---

Hej.

Jeg har et script der logger tidspunktet folk går ind på min website. Jeg
kan plotte det på en tidsakse, f.eks.:

O O O O O O O O O O O O O O O O

Som man kan se går der til at starte med lang tid mellem folk går ind på min
website. Man kan vel sige der er en lav densitet af punkterne på tidsaksen.
I slutningen er der i modsætning hertil en høj densitet, da folk ofte går
ind på siden. Man kunne jo finde forskellen mellem alle tidspunkterne, noget
lignende dette:

100, 100, 100, 100, 100, 100, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

Og tage gennemsnittet af disse tal. Dette vil give en form for
middeldensitet. Man kunne f.eks. gøre det for hver dag og se densiteten som
graf af dagene. Men hvad gør man hvis man vil se densiteten i et punkt,
f.eks. kl. 15:27. Hvad er densiteten på det tidspunkt? Måske vil nogle sige
at den er 0. Det kan jeg godt se logikken i, men hvis man nu sammenligner
med tryk i den fysiske verden. Man kan vel sagtens tale om et bestemt tryk i
et punkt selvom der måske ikke nødvendigvis befinder sig nogen partikler
e.l. lige præcist der. Eller kan man?

Det jeg egentlig vil nå frem til er en måde at beskrive densiteten af mine
punkter på tidsaksen til et givent tidspunkt, så jeg kan tegne en flot graf
over besøgende pr. dag. Så kan man finde lokale maksima for den graf og se
de tidspunkter, hvor den er mest besøgt.
Min lappeløsning indtil videre er at opdele besøgende i time-tal (mellem 00
og 23) og så tegne en søjlegraf over antallet pr. time.

Måske man kan bruge noget fourier?

Mvh. Bjarke

---

On Sat, 14 Jun 2003 01:17:44 +0200, "Bjarke Walling Petersen"
<bwp.news.fjern-dette@bwp.dk> wrote:

> Men hvad gør man hvis man vil se densiteten i et punkt,
>f.eks. kl. 15:27. Hvad er densiteten på det tidspunkt?

Det nemmeste ville være at lave en interpolation mellem de to
nabopunkter.

/Christian

---

Christian Vandsø skrev:
> Det nemmeste ville være at lave en interpolation mellem de to
> nabopunkter.

Interpolation mellem hvad? Kan du give et eksempel?

Mvh. Bjarke

---

Bjarke Walling Petersen wrote:
> ind på siden. Man kunne jo finde forskellen mellem alle tidspunkterne, noget
> lignende dette:

Det virker som en lidt dum måde... Summen af forskellen i tiden mellem
en masse punkter vil jo altid være lig hele tidsintervallet. I stedet
kan du bare tælle antal punkter.

> Det jeg egentlig vil nå frem til er en måde at beskrive densiteten af mine
> punkter på tidsaksen til et givent tidspunkt, så jeg kan tegne en flot graf
> over besøgende pr. dag.

Definér et fast tidsinterval (f.eks. en time). Til et givent tidspunkt
kan du tælle antal punkter i +/- dette tidsinterval (hvilket _næsten_ er
hvad du allerede har gjort, men her vil du kunne finde et maksimum med
lidt højere nøjagtighed).

Med venlig hilsen Preben

---

Preben Mikael Bohn skrev:
[klip]
> Definér et fast tidsinterval (f.eks. en time). Til et givent tidspunkt
> kan du tælle antal punkter i +/- dette tidsinterval (hvilket _næsten_ er
> hvad du allerede har gjort, men her vil du kunne finde et maksimum med
> lidt højere nøjagtighed).

Så er idéen vel at dette interval kan forskydes kontinuert og ikke
nødvendigvis ligger fra f.eks. 0:00-1:00?

Mvh. Bjarke

---

Bjarke Walling Petersen wrote:
>
> > Definér et fast tidsinterval (f.eks. en time). Til et givent tidspunkt
> > kan du tælle antal punkter i +/- dette tidsinterval (hvilket _næsten_ er
> > hvad du allerede har gjort, men her vil du kunne finde et maksimum med
> > lidt højere nøjagtighed).
>
> Så er idéen vel at dette interval kan forskydes kontinuert og ikke
> nødvendigvis ligger fra f.eks. 0:00-1:00?

Ja.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Bjarke Walling Petersen wrote:

>
> O O O O O O O O O O O O O O O O
>
> Hvad er densiteten på det tidspunkt?

