|
|
 | Pindekast og pi
Fra : Jesper Nielsen |
Dato : 28-09-03 20:39 |
|
Da jeg gik i folkeskole, viste vores matematiklærer os et lille trick.
På en flade med linier blev en pind - med linieafstanden længde - kastet.
Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal kast)
og fik pi.
Kan det forklares?
Jesper
| |
 Regnar Simonsen (28-09-2003)
| Kommentar
Fra : Regnar Simonsen |
Dato : 28-09-03 20:51 |
|
> Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal
kast)
> og fik pi.
>
> Kan det forklares?
Nej - for det kan aldrig give pi ! (dit forslag er mindre eller lig med en).
Metoden er dog OK - kan dog ikke lige huske forklaringen.
--
Hilsen
Regnar Simonsen
| |
rAnders (28-09-2003)
| Kommentar
Fra : rAnders |
Dato : 28-09-03 21:24 |
|
"Regnar Simonsen" <relisi@tiscali.dk> skrev i en meddelelse
news:bl7e2n$5i7$1@sunsite.dk...
> > Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal
> kast)
> > og fik pi.
> >
> > Kan det forklares?
>
> Nej - for det kan aldrig give pi ! (dit forslag er mindre eller lig med
en).
> Metoden er dog OK - kan dog ikke lige huske forklaringen.
> --
Det må have noget at gøre med at pinden er diameteren og når den bliver
kastet adskillige gange 'tegner' den en cirkel (omkredsen). Da Pi =
(omkreds / diameter) kan beregningen være (total antal / antal hits). Ved
ikke om det er en plausibel forklaring 
rAnders.
| |
Jeppe Stig Nielsen (28-09-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 28-09-03 21:05 |
|
Jesper Nielsen wrote:
>
> Da jeg gik i folkeskole, viste vores matematiklærer os et lille trick.
>
> På en flade med linier blev en pind - med linieafstanden længde - kastet.
>
> Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal kast)
> og fik pi.
>
> Kan det forklares?
Antag at pindens orienteringsvinkel (vinklen mellem pindens retning og
fladelinjernes retning) er uniformt fordelt i intervallet [0°;90°].
Dette skal regnes i radianer [0;pi/2].
For en bestemt vinkel v i dette interval er pindens projektion ind på
den retning der går vinkelret på linjerne, på L·sin(v) .
Derfor er sandsynligheden med dette faste v på (L·sin(v))/L = sin(v) .
For at finde den samlede sandsynlighed integrerer vi
P = (1/(pi/2-0))·integral_{0}^{pi/2} sin(v) dv = 2/pi
Du kan altså udregne pi som pi = 2/P hvor P er den sandsynlighed du
observerer.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
rAnders (28-09-2003)
| Kommentar
Fra : rAnders |
Dato : 28-09-03 22:02 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3F773ECF.F8FD9FD@jeppesn.dk...
> Antag at pindens orienteringsvinkel (vinklen mellem pindens retning og
> fladelinjernes retning) er uniformt fordelt i intervallet [0°;90°].
> Dette skal regnes i radianer [0;pi/2].
>
> For en bestemt vinkel v i dette interval er pindens projektion ind på
> den retning der går vinkelret på linjerne, på L·sin(v) .
>
> Derfor er sandsynligheden med dette faste v på (L·sin(v))/L = sin(v) .
>
> For at finde den samlede sandsynlighed integrerer vi
>
> P = (1/(pi/2-0))·integral_{0}^{pi/2} sin(v) dv = 2/pi
>
> Du kan altså udregne pi som pi = 2/P hvor P er den sandsynlighed du
> observerer.
>
Hrrm, er du medlem af Mensa
rAnders.
| |
Jens Axel Søgaard (28-09-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 28-09-03 22:18 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jesper Nielsen wrote:
>
>>Da jeg gik i folkeskole, viste vores matematiklærer os et lille trick.
>>På en flade med linier blev en pind - med linieafstanden længde - kastet.
>>Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal kast)
>>og fik pi.
>>Kan det forklares?
> Antag at pindens orienteringsvinkel (vinklen mellem pindens retning og
> fladelinjernes retning) er uniformt fordelt i intervallet [0°;90°].
> Dette skal regnes i radianer [0;pi/2].
>
> For en bestemt vinkel v i dette interval er pindens projektion ind på
> den retning der går vinkelret på linjerne, på L·sin(v) .
>
> Derfor er sandsynligheden med dette faste v på (L·sin(v))/L = sin(v) .
