) der angiver hvor mange af de M systemer der befinder sig i
positionen x med hastighedsvektoren v. (her er x og v vektorer med
længden N hvor N igen er antallet af frihedsgrader). Hvis man
integrerer over alle x og v kan man vistnok definerere en temperatur
af ensemblet ved
T = 2 /(k_B N) * integral E_kin(v) f(x,v) dx dv
Her er E_kin(v) en funktion af hastighedsvektoren. Jeg kan ikke lige
huske detaljerne omkring denne definition af temperaturen. Måske det
hele løgn... men pyt med det.. det er jo usenet :)
7) Den store filosof Hegel gav også en meget klar definition. Den kan
du læse i min signatur.
--
Niels L Ellegaard
http://dirac.ruc.dk/~gnalle/
Heat is the self-restoration of matter in its formlessness, its
liquidity the triumph of its abstract homogeneity over specific
definiteness, its abstract, purely self-existing continuity, as
negation of negation, is here set as activity. - Hegel