I numeriske simulationer er det faktisk et stort problem, du peger på. Hvis
man f.eks. har N partikler med givne koordinater og masser i en boks, hvad er
så tætheden i en givent punkt? Hvilke partikler skal man bruge? Afstanden til
nærmeste partikel, de ti nærmeste eller hvad? Og endnu værre: Hvis man skal
udregne, kraften fra partiklerne (hvis det f.eks. er elektroner), hvormange
skal man medtage?

Een måde at komme omkring det er at folde tætheden med en gausisk funktion.
Altså noget i retning af:

rho=1/(\sigma*sqrt(2\pi)) * sum_i [e^((x-a)^2/(2\sigma^2))m_i/x_i].

Du må undskylde den rodede notation - jeg håber, du kender til LaTeX. Ellers
har jeg skrevet den ind her:
http://www.fys.ku.dk:~/vinter/sletmig/formel.ps

Her er \sigma et udtryk for bredden af den gausiske funktion - altså hvormeget
der skal lægges vægt på punkter langt væk hhv. tæt på. a er punktet, hvori man
vil undersøge tætheden, og man vælger typisk et eller andet cut off for, hvor
langt man vil undersøge.
Hele molevitten kan udvides til n dimensioner uden større dikkedarer.

Forresten blev denne ide udviklet af professor Joe Monaghan fra Monash
University i Melbourne for mange år siden, og det hedder SPH eller Smoothed
Particle Hydrodynamics og har haft enormm succes.

-vinter

--
Christian Vinter
Student of astrophysics.
University of Copenhagen, Denmark
http://www.fys.ku.dk/~vinter

---

Christian Vinter skrev:
[klip]
> Een måde at komme omkring det er at folde tætheden med en gausisk
funktion.
> Altså noget i retning af:
>
> rho=1/(\sigma*sqrt(2\pi)) * sum_i [e^((x-a)^2/(2\sigma^2))m_i/x_i].
>
> Du må undskylde den rodede notation - jeg håber, du kender til LaTeX.
Ellers
> har jeg skrevet den ind her:
> http://www.fys.ku.dk:~/vinter/sletmig/formel.ps

Tak! Jeg kender ikke (endnu) særlig godt til LaTeX - dog kunne jeg efter
lidt tid godt tyde ovenstående funktion. Der var vist i øvrigt sneget sig en
fejl ind i den URL, men jeg har fundet det alligevel.

> Her er \sigma et udtryk for bredden af den gausiske funktion - altså
hvormeget
> der skal lægges vægt på punkter langt væk hhv. tæt på. a er punktet, hvori
man
> vil undersøge tætheden, og man vælger typisk et eller andet cut off for,
hvor
> langt man vil undersøge.

Er der nogen vejledning til hvordan \sigma vælges godt? - eller skal man
bare prøve sig frem?

> Hele molevitten kan udvides til n dimensioner uden større dikkedarer.

Jeg er lidt spændt på hvordan dette gøres. Har du f.eks. et eksempel med 2
dimensioner?

> Forresten blev denne ide udviklet af professor Joe Monaghan fra Monash
> University i Melbourne for mange år siden, og det hedder SPH eller
Smoothed
> Particle Hydrodynamics og har haft enormm succes.

Så det er "den mest rigtige" måde at bruge mht. problemet med at finde
tætheden?

Mvh. Bjarke

---

"Bjarke Walling Petersen" <bwp.news.fjern-dette@bwp.dk> wrote in message

> > rho=1/(\sigma*sqrt(2\pi)) * sum_i [e^((x-a)^2/(2\sigma^2))m_i/x_i].

Ja, jeg mente jo:

http://www.fys.ku.dk/~vinter/sletmig/formel.ps

> Tak! Jeg kender ikke (endnu) særlig godt til LaTeX - dog kunne jeg efter
> lidt tid godt tyde ovenstående funktion.

Det var dæl'me da også noget rod. Undskyld igen!

> Er der nogen vejledning til hvordan \sigma vælges godt? - eller skal man
> bare prøve sig frem?

Det er der nok. Du skal vel finde ud af, hvad der er en typisk
tidsskala for dine besøg, og på en eller anden måde få dette koblet
til sigma. Kan ikke gennemskue, hvordan dette ville tage sig ud.

> > Hele molevitten kan udvides til n dimensioner uden større dikkedarer.
>
> Jeg er lidt spændt på hvordan dette gøres. Har du f.eks. et eksempel med 2
> dimensioner?