>
> For at finde den samlede sandsynlighed integrerer vi
>
> P = (1/(pi/2-0))·integral_{0}^{pi/2} sin(v) dv = 2/pi
>
> Du kan altså udregne pi som pi = 2/P hvor P er den sandsynlighed du
> observerer.
Her er et link til forklaringen på Buffons nål på cut-the-knot:
< http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml>
--
Jens Axel Søgaard
| |
 Jeppe Stig Nielsen (29-09-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 29-09-03 12:37 |
|
Jens Axel Søgaard wrote:
>
> Her er et link til forklaringen på Buffons nål på cut-the-knot:
>
> < http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml>
Nå ja, jeg havde lige glemt at det hed Buffons nåleproblem.
Her er en måde at bestemme e på:
Tag to sæt spillekort (hvert sæt skal bestå af lutter forskellige kort,
men de to sæt skal være ens). Bibehold de to sæt adskilte, men bland
mindst det ene af sættene. Placér kortene i to bunker (hver bunke er
et sæt). Se om de to øverste kort er ens. Hvis ikke, smid dem væk, og
se om de to næste kort er ens. Bliv sådan ved. Sandsynligheden for at
du når hele vejen igennem bunken uden at nogen kort matcher, er 1/e
for spillesæt med mange kort.
Se ligning (32) på http://mathworld.wolfram.com/e.html .
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (29-09-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 29-09-03 13:23 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:3F78195E.E2378F7A@jeppesn.dk...
> Bliv sådan ved. Sandsynligheden for at
> du når hele vejen igennem bunken uden at nogen kort matcher, er 1/e
> for spillesæt med mange kort.
>
Ja oo mange  . Tag dig god tid.
Mvh
Martin
| |
Jeppe Stig Nielsen (29-09-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 29-09-03 13:57 |
|
Martin Larsen wrote:
>
> > Bliv sådan ved. Sandsynligheden for at
> > du når hele vejen igennem bunken uden at nogen kort matcher, er 1/e
> > for spillesæt med mange kort.
> >
> Ja oo mange . Tag dig god tid.
Hvis man fx bruger 52 kort, stemmer den omtalte sandsynlighed overens
med 1/e på de første mere end tres decimaler. Så hvis du kan godtgøre
at denne sandsynlighed ikke er eksakt 1/e ved at føre statistik over
dine praktiske eksperimenter, så har du godt nok bladret kortene igennem
mange gange!
Pointe: Man kan nøjes med ret få kort, for forskellen på den teoretiske
sandsynlighed og 1/e er komplet mikroskopisk i sammenligning med for-
skellen mellem den teoretiske sandsynlighed og den empiriske sandsyn-
lighed (ie. antal observerede gunstige divideret med antal forsøg) for
ethvert rimeligt/realistisk antal gentagelser af eksperimentet.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (29-09-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 29-09-03 18:36 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:3F782C0E.5EA349C@jeppesn.dk...
> Så hvis du kan godtgøre
> at denne sandsynlighed ikke er eksakt 1/e ved at føre statistik over
> dine praktiske eksperimenter, så har du godt nok bladret kortene igennem
> mange gange!
>
Min pointe var at præcisere hvad formlen siger.
Mvh
Martin
| |
Jens Axel Søgaard (29-09-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 29-09-03 16:40 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Her er en måde at bestemme e på:
>
> Tag to sæt spillekort (hvert sæt skal bestå af lutter forskellige kort,
> men de to sæt skal være ens). Bibehold de to sæt adskilte, men bland
> mindst det ene af sættene. Placér kortene i to bunker (hver bunke er
> et sæt). Se om de to øverste kort er ens. Hvis ikke, smid dem væk, og
> se om de to næste kort er ens. Bliv sådan ved. Sandsynligheden for at
> du når hele vejen igennem bunken uden at nogen kort matcher, er 1/e
> for spillesæt med mange kort.
>
> Se ligning (32) på http://mathworld.wolfram.com/e.html .
Den er sjov. Med 52 kort bliver tilnærmelsen til 1 - 1/e:
333239808909468890675694068318655265019682314241643033726180828783
/527177615496365219422618541545122659969212453861982208000000000000
hvilket passer mere end rigeligt med en flydende komma-beregning
af 1-1/e.
Hvis man er tilfreds med at at frem til denne tilnærmelse for e
(som er det, jeg kan huske i hovedet):
2.7 Ibsen Ibsen = 2.7 1828 1828
kan man nøjes med et spil kort med 12 blade.
