---

Hej

Hvordan løser jeg en sådan gåde:

Præsten (P) står i kirken sammen med sin kordegn (K). Ind i kirken
kommer tre kirkegængere (X, Y, Z). Præsten spørger kordegnen, hvor gamle de
er, hvortil kordegnen svarer:
- Multiplicerer du deres aldre giver det 2450. Lægger du deres aldre
sammen giver det din alder.
Præsten, der kender sin egen alder, tænker over det, men kan ikke finde
et svar og beder kordegnen om hjælp, hvortil kordegnen svarer:
- Den ældste er ikke ældre end vores biskop (B).

Spørgsmålet lyder: Hvor gammel er præsten: 1) 64 år, 2) 51 år, 3) 20 år
eller 4) 42 år.

Hvordan løser jeg en sådan gåde uden et langvarigt papirarbejde? Jeg ved
jo:

X * Y * Z = 2450

X + Y + Z = P

max(X,Y,Z) < B

--
Uffe Holst

---

Scripsit "Uffe Holst" <uffe@eremitage.dk>

> Hvordan løser jeg en sådan gåde uden et langvarigt papirarbejde?

Start med at primfaktorisere 2450.

> max(X,Y,Z) < B

I den slags opgaver betyder en irrelevant oplysning om "den ældste"
altid der *er* en af dem der er ældst (dvs at der ikke er to der er
lige gamle og en der er yngre).

--
Henning Makholm "Fuck Lone."

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> > max(X,Y,Z) < B

> I den slags opgaver betyder en irrelevant oplysning om "den ældste"
> altid der *er* en af dem der er ældst (dvs at der ikke er to der er
> lige gamle og en der er yngre).

Hov, det gør den ikke nødvendigvis her - for opgaven siger jo ikke
noget om at den ekstra oplysning satte præsten i stand til at gætte
aldrene. (Men selv hvis vi antager det, tager jeg fejl - idet
oplysningen jo ikke er irrelevant for præsten.)

Glem derfor alt om biskoppen. Det er tilstrækkeligt at vide at præsten
ikke kunne finde et svar i første omgang. [1]

*Hvis* vi antager at kordegnens hint hjalp, ved vi imidlertid også
hvor gammel biskoppen er!

(Hvis man antager at ingen af kirkegængerne er ældre end 150, er der
kun 12 muligheder at prøve igennem. Det kræver ikke helt langvarigt
papirarbejde - men måske nok lidt systematisk tænkning at finde alle
12 og være sikker på at man har allesammen).


[1] Hvis vi også ved i forvejen at præstens alder er blandt de 4
svarmuligheder i Uffes opgave, kan vi svare helt uden at kende
andet end kordegnens første replik!

--
Henning Makholm "Also, the letters are printed. That makes the task
of identifying the handwriting much more difficult."

---

Hej Henning.

> (Hvis man antager at ingen af kirkegængerne er ældre end 150,

Vi ved at summen af de tre kirkegængers aldre er lig ved præstens
alder, vi ved også at den højeste alder præsten kan have er 64 år,
derfor kan kirkegængerne ikke være 150 år.

--
mvh Rasmus

---

Scripsit "Rasmus Ladekjær Pedersen" <ilmabg@hotmail.com>
> Hej Henning.

> > (Hvis man antager at ingen af kirkegængerne er ældre end 150,

> Vi ved at summen af de tre kirkegængers aldre er lig ved præstens
> alder, vi ved også at den højeste alder præsten kan have er 64 år,
> derfor kan kirkegængerne ikke være 150 år.

Jeg har omhyggeligt ladet være med at bruge de fire mulige løsninger
til noget -- ellers er opgaven jo alt for nem.

--
Henning Makholm "What the hedgehog sang is not evidence."

---

"Uffe Holst" <uffe@eremitage.dk> writes:

> Hej
>
> Hvordan løser jeg en sådan gåde:
>
> Præsten (P) står i kirken sammen med sin kordegn (K). Ind i kirken
> kommer tre kirkegængere (X, Y, Z). Præsten spørger kordegnen, hvor gamle de
> er, hvortil kordegnen svarer:
> - Multiplicerer du deres aldre giver det 2450. Lægger du deres aldre
> sammen giver det din alder.
> Præsten, der kender sin egen alder, tænker over det, men kan ikke finde
> et svar og beder kordegnen om hjælp, hvortil kordegnen svarer:
> - Den ældste er ikke ældre end vores biskop (B).
>
> Spørgsmålet lyder: Hvor gammel er præsten: 1) 64 år, 2) 51 år, 3) 20 år
> eller 4) 42 år.
>
> Hvordan løser jeg en sådan gåde uden et langvarigt papirarbejde?

