---

Jeg har to opgaver fra nogle gamle eksamenssæt, som jeg desværre ikke
kan finde ud af. Jeg håber at der er nogen der har lyst til at hjælpe
mig lidt:

1) Jeg har en lineær afbildning T: R3 -> R3, hvor for det gælder at:
T(1,0,0) = (2,0,5), T(0,1,0) = (1,2,7), T(0,0,1) = (2,-4,-4)

Opgaven går ud på at finde matricen hørende til T, med hensyn til
den naturlige basis for R3. Hvordan gør jeg det? "Messer" giver et
eksempel med funktionssrum, som jeg godt kan gennemskue, men jeg
kan ikke få det her til at passe.

2) Jeg har 5 typer af roser, og skal sammensætte en buket på 12. Hvor
mange forskellige buketter kan jeg lave?

Jeg ville mene at jeg har 5 valgmuligheder for hver rose jeg skal
udvælge til buketten. Altså 5^12 buketter. Men så er der flere der
er medtaget mange gange, så det er klart at jeg skal dividere med
noget, men hvad? Jeg tænkte på antallet af permutationer af
roserne i buketten (12!), men det er for meget.

På forhånd tak for hjælpen.

--
Lars Stokholm

---

In dk.videnskab, Lars Stokholm wrote:

> Jeg tænkte på antallet af permutationer af roserne i buketten
> (12!), men det er for meget.

Ja, det er klart for meget, det kan jeg godt se. For der vil jo være
permutationer, der er ens, fordi roserne er ens. Men hvordan finder
jeg ud af hvor mange ens permutationer der er?

--
Lars Stokholm

---

> 1) Jeg har en lineær afbildning T: R3 -> R3, hvor for det gælder at:
> T(1,0,0) = (2,0,5), T(0,1,0) = (1,2,7), T(0,0,1) = (2,-4,-4)
>
> Opgaven går ud på at finde matricen hørende til T, med hensyn til
> den naturlige basis for R3. Hvordan gør jeg det? "Messer" giver et

Matricen er
2 1 2
0 2 -4
5 7 -4

Sådan finder man altid matricerne - find funktionsværdien for hver
baseisvektor og brug dem som kolonner i matricen (i den rigtige rækkefølge).

Mvh,

Lasse

---

In dk.videnskab, LR wrote:

> Matricen er
> 2 1 2
> 0 2 -4
> 5 7 -4

Hmm, jeg må have fået lavet noget rod. Jeg kom frem til samme matrix
ret let, men konkluderede at den var forkert. Jeg ved ikke hvorfor.

Nå, men tak.

--
Lars Stokholm

---

Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:

> Jeg har to opgaver fra nogle gamle eksamenssæt, som jeg desværre ikke
> kan finde ud af.

Det er vist lidt sent nu, men instruktorerne holder faktisk spørgetime
i dag fra 11-14. Se kursus-hjemmesiden.

--
Stefan Holm
"Uhh... Shiney McShine."

---

In dk.videnskab, Stefan Holm wrote:

> Det er vist lidt sent nu, men instruktorerne holder faktisk
> spørgetime i dag fra 11-14. Se kursus-hjemmesiden.

Ja det er desværre nok lidt for sent, øv.

--
Lars Stokholm

---

Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:

> 2) Jeg har 5 typer af roser, og skal sammensætte en buket på 12. Hvor
> mange forskellige buketter kan jeg lave?

Denne slags problemer er lettere at løse hvis vi i første omgang
antager at der skal være mindst én af hver slags rose, for så kan vi
opskrive en buket som fx

1 2 3 | 4 5 | 6 7 8 9 | 10 | 11 12

altså 3 af første slags roser, 2 af anden slags osv. Det er altså nok
at finde ud af i hvilke 4 af 11 mellemrum vi skal placere en |,
hvilket kan gøres på binomial(11,4) måder.

Men nu er der ikke noget krav om at der skal være mindst én af hver
slags. Det kan vi dog kompensere for ved at lave en buket med 17
roser hvori der skal være mindst én af hver slags, og så til sidst
fjerne en af hver slags.

Det giver altså binomial(16,4) = 1820 forskellige buketter.

--
Stefan Holm
"I go online sometimes, but everyone's spelling is really bad,
and it's depressing."

---

In dk.videnskab, Stefan Holm wrote:

> altså 3 af første slags roser, 2 af anden slags osv. Det er
> altså nok at finde ud af i hvilke 4 af 11 mellemrum vi skal
> placere en |, hvilket kan gøres på binomial(11,4) måder.