Med din kortspilsformulering er det oplagt at lave en sød
opgave i binomialfordeling
Er der egentlig en formel for, hvor mange gange man skal
gentage et forsøg for at bestemme p, så man med sansynlighed
1-epsilon kender den p med n decimalers nøjagtighed?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jeppe Stig Nielsen (01-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 01-10-03 13:24 |
|
Jens Axel Søgaard wrote:
>
> Er der egentlig en formel for, hvor mange gange man skal
> gentage et forsøg for at bestemme p, så man med sansynlighed
> 1-epsilon kender den p med n decimalers nøjagtighed?
Ifølge beviset for sætning 27 (de store tals svage lov) i Graversens
noter til Sandsynlighedsteori 1 (har du dem?) er sandsynligheden for
at den n'te empiriske middelværdi afviger mere end delta fra den sande
middelværdi µ, mindre end s²/(n·delta²). Her er s spredningen, som i
dette tilfælde vel er sqrt{p(1-p)} hvor p=1/e.
Med forbehold for at jeg ikke lige har overblik over det hele ...
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jens Axel Søgaard (05-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 05-10-03 22:14 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jens Axel Søgaard wrote:
>
>>Er der egentlig en formel for, hvor mange gange man skal
>>gentage et forsøg for at bestemme p, så man med sansynlighed
>>1-epsilon kender den p med n decimalers nøjagtighed?
>
>
> Ifølge beviset for sætning 27 (de store tals svage lov)
Nå ja!
>i Graversens noter til Sandsynlighedsteori 1 (har du dem?)
Jep - men jeg skulle lige lede efter dem
> er sandsynligheden for
> at den n'te empiriske middelværdi afviger mere end delta fra den sande
> middelværdi µ, mindre end s²/(n·delta²). Her er s spredningen, som i
> dette tilfælde vel er sqrt{p(1-p)} hvor p=1/e.
>
> Med forbehold for at jeg ikke lige har overblik over det hele ...
Det passer vist fint. Jeg synes stadig det er forunderligt, at
de store tals love gælder.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jeppe Stig Nielsen (05-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 05-10-03 22:21 |
|
Jens Axel Søgaard wrote:
>
> > er sandsynligheden for
> > at den n'te empiriske middelværdi afviger mere end delta fra den sande
> > middelværdi µ, mindre end s²/(n·delta²). Her er s spredningen, som i
> > dette tilfælde vel er sqrt{p(1-p)} hvor p=1/e.
> >
> > Med forbehold for at jeg ikke lige har overblik over det hele ...
>
> Det passer vist fint. Jeg synes stadig det er forunderligt, at
> de store tals love gælder.
Det kan godt være vurderingen (uligheden) kan skærpes.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jens Axel Søgaard (05-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 05-10-03 22:29 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jens Axel Søgaard wrote:
>
>>>er sandsynligheden for
>>>at den n'te empiriske middelværdi afviger mere end delta fra den sande
>>>middelværdi µ, mindre end s²/(n·delta²). Her er s spredningen, som i
>>>dette tilfælde vel er sqrt{p(1-p)} hvor p=1/e.
>>>
>>>Med forbehold for at jeg ikke lige har overblik over det hele ...
>>
>>Det passer vist fint. Jeg synes stadig det er forunderligt, at
>>de store tals love gælder.
>
>
> Det kan godt være vurderingen (uligheden) kan skærpes.
Ja, det hjælper jo, at vi ved det er en binomialfordeling.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Carsten Svaneborg (01-10-2003)
| Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg |
Dato : 01-10-03 13:48 |
|
Jesper Nielsen wrote:
> Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal
> kast) og fik pi.
Er det ikke lettere at spille dart på en kvadratisk flade med
indskrevet cirkel?
A_skive = L^2
A_cirkel = pi L^2/4
Så procentdelen af pile der rammer der rammer inden fladen og
inden for cirklen er pi/4.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk
| |
Hans Henrik Hansen (01-10-2003)
| Kommentar
Fra : Hans Henrik Hansen |
Dato : 01-10-03 16:29 |
|
Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> wrote:
....
> Så procentdelen af pile der rammer der rammer inden fladen og
> inden for cirklen er pi/4.
Men det ville vel forudsætte, at man kunne kaste pilene med ens
træffesandsynlighed over hele fladen!?