Jeg ved ikke om der findes en måde der er nemmere end den
nedenstående, men _så_ langvarigt synes jeg nu ikke "papir"-arbejdet
var:

Vi kan antage at x er den ældste; og som Henning skriver ved vi at der
er én der er ældst. Vi ved desuden, at x er divisor i 2450. Nu er så
y*z = 2450/x, og det betyder, at mindst en af y og z er større end
kvadratroden af 2450/x. Da x er størst, må det betyde at x er større
end kubikroden af 2450; dvs. x er større end 13,4. Vi ved desuden, at
summen x+y+z ikke er større end 64 (da det er den største givne
mulighed for hvor gammel præsten kan være); således er x heller ikke
større end 64. Denne analyse efterlader følgende muligheden for
alderen af den ældste: 14, 25, 35, 49 og 50.

Hvis x = 14, er y*z = 175; men det er ikke muligt at faktorisere 175 i
to heltallige faktorer der begge er mindre end 14.

Hvis x = 25, er y*z = 98=2*7*7. Så må y=14 og z=7 (eller omvendt), men
så er x+y+z = 46, hvilket ikke er en mulighed.

Hvis x = 35, er y*z=70=2*5*7, så enten er y=10 og z=7 (svarende til
x+y+z = 52), eller y=5 og z=14 (svarende til x+y+z=54); altså heller
ikke en løsning.

Hvis x = 49, er y*z=50=5*5*2. Dette giver mulighederne y=25 og z=2
(x+y+z=76) samt y=10 og z=5 (x+y+z = 64 !).

Endelig, hvis x = 50 er y*z = 49=7*7. Det giver mulighederne y=z=7,
svarende til x+y+z = 64, eller y=49 og z=1, svarende til x+y+z=100.

Under alle omstændigheder ses det, at den eneste mulighed for x+y+z
som stemmer overens med de givne fire muligheder for præstens alder er
64; men vi kan til gengæld ikke afgøre aldrene på de tre kirkegænger
(dog kan vi sige at den ene er midaldrende og de to andre er børn...).

Mvh Rasmus

--

---

Scripsit Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk>

> Vi kan antage at x er den ældste; og som Henning skriver ved vi at der
> er én der er ældst.

Bemærk at jeg senere trak den påstand tilbage.

> Vi ved desuden, at summen x+y+z ikke er større end 64 (da det er den
> største givne mulighed for hvor gammel præsten kan være);

Hvis du bruger dén oplysning, kan du lige så godt bare vise at 64 er
det eneste af forslagene som kan skrives som en sum af tre tal hvis
produkt er 2450.

> Under alle omstændigheder ses det, at den eneste mulighed for x+y+z
> som stemmer overens med de givne fire muligheder for præstens alder er
> 64; men vi kan til gengæld ikke afgøre aldrene på de tre kirkegænger

Medmindre vi ved at præsten ved hvor gammel biskoppen er, og at
præsten kunne regne sig frem til aldrene bagefter. I så fald må
kirkegængerne være 10, 5 og 49 (og biskoppen 49).

--
Henning Makholm "I paid off ALL my debts and bought a much-needed new car."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk>
>
> > Vi kan antage at x er den ældste; og som Henning skriver ved vi at der
> > er én der er ældst.
>
> Bemærk at jeg senere trak den påstand tilbage.
>
> > Vi ved desuden, at summen x+y+z ikke er større end 64 (da det er den
> > største givne mulighed for hvor gammel præsten kan være);
>
> Hvis du bruger dén oplysning, kan du lige så godt bare vise at 64 er
> det eneste af forslagene som kan skrives som en sum af tre tal hvis
> produkt er 2450.
>
> > Under alle omstændigheder ses det, at den eneste mulighed for x+y+z
> > som stemmer overens med de givne fire muligheder for præstens alder er
> > 64; men vi kan til gengæld ikke afgøre aldrene på de tre kirkegænger
>
> Medmindre vi ved at præsten ved hvor gammel biskoppen er, og at
> præsten kunne regne sig frem til aldrene bagefter. I så fald må
> kirkegængerne være 10, 5 og 49 (og biskoppen 49).