Æj, hvor det irriterer mig. Jeg synes det er så klart hver gang jeg
ser den argumentation, men jeg kan aldrig selv finde på den.

Hvor var jeg havnet hvis jeg havde fortsat med 5^12 divideret med
noget? Er det helt i skoven?

--
Lars Stokholm

---

Lars Stokholm skrev:

>Hvor var jeg havnet hvis jeg havde fortsat med 5^12 divideret med
>noget? Er det helt i skoven?

Det var også min første tanke, men prøv at forestille dig at der
kun var én slags roder: 1^12 / 12! Det var ikke mange buketter
man kunne sammensætte. Jeg kan dog ikke forklare præcis hvor det
er galt.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

In dk.videnskab, Bertel Lund Hansen wrote:

> Det var også min første tanke, men prøv at forestille dig at der
> kun var én slags roder: 1^12 / 12! Det var ikke mange buketter
> man kunne sammensætte. Jeg kan dog ikke forklare præcis hvor det
> er galt.

Jah, men 12! er også for meget at dividere med, for så mange
forskellige permutationer er der ikke. Der vil jo være nogle af
roserne der er ens, så permutationer af ens roser tælles også med i
12!. Derfor må det være 5^12/(12!/noget), eller 5^12*noget/12!.
'noget' er så antallet af permuationer af ens roser, men jeg kan ikke
tænke så langt.

--
Lars Stokholm

---

Lars Stokholm skrev:

>> Det var også min første tanke, men prøv at forestille dig at der
>> kun var én slags roder: 1^12 / 12!

>Jah, men 12! er også for meget at dividere med, for så mange
>forskellige permutationer er der ikke.

Nej. Problemet er at forskellige valg kan permuteres forskelligt.
Derfor kan man ikke lave den samlede formel som du drømmer om.
Lad os tage 2 slags roser (A og B) og en buket med 3 stk.

AAA   1 permutation
AAB   3 permutationer
ABB   3 permutationer
BBB   1 permutation

Derfor er det nemmere at tænke som Stefan foreslog, og min idé
var af samme type.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:

> Hvor var jeg havnet hvis jeg havde fortsat med 5^12 divideret med
> noget? Er det helt i skoven?

Det er vel 12^5? Og i så fald kommer det meget an på hvad du skal
dividere med. Jeg kan ikke lige gennemskue det.

--
Stefan Holm
"Dad, I understand the silverware, but why the dog?"

---

In dk.videnskab, Stefan Holm wrote:

> Det er vel 12^5? Og i så fald kommer det meget an på hvad du skal
> dividere med. Jeg kan ikke lige gennemskue det.

Jeg ville sige at jeg skal "plukke" 12 roser i alt. For den første
rose jeg skal plukke, kan jeg vælge imellem 5 typer, det samme for
den anden, den tredje [...]. Det giver vel 5*5*...*5 = 5^12?

--
Lars Stokholm

---

Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:

> In dk.videnskab, Stefan Holm wrote:
>
> > Det er vel 12^5? Og i så fald kommer det meget an på hvad du skal
> > dividere med. Jeg kan ikke lige gennemskue det.
>
> Jeg ville sige at jeg skal "plukke" 12 roser i alt. For den første
> rose jeg skal plukke, kan jeg vælge imellem 5 typer, det samme for
> den anden, den tredje [...]. Det giver vel 5*5*...*5 = 5^12?

Ja, men hvis du plukker fem røde roser, så er det ligegyldigt om
det var som nummer 1,2,3,4 og 5 eller som nummer 2,4,7,9 og 12.
Den rsulterende buket er uordnet, så du skal dividere med antallet
af forskellige måder man kan omordne de valgte roser.

Det er dog ikke et fast tal. Det afhænger af fordelingen af roserne,
så du kan ikke bare dividere de 5^12 med et tal og få resultatet.
Du bliver nødt til at vægte de forskellige udfald forskelligt.

Eksempler:
En rose af hver af fire farver og otte roser af den sidste farve
kan plukkes på 12*11*10*9 = 11880 måder (placeringen af de andre roser,
ordnet). Ud af de 5^12 tæller de 11880 altså for kun en buket.

Seks roser af en farve og seks roser af en anden kan plukkes på
K(12,6) forskellige måder, altså (12*11*10*9*8*7)/(6*5*4*3*2*1) = 924.
Ud af de 5^12 tæller 924 for denne buket

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

In dk.videnskab, Lasse Reichstein Nielsen wrote:

> Ja, men hvis du plukker fem røde roser, så er det ligegyldigt om
> det var som nummer 1,2,3,4 og 5 eller som nummer 2,4,7,9 og 12.
> Den rsulterende buket er uordnet, så du skal dividere med
> antallet af forskellige måder man kan omordne de valgte roser.