--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans
| |
Carsten Svaneborg (01-10-2003)
| Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg |
Dato : 01-10-03 17:41 |
|
Hans Henrik Hansen wrote:
>> Så procentdelen af pile der rammer der rammer inden fladen og
>> inden for cirklen er pi/4.
> Men det ville vel forudsætte, at man kunne kaste pilene med ens
> træffesandsynlighed over hele fladen!?
Yes.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk
| |
Hans Henrik Hansen (01-10-2003)
| Kommentar
Fra : Hans Henrik Hansen |
Dato : 01-10-03 19:36 |
|
Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> wrote:
> Hans Henrik Hansen wrote:
> >> Så procentdelen af pile der rammer der rammer inden fladen og
> >> inden for cirklen er pi/4.
> > Men det ville vel forudsætte, at man kunne kaste pilene med ens
> > træffesandsynlighed over hele fladen!?
>
> Yes.
Hvilket formentlig ville være svært opnåeligt i en praktisk
forsøgsopstilling?
Men man kunne sikkert ret nemt genneføre et ækvivalent 'matematisk
dart-spil':
Udtrække et (passende stort) antal talpar af en rektangulær
sandsynlighedsfordeling og plotte disse ind i den af dig foreslåede
geometriske figur!(?)
Men sådanne simulations-fremgangsmåder tjener vel blot til - lidt
kuriøst - at eftervise, at simulation (også) kan anvendes ifm.
estimering af matematiske konstanter - i praksis kunne man nok bestemme
pi med større nøjagtighed ved fx. at måle omkredsen af en præcist
tildannet skive med størst opnåelige målenøjagtighed?
--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans
| |
Carsten Svaneborg (02-10-2003)
| Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg |
Dato : 02-10-03 12:51 |
|
Hans Henrik Hansen wrote:
> Hvilket formentlig ville være svært opnåeligt i en praktisk
> forsøgsopstilling?
Du skal blot have en stor væg, en lille skive, og godt med
tålmodighed og pile. 8*)
> Men sådanne simulations-fremgangsmåder tjener vel blot til - lidt
> kuriøst - at eftervise, at simulation (også) kan anvendes ifm.
> estimering af matematiske konstanter - i praksis kunne man nok
> bestemme pi med større nøjagtighed ved fx. at måle omkredsen
> af en præcist tildannet skive med størst opnåelige målenøjagtighed?
Mht. simulation er det nu ikke så kuriøst som det lyder.
Hvis du vil evaluere gennemsnittet af en størrelse der afhænger af
mange parametre (f.eks. 100) så kan du i princippet skrive det
som 100 integraler over kompliceret sandsyneligehedsfordeling,
men du kan sandsyneligvist ikke løse dette integral analytisk.
Det er også umuligt at numerisk udregne 100 integraler med de
normale teknikker som trapetz summer osv.
Derimod kan du med relativt lidt arbejde evaluere gennemsnittet
med en Monte Carlo simulation, dvs. ved at lave en random walk i
et 100D rum med Metropolis vægtning af nye skridt, hvis du blot
kender den unormerede sandsynelighedsfordeling.
Så vidt jeg husker virker trapetz summer op til ca. 5-10 variable
herefter vil Monte Carlo integrationsteknikker fungere langt
mere effektivt.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk
| |
Hans Henrik Hansen (02-10-2003)
| Kommentar
Fra : Hans Henrik Hansen |
Dato : 02-10-03 15:32 |
|
Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> wrote:
....
> Mht. simulation er det nu ikke så kuriøst som det lyder.
Enig! Derfor skrev jeg jo også netop: "...ifm.
estimering af matematiske konstanter", hvor jeg altså havde størrelser
som 'pi', 'e' osv. i tankerne.
--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans
| |
Kai Birger Nielsen (03-10-2003)
| Kommentar
Fra : Kai Birger Nielsen |
Dato : 03-10-03 07:37 |
|
In <1g27n32.cjkb7z2rkcgN%sleth2vh@webspeed.dk> sleth2vh@webspeed.dk (Hans Henrik Hansen) writes:
>Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> wrote:
>...
>> Mht. simulation er det nu ikke så kuriøst som det lyder.
>Enig! Derfor skrev jeg jo også netop: "...ifm.
>estimering af matematiske konstanter", hvor jeg altså havde størrelser
>som 'pi', 'e' osv. i tankerne.
>--
>(fjern slet fra mail adr.)
>med venlig hilsen
>Hans
Bemærk for resten at der er en mulighed for snyd i nogle af
de simuleringer. Hvis man fx kaster 355 gange og får 113
hits og derfra et gæt på pi = 355/113 dele, så har man
ramt en af de allerbedste tilnærmelser til pi med små tal.