Hvorfor kan biskoppen ikke være 50? Der stod kun at den ældste ikke var
ældre, ikke at han ikke var yngre.

..Henrik

--
Portland cement, see Concrete (in another book).
    -- fra indexet i "Concrete Mathematics"

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Medmindre vi ved at præsten ved hvor gammel biskoppen er, og at
> > præsten kunne regne sig frem til aldrene bagefter. I så fald må
> > kirkegængerne være 10, 5 og 49 (og biskoppen 49).

> Hvorfor kan biskoppen ikke være 50? Der stod kun at den ældste ikke var
> ældre, ikke at han ikke var yngre.

Mulighederne er at den ældste er 50 eller 49. Hvis biskoppen var 50,
ville den ældste i begge tilfælde være "ikke ældre" end biskoppen.

--
Henning Makholm "Make it loud, make it complicated, make it long,
and make it up if you have to, but it'll work all right."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Mulighederne er at den ældste er 50 eller 49. Hvis biskoppen var 50,
> ville den ældste i begge tilfælde være "ikke ældre" end biskoppen.

Jeg skulle bare lige læse dine indlæg en gang mere, så forstod jeg hvad
du mente.

Jeg skulle også lige tænke mig om en ekstra gang får at forstå hvordan
du nåede 12 muligheder når du udelukkede at kirkegængerne kunne være
over 150.

..Henrik

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> Jeg skulle også lige tænke mig om en ekstra gang får at forstå hvordan
> du nåede 12 muligheder når du udelukkede at kirkegængerne kunne være
> over 150.

På det tidspunkt ville jeg jo heller ikke give for meget af løsningen
væk. De 150 var såmænd bare en forblommet måde at sige at hver
kirkegænger må have højst de fire primfaktorer faktorer 5,5,7,7.

--
Henning Makholm "Så drikker jeg det hele. Det har en festlig smag."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>
>
> > Jeg skulle også lige tænke mig om en ekstra gang får at forstå hvordan
> > du nåede 12 muligheder når du udelukkede at kirkegængerne kunne være
> > over 150.
>
> På det tidspunkt ville jeg jo heller ikke give for meget af løsningen
> væk. De 150 var såmænd bare en forblommet måde at sige at hver
> kirkegænger må have højst de fire primfaktorer faktorer 5,5,7,7.

Men mit problem var at jeg havde glemt den mulighed at en eller to (men
så ville præsten være 2452 år) af kirkegængerne kun var et år gammel, så
er der nemlig kun 11 muligheder selv uden at frasortere de urealistiske.

..Henrik

--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> De 150 var såmænd bare en forblommet måde at sige at hver
> kirkegænger må have højst de fire primfaktorer faktorer 5,5,7,7.

s/højst/højst to af/

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

"Uffe Holst" <uffe@eremitage.dk> writes:

> Hej
>
> Hvordan løser jeg en sådan gåde:
>
> Præsten (P) står i kirken sammen med sin kordegn (K). Ind i kirken
> kommer tre kirkegængere (X, Y, Z). Præsten spørger kordegnen, hvor gamle de
> er, hvortil kordegnen svarer:
> - Multiplicerer du deres aldre giver det 2450. Lægger du deres aldre
> sammen giver det din alder.
> Præsten, der kender sin egen alder, tænker over det, men kan ikke finde
> et svar og beder kordegnen om hjælp, hvortil kordegnen svarer:
> - Den ældste er ikke ældre end vores biskop (B).
>
> Spørgsmålet lyder: Hvor gammel er præsten: 1) 64 år, 2) 51 år, 3) 20 år
> eller 4) 42 år.

Så vidt jeg kan se er der kun en af de muligheder der harmonerer med
oplysningen om at produktet er 2450. Så vi har hverken brug for
oplysningen om at ikke kan finde et svar eller oplysningen om at den
ældste ikke er ældre end biskoppen.

Hvis vi glemmer mulighederne har vi stadig ikke brug for oplysningen om
at den ældste ikke er ældre end biskoppen for at bestemme præstens alder.
Den er heller ikke til nogen hjælp hvis vi vil bestemme sognebørnenes
alder.

Alt i alt ikke nogen særlig interessant opgave.

> Hvordan løser jeg en sådan gåde uden et langvarigt papirarbejde? Jeg ved
> jo:
>
> X * Y * Z = 2450
>
> X + Y + Z = P
>
> max(X,Y,Z) < B

Du ved en del mere end det.

