/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Kædebrøker og målteori
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 08-03-03 20:45

[Dette skulle egentlig, have været i den tilhørende tråd,
men mit nyhedsprogram er nu gået ned tre gange, så er indlægget
i en ny tråd.]


Jeppe Stig Nielsen wrote:

>>> Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med
>>> X~U(0,1), og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så
>>> identisk fordelte? Stokastisk uafhængige?
>
> Det ser rigtigt ud at A_n findes ud fra X ved den formel du anfører.
> Hvis man starter med X uniformt fordelt på [0;1[, forstår jeg dig
> sådan at de stokastiske variable A_n ikke bliver stokastisk
> uafhængige? Er der måske endda en sådan korrelation mellem en
> partialkvotient A_n og dens efterfølger A_{n+1} at hvis den ene er
> stor, så er den anden med større sandsynlighed lille (negativ
> korrelationskoefficient)?
>
> Hvis alle A_n har samme fordeling, kan vi alligevel bruge at
>
> (1/n)·(log A_1 + log A_2 + ... + log A_n) --> log K for n --> oo
>
> til at slutte at middelværdien E[log A_n] = log K for alle n.
>
> At den aritmetiske middelværdi er uendelig
>
> (1/n)·(A_1 + A_2 + ... + A_n) --> oo for n --> oo
>
> næsten sikkert, betyder vel så at forventningsværdien E[A_n] = oo .
>
> Et rimeligt (som det ser ud for mig) bud på fordelingen af A_n er
>
> P(A_n = k) = 1/k - 1/(k+1)
>
> = 1/(k·(k+1))


Det er et fint bud. For n=1 passer det perfekt:

Hvis vi skriver kædebrøksfremstillingen for x i [0,1[ som
[a1, a2, ...] altså x=1/(a1 + 1/(a2+...))

Hvis vi nu kigger på a1 så har vi

1/x = a1 + 1/(a1+...)

Det betyder, at

a1 = [1/x], ( [_] er i dagens anledning gulvfunktionen )

altså a1 er det største heltal, som ikke er større end 1/x.



a1=1 for 1<=1/x<2 dvs 1/2 <= x <= 1
a1=2 for 2<=1/x<3 dvs 1/3 <= x <= 1/2
a1=3 for 3<=1/x<4 dvs 1/4 <= x <= 1/3

generelt altså

a1=k for 1/(k+1) <= x <= 1/k

Så her passer det at

P( A_1 = k ) = 1/k - 1/(k+1)

For større n bliver det lidt mere besværligt, men Khinchin viser i
"Continued Fractions" at målet af de tal, som har et fast a_n ligger
mellem 1/(3s^2) og 2/s^2; så størrelsesordenen er 1/s^2.
Han har også mere præcise resultater, men jeg tror dit gæt er "for pænt".

Beviset er såmænd ikke så svært (Khinchin skriver uhyggelig godt), men
fylder sine fem-seks sider, så jeg har ikke lyst til at kaste mig ud i
at skrive dem ind.

Bogen er på 95 sider og de sidste 40 sider drejer sig om
målteoretiske aspekter af kædebrøker. Bogen er velskrevet og er bestemt
pengene værd:

<http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/0486696308/qid=1047150556/sr=1-2/ref=sr_1_0_2/026-2558793-1704453>

Inden jeg købte bogen havde jeg en stak fotokopier, hvis du er
interesseret kan jeg sende dem (hvis jeg da ikke har smidt dem væk).

> Dette er i hvert fald en lovlig fordeling (summen af sandsynlighederne
> er teleskoperende og bliver 1/1). Den giver at E[A_n]=oo fordi den
> harmoniske række divergerer.

Det må være rigtigt. I samme boldgade haves:

Sætning 29
Mængden af alle tal i intervallet (0,1) med begrænsede
elementer er nul.

( Altså mål({x | der findes N, så a_n <= N for alle n } = 0 )

Resultatet er interessant, for kædebrækerne med begrænsede elementer
er netop de tal (herunder alle rødder i andengradsligninger), som ikke
tillader bedre tilnærmelse med brøker end

| x - p/q | < C/q^2 (som ikke kan strammes)

Næsten alle tal giver giver derfor mulighed for bedre tilnærmelse.

> Hvis dette vilde gæt er rigtigt, er
>
> E[log An] = sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) )
>
> men så let går det nok ikke ...