Ideen er den samme: Du skal sådan set bare have fat i en todimensional
Gauss-funktion og så ellers summere over to dimensioner. Du skal også
udskifte
x_i med Pythagoras: sqrt[(x_i-a)^2+(y_j-b)^2] overalt.
Jeg indrømmer, det er lidt på skrømt. Jeg har ikke noterne fra kurset,
jeg havde om det, men ideen kan jeg stå inde for. Jeg håber, du
forstår.
Jeg har lavet et forsøg på et forslag på:
http://www.fys.ku.dk/~vinter/sletmig/formel2D.ps

G_2D er den to-dimensionale Gauss-funktion - den må du selv lige finde
frem til. (a,b) er punktet, du vil finde tætheden i.

Jeg kan ikke hjælpe mere via usenet, da jeg skrider til Chile iaften
for at observere. Men du skal være velkommen til at maile mig, hvis du
vil vide mere; og ellers er der jo ti tons andre hjælpsomme mennesker
på dk.videnskab[1].

-vinter

[1]: Der er lidt andet, I kan finde ud af, mens jeg er væk: "Hvad
vejer brugerne af dk.videnskab?"
Hæ: Efter Makholms forslag i dk.admin er det nemme svar jo nok snart:
"Intet"

--
Christian Vinter
Student of astrophysics.
University of Copenhagen, Denmark
http://www.fys.ku.dk/~vinter

---

Scripsit vinter@fys.ku.dk (Christian Vinter)

> [1]: Der er lidt andet, I kan finde ud af, mens jeg er væk: "Hvad
> vejer brugerne af dk.videnskab?"
> Hæ: Efter Makholms forslag i dk.admin er det nemme svar jo nok snart:
> "Intet"

Huh???

--
Henning Makholm "I ... I have to return some videos."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit vinter@fys.ku.dk (Christian Vinter)
>
>
>>[1]: Der er lidt andet, I kan finde ud af, mens jeg er væk: "Hvad
>>vejer brugerne af dk.videnskab?"
>>Hæ: Efter Makholms forslag i dk.admin er det nemme svar jo nok snart:
>>"Intet"
>
>
> Huh???
>

Det må du dæl'me da nok spørge om. Jeg havde søgt på "videnskab" på Google
Groups. Det første link er et, du har skrevet, om nedlægning af dk.videnskab
til fordel for dk.naturvidenskab. Jeg havde dog lige overset, det var fra
oktober 1998! Shit!
Det må du undskylde.

-vinter

---

Bjarke Walling Petersen wrote:
>
> [...] Men hvad gør man hvis man vil se densiteten i et punkt,
> f.eks. kl. 15:27. Hvad er densiteten på det tidspunkt? Måske vil nogle sige
> at den er 0. Det kan jeg godt se logikken i, men hvis man nu sammenligner
> med tryk i den fysiske verden. Man kan vel sagtens tale om et bestemt tryk i
> et punkt selvom der måske ikke nødvendigvis befinder sig nogen partikler
> e.l. lige præcist der. Eller kan man?

Nej, det kan man vist ikke.
Man er nødt til at kigge på et så stort område at de tilfældige varia-
tioner i partiklernes (hhv. web-besøgene) kan negligeres.

Jeg tilslutter mig Prebens metode: Tæl antal begivenheder inden for en
tidsperiode af fast længde.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:
> Nej, det kan man vist ikke.
> Man er nødt til at kigge på et så stort område at de tilfældige varia-
> tioner i partiklernes (hhv. web-besøgene) kan negligeres.

Ja, det tror jeg også er slået fast efter de svar jeg har fået.

> Jeg tilslutter mig Prebens metode: Tæl antal begivenheder inden for en
> tidsperiode af fast længde.

Ok, jeg tror jeg prøver at implementere de forskellige metoder og se hvad
der giver det bedste resultat.

Mvh. Bjarke

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Jeg tilslutter mig Prebens metode: Tæl antal begivenheder inden for en
> tidsperiode af fast længde.
>

....som altså giver lige stor vægt til besøg i enden af intervallet som dem i
midten. Det giver jo ikke en reel tæthed.

-vinter

---

Christian Vinter wrote:
>
> ...som altså giver lige stor vægt til besøg i enden af intervallet som dem i
> midten. Det giver jo ikke en reel tæthed.

Ikke reel? Jeg tror ikke at mere indviklede (surreelle) metoder vil
gøre mere nytte her.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Christian Vinter wrote:

> > ...som altså giver lige stor vægt til besøg i enden af intervallet
> > som dem i midten. Det giver jo ikke en reel tæthed.