..Henrik

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

Hej Henrik.

> "Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
> -sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

Hvad er "transfinitte kardinaltal"?

--
Mvh Rasmus

---

"Rasmus Ladekjær Pedersen" wrote:
>
> > "Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
> > -sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal
>
> Hvad er "transfinitte kardinaltal"?

Det er svært at svare kort på.

For endelige mængder kan man tale om antallet af elementer i mængden.
Dette antal kan opfattes som et ganske almindeligt ikke-negativt, helt
tal. Vi kan kalde disse antal for endelige kardinaltal.

Hvis man så tager en uendelig mængde, så hører der til den et såkaldt
transfinit kardinaltal der siger noget om »hvor mange« elementer der er
i mængden.

Man kan regne med kardinaltal. Hvis a og b er kardinaltal, kan man fx
udregne potensen b^a. Hvis A er en mængde med kardinaltallet a, og B er
en med kardinalitet b, så kan man opnå en mængde med kardinalitet b^a
ved at kigge på mængden af funktioner fra A til B.

Mængden N={0,1,2,3,4,...} af ikke-negative heltal har en kardinalitet
som man kalder alef0. Mængden Q af rationale tal har samme kardinalitet.

Mængden R af reelle tal har derimod den større kardinalitet 2^alef0.

Mængden af reelle funktioner defineret på R har kardinaliteten

(2^alef0)^(2^alef0)

hvilket vist må være det samme som 2^(2^alef0).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Mængden N={0,1,2,3,4,...} af ikke-negative heltal har en kardinalitet
> som man kalder alef0. Mængden Q af rationale tal har samme kardinalitet.

Men plejer vist at stave det aleph_0.

> Mængden R af reelle tal har derimod den større kardinalitet 2^alef0.
>
> Mængden af reelle funktioner defineret på R har kardinaliteten
>
> (2^alef0)^(2^alef0)
>
> hvilket vist må være det samme som 2^(2^alef0).

Det er fuldstændig rigtigt.

Citatet i min signatur handler så om at aleph_0 er et uendelig stor tal,
men sammenlignet med andre transfinitte kardinaltal er det ganske lille.

..Henrik

--
Portland cement, see Concrete (in another book).
    -- fra indexet i "Concrete Mathematics"

---

Uffe Holst wrote:
> Hvordan løser jeg en sådan gåde:
[snip]
> Spørgsmålet lyder: Hvor gammel er præsten: 1) 64 år, 2) 51 år, 3) 20 år
> eller 4) 42 år.
[snip]
> Hvordan løser jeg en sådan gåde uden et langvarigt papirarbejde? Jeg ved
> jo:
> X * Y * Z = 2450
> X + Y + Z = P
> max(X,Y,Z) < B

Ved godt at det ikke er det du er ude efter, men _så_ langt bliver
papirarbejdet heller ikke:

Faktorisering: 2*5*5*7*7 = 2450

Giver:

2 5*5 7*7 = 76
2 5*7 5*7 = 72
2 5*5*7 7 = for mange
2 5 5*7*7 = for mange

2*5 5*7 7 = 52
2*5 5 7*7 = 64 We've got a winner!

2*7 5*7 5 = 54
2*7 5*5 7 = 46

2*5*5 7 7 = 34
2*5*7 5 7 = 82
2*7*7 5 5 = for mange

Med venlig hilsen Preben

---

Scripsit Preben Bohn <nospam@nospam.com>

> 2*5*5 7 7 = 34

Du skal vist have smurt lommeregneren...

--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."

---

Henning Makholm wrote:
>>2*5*5 7 7 = 34
> Du skal vist have smurt lommeregneren...

I dette tilfælde min hjerne, men det gør jo ikke sagen bedre...

Men det ændrer jo heller ikke resultatet, præsten er stadig 64...

Med venlig hilsen Preben

---

In an article of 7 May 2003 Preben Bohn wrote:

> 2*5*5 7 7 = 34

Ja, ved lidt tilfældigt talvalg kom jeg også frem til denne.

Men tak for alle svarene. Interessant at se, hvordan andre med en lidt
bedre matematisk viden end jeg griber sagen an. Min løsning var rent
valg af tilfældige tal, der opfyldte de to første krav. Jeg havde end
ikke skænket det en tanke at finde primtalsfaktorer, hvilket vist viser,
hvor langt tilbage min matematiske viden vist efterhånden er.

--
Uffe Holst