"Se! jeg har kastet med pinde i 5 minutter og nu har jeg
allerede pi med 9 decimaler"
mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)
| |
Hans Henrik Hansen (03-10-2003)
| Kommentar
Fra : Hans Henrik Hansen |
Dato : 03-10-03 11:53 |
|
Kai Birger Nielsen <bnielsen@daimi.au.dk> wrote:
....
> Bemærk for resten at der er en mulighed for snyd i nogle af
> de simuleringer. Hvis man fx kaster 355 gange og får 113
> hits og derfra et gæt på pi = 355/113 dele, så har man
> ramt en af de allerbedste tilnærmelser til pi med små tal.
> "Se! jeg har kastet med pinde i 5 minutter og nu har jeg
> allerede pi med 9 decimaler"
Ja, man skal næppe benytte simulation uden en ret høj grad af
fortrolighed med de bagvedliggende sandsynlighedsfordelinger - men i
bund og grund er dette vel blot et specialtilfælde af, at man ifm.
ethvert måleresultat bør holde sig måleusikkerheden for øje?
--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans
| |
Carsten Svaneborg (03-10-2003)
| Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg |
Dato : 03-10-03 12:44 |
|
Hans Henrik Hansen wrote:
> Ja, man skal næppe benytte simulation uden en ret høj grad af
> fortrolighed med de bagvedliggende sandsynlighedsfordelinger - men i
> bund og grund er dette vel blot et specialtilfælde af, at man ifm.
> ethvert måleresultat bør holde sig måleusikkerheden for øje?
Yeps. Normalt ville man opdele simulationsresulteterne i et
antal af blokke, der er store nok til at korrelationer mellem
blokkene kan negligeres, og så kan man estimere fejlen fra
variansen de fluktuationen af gennemsnit man får fra de enkelte
blokke.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk
| |
Jeppe Stig Nielsen (02-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 02-10-03 13:36 |
|
Hans Henrik Hansen wrote:
>
> Men sådanne simulations-fremgangsmåder tjener vel blot til - lidt
> kuriøst - at eftervise, at simulation (også) kan anvendes ifm.
> estimering af matematiske konstanter - i praksis kunne man nok bestemme
> pi med større nøjagtighed ved fx. at måle omkredsen af en præcist
> tildannet skive med størst opnåelige målenøjagtighed?
Ja, men man fremfører det også for at dupere folk med at pi (etc.)
fremkommer i en situation der ikke umiddelbart ser ud til at have med
definitionen af dette tal at gøre.
I den forbindelse er der ikke megen streetcredibility i at sige: »Lav
en cirkel, og mål diameter og omkreds. Dividér den sidste med den
første. Dette giver en metode til bestemmelse af pi.« Det véd enhver
jo i forvejen.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Hans Henrik Hansen (02-10-2003)
| Kommentar
Fra : Hans Henrik Hansen |
Dato : 02-10-03 15:32 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:
....
> I den forbindelse er der ikke megen streetcredibility i at sige: »Lav
> en cirkel, og mål diameter og omkreds. Dividér den sidste med den
> første. Dette giver en metode til bestemmelse af pi.« Det véd enhver
> jo i forvejen.
Enig! Og i den sammenhæng giver 'Buffons nåleforsøg' nok også 'lidt mere
på imponatoren' end (tilfældig) pilekastning mod en væg!
--
(fjern slet fra mail adr.)
med venlig hilsen
Hans
| |
Jens Axel Søgaard (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-10-03 13:12 |
|
Jesper Nielsen wrote:
> Da jeg gik i folkeskole, viste vores matematiklærer os et lille trick.
>
> På en flade med linier blev en pind - med linieafstanden længde - kastet.
>
> Man beregnede (antal kast hvor pinden lander på en linie / total antal kast)
> og fik pi.
>
> Kan det forklares?
Her er en lille anekdote til Buffons nåleproblem fundet
i Herman C. Scheplers "The Chronology of PI".
I 1901 kastede en italiensk matematiker, Lazzerini,
en nål 3408 gange. Den tilsvarende værdi for pi er
3.1415929. Det giver en fejl på kun 0,000 000 3.
Man kan dog godt blive en anelse mistænksom vedrørende
det skæve antal kast, men lad det nu ligge.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Larsen (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 12-10-03 16:51 |
|
"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f894532$0$69982$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> I 1901 kastede en italiensk matematiker, Lazzerini,
> en nål 3408 gange. Den tilsvarende værdi for pi er
> 3.1415929. Det giver en fejl på kun 0,000 000 3.