> Ikke reel? Jeg tror ikke at mere indviklede (surreelle) metoder vil
> gøre mere nytte her.

Problemet (hvis der er et problem, hvilket må komme an på anvendelsen
og anvenderens temperament) er at ethvert enkeltpunkt giver et
kasseformet bidrag til den estimerede tæthedsfunktion. Det betyder at
den bliver stykvis konstant (trappeformet), og det er ikke sikkert at
det er ønskværdigt, især hvis man bruger et kassebidrag af konstant
bredde og den reelle tæthed stedvis er lavere end den konstante kasses
højde.

På en eller anden må man sørge for at få hvert enkelt punkt til at
give et bidrag der er bredt nok til også at omfatte de nærmeste N
nabopunkter på hver side af det. Og hvis først man er kommet dertil,
kan man lige så godt lade bidragene være trekant- eller klokkeformede
for at give en pænere kurve.

--
Henning Makholm "Manden med det store pindsvin er
kommet vel ombord i den grønne dobbeltdækker."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Ikke reel? Jeg tror ikke at mere indviklede (surreelle) metoder vil
> > gøre mere nytte her.
>
> Problemet (hvis der er et problem, hvilket må komme an på anvendelsen
> og anvenderens temperament) er at ethvert enkeltpunkt giver et
> kasseformet bidrag til den estimerede tæthedsfunktion. Det betyder at
> den bliver stykvis konstant (trappeformet), og det er ikke sikkert at
> det er ønskværdigt, især hvis man bruger et kassebidrag af konstant
> bredde og den reelle tæthed stedvis er lavere end den konstante kasses
> højde.

Med *mit* temperament ville man bare skrive følgende linje:

siden er besøgt [n] gange inden for den sidste {time/døgn/uge}

hvor man vælger en periode der er så lang at der typisk vil være mere
end blot nogle få besøg at rapportere om. Det giver da et mål som er
let at forstå for enhver. Jeg synes ikke det er noget stort problem at
denne tæthed varierer »diskret«.

Jeg tvivler stadig på at jeres »reelle« [øjebliks-]tæthed eksisterer.

>
> På en eller anden må man sørge for at få hvert enkelt punkt til at
> give et bidrag der er bredt nok til også at omfatte de nærmeste N
> nabopunkter på hver side af det. Og hvis først man er kommet dertil,
> kan man lige så godt lade bidragene være trekant- eller klokkeformede
> for at give en pænere kurve.

Jeg forstår godt din tankegang, men jeg tror ikke denne fremgangsmåde
giver større indblik i praksis.

Men o.k.: Lad os sige at vi »udtværer« hver begivenhed til en symmetrisk
kurve (fx klokkeformet eller ligebenet trekant) under hvilken arealet er
1. Så lægger man alle klokkekurverne sammen med sædvanlig punktvis
addition af grafer. Så skulle sumfunktionen til et givet tidspunkt altså
sige noget om øjeblikstætheden.

Et problem er bare at man ikke kan forudsige hvor mange fremtidige hits
der vil komme som har klokker der rækker tilbage til nu-punktet. Så
måske skal man kun bruge »halvklokker« i stedet for ...

Men som sagt: For mig er »halvrektangler« fine nok til formålet.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Det giver da et mål som er
> let at forstå for enhver.

Jeg dittoer. Andre måder at gøre det på bliver bare mere besværlige at
vurdere.

> Jeg tvivler stadig på at jeres »reelle« [øjebliks-]tæthed eksisterer.

Det man kunne sige var måske at vi kunne antage at besøgene var
Poisson-fordelt med en tidslig variabel parameter.

Poisson-parameteren er nem at bestemme når den er konstant (er blot
"gennemsnittet"), men desværre er det ikke ligetil når den varierer. Det
man bliver nødt til er at modellere dens tidslige variation, og da denne
jo ikke er kendt er det lidt af et problem.

Man kunne så sige at den inden for et lille tidsrum vil variere lineært,
og så prøve at bestemme den gennemsnitlige værdi. Her vil man så (næsten
sikker, men prøv at eftervis det med maximum likelihood) komme frem til
at man skal bruge præcis samme estimat som for den konstante
"variation". Så "al" snakken om at bruge Gaussiske eller trekants
funktioner ville jeg gerne se bevist... OK, indrømmet, der vil altid
være variationer hvor det ene er bedre end det andet, men i de fleste
tilfælde synes jeg at den simpleste løsning er den bedste...