Hm. Hjælper denne?

Sætning 31
Der findes en positiv konstant B, så der for næsten alle x gælder
for tilstrækkelig store n,

q_n(x) < exp(Bn)

Her er q_n(x) nævneren for den n'te konvergent af x.

> Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte?

Det tror jeg ikke, de er.

> Er der noget med at fordelingen af A_n afhænger af om n er lige
> eller ulige?

Jeg mener, det er endnu mere kompliceret.

--
Jens Axel Søgaard





 
 
Jeppe Stig Nielsen (08-03-2003)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 08-03-03 22:01

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Hvis vi nu kigger på a1 så har vi
>
> 1/x = a1 + 1/(a1+...)
>
> Det betyder, at
>
> a1 = [1/x], ( [_] er i dagens anledning gulvfunktionen )
>
> altså a1 er det største heltal, som ikke er større end 1/x.
>
> Så
>
> a1=1 for 1<=1/x<2 dvs 1/2 <= x <= 1
> a1=2 for 2<=1/x<3 dvs 1/3 <= x <= 1/2
> a1=3 for 3<=1/x<4 dvs 1/4 <= x <= 1/3
>
> generelt altså
>
> a1=k for 1/(k+1) <= x <= 1/k
>
> Så her passer det at
>
> P( A_1 = k ) = 1/k - 1/(k+1)

Ja, jeg tror det var samme argument jeg havde gennemført (bare mindre
eksplicit og mindre omhyggeligt). Og i mit håb om at alle A_n havde
samme fordeling, var jeg så bare gået ud fra dette.

>[...]
> > Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte?
>
> Det tror jeg ikke, de er.
>
> > Er der noget med at fordelingen af A_n afhænger af om n er lige
> > eller ulige?
>
> Jeg mener, det er endnu mere kompliceret.

Sikkert. Det viser at repræsentation af reelle tal som kædebrøker på
en måde er mere »underlig« en den decimale (eller n'ære) repræsentation.

Måske skulle man købe den bog du snakker om. Den er også nævnt på
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Khinchin.html

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Simon Kristensen (09-03-2003)
Kommentar
Fra : Simon Kristensen


Dato : 09-03-03 12:02

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> "Jens Axel Søgaard" wrote:
> >
> > Jeg mener, det er endnu mere kompliceret.
>
> Sikkert. Det viser at repræsentation af reelle tal som kædebrøker på
> en måde er mere »underlig« en den decimale (eller n'ære) repræsentation.
>
> Måske skulle man købe den bog du snakker om. Den er også nævnt på
> http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Khinchin.html

Den er i hvert fald værd at have. Jeg mener selv, at den eneste store
mangel ved denne bog er, at den ikke anvender ergodeteori, som ville
gøre beviserne nogel mere elegante i sidste kapitel (om målteori). Men
Khintchine er tilgivet - bogen er stadig fantastisk.

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

Jens Axel Søgaard (09-03-2003)
Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 09-03-03 12:18

Simon Kristensen wrote:
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
>> "Jens Axel Søgaard" wrote:
....
>> Måske skulle man købe den bog du snakker om. Den er også nævnt på
>> http://www-history.mcs.st-
>> andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Khinchin.html
>
> Den er i hvert fald værd at have. Jeg mener selv, at den eneste store
> mangel ved denne bog er, at den ikke anvender ergodeteori, som ville
> gøre beviserne nogel mere elegante i sidste kapitel (om målteori). Men
> Khintchine er tilgivet - bogen er stadig fantastisk.

Khinchin skriver i forordet, at bogen er tænkt som en elementær og
tilgængelig introduktion til emnet. Måske er det derfor han ikke
benytter ergodeteori?

Han skriver rigtig godt. Han gør en dyd ud at få rækkefølgen til at
virke naturlig. Bogen "Three Pearls of Number Theory", som er også god
- dog ikke så god som kædebrøksbogen.

<http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486400263/cm_aya_asin.title/103-5787855-8548633?v=glance&s=books>

NB: Man skal ikke lade sig snyde af, at Amazon kalder kombinationen "Great Buy",
der er ingen rabat.