>
> Man kan dog godt blive en anelse mistænksom vedrørende
> det skæve antal kast, men lad det nu ligge.
>
Mener du 3408 forsøgsserier? - for ellers er det løgn.
Mvh
Martin
| |
Jens Axel Søgaard (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-10-03 19:58 |
|
Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f894532$0$69982$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
>>I 1901 kastede en italiensk matematiker, Lazzerini,
>>en nål 3408 gange. Den tilsvarende værdi for pi er
>>3.1415929. Det giver en fejl på kun 0,000 000 3.
>>
>>Man kan dog godt blive en anelse mistænksom vedrørende
>>det skæve antal kast, men lad det nu ligge.
>>
>
> Mener du 3408 forsøgsserier? - for ellers er det løgn.
Et hurtigt tjek viser, at der så sandelig står "3,408 tosses"
i min kilde. Til gengæld optræder tallet 34080 på denne side:
< http://www.pipage.fsnet.co.uk/History%20of%20pi.htm>
In 1777, George Louis Leclerc, comte de Buffon (a mathematical
provocateur who stunned his contemporaries with an estimate that the
earth was 75,000 years old and not 6,000 years old as the Bible said)
worked out a formula involving pi for calculating the probability that a
needle dropped on an array of parallel lines will overlap one of the
lines. The formula was 2l/pa, where a is the distance between the lines
and l is the length of the needle (a > l). Oddly enough, Lazzerini in
1901 made 34080 tosses to get the value of pi = 3.1415929. However, this
strange number of tosses reveals that Lazzerini performed the experiment
until a number close to pi was obtained, when he stopped.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Larsen (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 12-10-03 20:28 |
|
"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f89a455$0$69994$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> Martin Larsen wrote:
> > "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f894532$0$69982$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> >
> >>I 1901 kastede en italiensk matematiker, Lazzerini,
> >>en nål 3408 gange. Den tilsvarende værdi for pi er
> >>3.1415929. Det giver en fejl på kun 0,000 000 3.
> >>
> >>Man kan dog godt blive en anelse mistænksom vedrørende
> >>det skæve antal kast, men lad det nu ligge.
> >>
> >
> > Mener du 3408 forsøgsserier? - for ellers er det løgn.
>
> Et hurtigt tjek viser, at der så sandelig står "3,408 tosses"
> i min kilde. Til gengæld optræder tallet 34080 på denne side:
>
Jeg var meget i tvivl om hvad du havde gang i.
Prøv at kigge på denne side som vist iøvrigt er lidt sjusket:
http://www.jaworski.co.uk/m10/10_fakes.html
Mvh
Martin
| |
Jens Axel Søgaard (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-10-03 20:54 |
|
Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f89a455$0$69994$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>>Et hurtigt tjek viser, at der så sandelig står "3,408 tosses"
>>i min kilde. Til gengæld optræder tallet 34080 på denne side:
>>
>
> Jeg var meget i tvivl om hvad du havde gang i.
> Prøv at kigge på denne side som vist iøvrigt er lidt sjusket:
> http://www.jaworski.co.uk/m10/10_fakes.html
Særdeles interessant. Jeg tror endda, at jeg vil gå så
vidt at sige chokerende læsning.
Kender du andre tilfælde af decideret snyd?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Larsen (12-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 12-10-03 22:52 |
|
"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f89b17f$0$69936$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> Kender du andre tilfælde af decideret snyd?
>
Ikke lige i denne sammenhæng. Statistik er jo taknemmelig.
I min simulation af Buffons nål måtte jeg kaste 10^6 gange
for at få 2 decimaler.
Mvh
Martin
| |
Jens Axel Søgaard (13-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 13-10-03 08:33 |
|
Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f89b17f$0$69936$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
>>Kender du andre tilfælde af decideret snyd?
>>
>
> Ikke lige i denne sammenhæng.
Det behøver heller ikke være i denne sammenhæng.
> I min simulation af Buffons nål måtte jeg kaste 10^6 gange
> for at få 2 decimaler.
I første omgang tænkte jeg, at den gode Lazzerini bare havde
været heldig, da resultatet kom så tæt på. Men at han decideret
havde siddet og fabrikeret de enkelte kast er grove løjer.
--
Jens Axel Søgaard
| |
|
|