Med venlig hilsen Preben

---

Scripsit Preben Mikael Bohn <nospam@nospam.com>
> Jeppe Stig Nielsen wrote:

> > Jeg tvivler stadig på at jeres »reelle« [øjebliks-]tæthed eksisterer.

> Det man kunne sige var måske at vi kunne antage at besøgene var
> Poisson-fordelt med en tidslig variabel parameter.

Det var det der var min underforståede antagelse.

> Poisson-parameteren er nem at bestemme når den er konstant (er blot
> "gennemsnittet"), men desværre er det ikke ligetil når den varierer.
[...]
> Man kunne så sige at den inden for et lille tidsrum vil variere lineært,
> og så prøve at bestemme den gennemsnitlige værdi. Her vil man så (næsten
> sikker, men prøv at eftervis det med maximum likelihood) komme frem til
> at man skal bruge præcis samme estimat som for den konstante
> "variation".

Problemet er jo stå stadig hvor stor en del af datasættet man vil tage
gennemsnit over i det enkelte tilfælde.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"

---

Henning Makholm wrote:
> Problemet er jo stå stadig hvor stor en del af datasættet man vil tage
> gennemsnit over i det enkelte tilfælde.

Naturligvis, det problem vil du jo altid have, uanset om du bruger
Gaussisk eller trekant eller firkant eller... Mit argument er blot
at under antagelse af lineær variation for "små" tids-intervaller giver
den simple firkant faktisk det bedste (ML) estimat.

Med venlig hilsen Preben

---

Hvis du vil give en praecis beskreivelse at taetheden af punkter, saa
skal du enten bruge deltafunktioner eller midle over et uendeligt
datasaet.

http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

Hvis du vil definere trykket i et lille system der er fyldt med en
tynd gas, saa har du (saa vidt jeg husker) samme problem. Du kan enten
midle et over tid eller over mange ens systemer (laes "midle over et
ensemble"). En tredie mulighed er at interpolere (Prebens metode), men
det er vel naermest snyd. Problemet er at den der kigger paa grafen
ikke kan se hvad du har gjort ved tallene (Dem der interpolerer snyder
;) )

Her er et par matematiske metoder.. Jeg tror ikke at de giver dig de
informationer som du leder efter . I princippet kan du lave et
soejlediagram over ventetider mellem to besoeg i dit website. Hvis
besoegene uafhaengige, boer du faa en ekponentialfordeling.

http://mathworld.wolfram.com/PoissonProcess.html
http://mathworld.wolfram.com/PoissonDistribution.html

Hvis du er lidt mere fraek kan du kigge ved ogsaa paa autokorrellation
og power spectrum (men jeg ved ikke helt hvad det skal goere godt for)

http://www.google.com/search?hl=en&lr=&ie=UTF-8&q=%22power+spectrum%22+%22lecture+notes%22+%22autocorrelation%2

Jeg synes at din lappeloesning virker some den bedste tilgang til
problemet. Den virker aerlig og giver dig mulighed for at svare paa
simple spoergsmaal saa som:

Hvis der er mange besoeg om eftermiddagen, er der saa ogsaa mange
besoeg om aftenen?

Hvis der er mange besoeg loerdag er der saa ogsaa mange besoeg
soendag?

Hvis der er fodbold i fjernsynet er der saa faerre besoeg?



--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> eller midle over et uendeligt
> datasaet.

Dette går jo ikke da han skal bruge densiteten i ét punkt, der gerne
skal variere hen over dagen.

> ensemble"). En tredie mulighed er at interpolere (Prebens metode),

Jeg sagde vist intet om at interpolere. Men jeg vil da gerne hør mere om
denne metode (har svært ved at forestille mig hvordan det skulle gøres).

> Her er et par matematiske metoder.. Jeg tror ikke at de giver dig de
> informationer som du leder efter . I princippet kan du lave et
> soejlediagram over ventetider mellem to besoeg i dit website. Hvis
> besoegene uafhaengige, boer du faa en ekponentialfordeling.

Her skulle vist have stået Poissonfordeling?

Jeg vil helt klart mene at den metode jeg vist angav er den der giver
det nemmeste overblik over besøgene, det er jo blot antal besøg per
tidsenhed, et tal alle kan tyde, og det varierer over dagen (hvis
intervallet gøres kort nok)...

Med venlig hilsen Preben