Ja.

> Det er dog ikke et fast tal.

Nej, jeg tænkte nu også at det måske afhang af antallet af rosetyper
og/eller antallet af roser i en buket. Men ok, tak, også til Bertel.

Jeg tror at jeg må øve mig lidt mere i det der.

--
Lars Stokholm

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:
>
> > Hvor var jeg havnet hvis jeg havde fortsat med 5^12 divideret med
> > noget? Er det helt i skoven?
>
> Det er vel 12^5? Og i så fald kommer det meget an på hvad du skal
> dividere med. Jeg kan ikke lige gennemskue det.

Begge vil sandsynligvis fejle. Hvis svaret er K(16,4), altså
16*15*14*13/4*3*2*1
så kan man ikke få det rigtige resultat ved at starte med 5^12 eller
12^5 og dividere med noget *heltalligt*. F.eks. går 13 op i K(16,4),
men ikke i hverken 12^5 eller 5^12.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:vfv3veyf.fsf@hotpop.com...
>
> Begge vil sandsynligvis fejle. Hvis svaret er K(16,4), altså
> 16*15*14*13/4*3*2*1

Mener du ikke 16*15*14*13/4/3/2/1

Mvh
Martin

---

Lars Stokholm <monospam@mail.dk> writes:

> Jeg ville sige at jeg skal "plukke" 12 roser i alt. For den første
> rose jeg skal plukke, kan jeg vælge imellem 5 typer, det samme for
> den anden, den tredje [...]. Det giver vel 5*5*...*5 = 5^12?

Ja, min fejl.

--
Stefan Holm
"Og hvis man vælter en planet alligevel, så smelter den."

---

Lars Stokholm skrev:

> Jeg ville mene at jeg har 5 valgmuligheder for hver rose jeg skal
> udvælge til buketten. Altså 5^12 buketter.

Du kan vende problemet om. Du har fem spande med roser, og du har
et antal på 12. Det svarer til at fordele 12 ens kugler i 5
spande.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

In dk.videnskab, Bertel Lund Hansen wrote:

>> Jeg ville mene at jeg har 5 valgmuligheder for hver rose jeg
>> skal udvælge til buketten. Altså 5^12 buketter.
>
> Du kan vende problemet om. Du har fem spande med roser, og du
> har et antal på 12. Det svarer til at fordele 12 ens kugler i 5
> spande.

I den opstilling, tror jeg stadigvæk at jeg ville begynde med 5^12.
For hver kugle, kan jeg vælge mellem 5 spande [...].

--
Lars Stokholm

---

In dk.videnskab, Lars Stokholm wrote:

[Noget kombinatorik]

Puha, det er altså ikke min stærkeste side det her.

Nu har jeg 6 heste i et løb, hvoraf 3 slutter på førstepladsen og
resten slutter på anden-, tredje og fjerdepladsen. På hvor mange
måder kan løbet slutte?

Der er desværre ingen løsninger med eksamenssættet, og det nytter jo
ikke rigtigt noget, at jeg tror at jeg har regnet rigtigt, hvis jeg
faktisk ikke har.

Anyway, jeg siger at der stadigvæk er 6 pladser, som kan indtages af
de 6 heste, selvom det er ligegyldigt om en heste får plads 1, 2
eller 3. De 6 pladser kan indtages på 6! måder. Blandt de første tre
pladser, er det som sagt ligemeget hvilken rækkefølge hestene står i.
Da de kan stå på 3! forskellige måde, på de tre første pladser, må
svaret være 6!/3! = 6*5*4.

Spørgsmålet er om jeg har ret? :)

--
Lars Stokholm

---

In dk.videnskab, Lars Stokholm wrote:

> Nu har jeg 6 heste i et løb, hvoraf 3 slutter på førstepladsen
> og resten slutter på anden-, tredje og fjerdepladsen. På hvor
> mange måder kan løbet slutte?

Så er der så et spørgsmål til, som jeg har tilladt mig at
omformulere lidt: Hvor mange udfald kan løbet have, hvis alle heste
kommer på enten første- eller andenpladsen (men mindst én på hver)?

Svarer det ikke til at spørge hesten, om den er i 'vindermængden'
eller udenfor? Altså 2^6? - men så er der for mange, for alle hestene
må ikke komme ind på samme tid, så 2^6 - 2?

--
Lars Stokholm