--
Jens Axel Søgaard



Simon Kristensen (09-03-2003)
Kommentar
Fra : Simon Kristensen


Dato : 09-03-03 12:32

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> > Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> >> "Jens Axel Søgaard" wrote:
> ...
> >> Måske skulle man købe den bog du snakker om. Den er også nævnt på
> >> http://www-history.mcs.st-
> >> andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Khinchin.html
> >
> > Den er i hvert fald værd at have. Jeg mener selv, at den eneste store
> > mangel ved denne bog er, at den ikke anvender ergodeteori, som ville
> > gøre beviserne nogel mere elegante i sidste kapitel (om målteori). Men
> > Khintchine er tilgivet - bogen er stadig fantastisk.
>
> Khinchin skriver i forordet, at bogen er tænkt som en elementær og
> tilgængelig introduktion til emnet. Måske er det derfor han ikke
> benytter ergodeteori?

Nej, jeg tror faktisk ikke at de ergodiske beviser var kendte da han
skrev første udgave. Jeg har lige checket - den udkom i 1935, og jeg
mener at de ergodiske beviser belv fundet af Ryll-Nardzewski i
1950. Jeg får nemmere og nemmere ved at tilgive ham.

> Han skriver rigtig godt. Han gør en dyd ud at få rækkefølgen til at
> virke naturlig. Bogen "Three Pearls of Number Theory", som er også god
> - dog ikke så god som kædebrøksbogen.
>
> <http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486400263/cm_aya_asin.title/103-5787855-8548633?v=glance&s=books>
>
> NB: Man skal ikke lade sig snyde af, at Amazon kalder kombinationen "Great Buy",
> der er ingen rabat.

Man skal heller ikke regne med, at de kan skaffe det de påstår. Jeg
venter stadig på mit eksemplar af Hardy & Wright: "Introduction to the
theory of numbers".

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

Jens Axel Søgaard (09-03-2003)
Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 09-03-03 13:32

Simon Kristensen wrote:
> Man skal heller ikke regne med, at de kan skaffe det de påstår. Jeg
> venter stadig på mit eksemplar af Hardy & Wright: "Introduction to the
> theory of numbers".

Jeg har tilsvarende et par gange måttet vente de 4-6 uger, for at få
beskeden "bogen er udgået", hvorefter de sender resten (som de har haft
hele tiden).

Men mon ikke du er heldig? Mit eksemplar Hardy og Wrights klassiker er
købt hos Amazon.

--
Jens Axel Søgaard



Jeppe Stig Nielsen (14-03-2003)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 14-03-03 16:44

Simon Kristensen wrote:
>
> Man skal heller ikke regne med, at de kan skaffe det de påstår. Jeg
> venter stadig på mit eksemplar af Hardy & Wright: "Introduction to the
> theory of numbers".

Til gengæld fik jeg Khintjins bog med posten i går torsdag efter at
have bestilt den (på amazon.co.uk) natten efter i lørdags. Det er da
en kort leveringstid (cirka fire døgn).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Jeppe Stig Nielsen (08-03-2003)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 08-03-03 22:35

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Sætning 29
> Mængden af alle tal i intervallet (0,1) med begrænsede
> elementer er nul.

Weisstein (på det link jeg gav tidligere,
http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html ) skriver også om
det (nederst). Der gælder ikke alene at følgen af partialkvotienter er
ubegrænset: Den aritmetiske middelværdi af dem er også uendelig (som
Simon også nævner). Mere præcist divergerer den aritmetiske middelværdi
af de n første partialkvotienter mod uendelig når n vokser uden grænse
(for næsten alle tal x).

Hvis man derimod fikserer en eksponent s med 0<s<1, og tager aritmetisk
middelværdi af s'te-potens af partialkvotineterne, så får man noget der
konvergerer mod en fast værdi K(s)^s, og denne værdi K(s) er uafhængig
af x (for næsten alle x). Se Weisstein, formel (17).

Eksempelvis vil (1/n)·(sqrt{a_1}+sqrt{a_2}+...+sqrt{a_n}) konvergere
mod en »naturkonstant« der er uafhængig af x.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Simon Kristensen (09-03-2003)
Kommentar
Fra : Simon Kristensen


Dato : 09-03-03 12:13

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Det må være rigtigt. I samme boldgade haves:
>
> Sætning 29
> Mængden af alle tal i intervallet (0,1) med begrænsede
> elementer er nul.
>
> ( Altså mål({x | der findes N, så a_n <= N for alle n } = 0 )
>
> Resultatet er interessant, for kædebrækerne med begrænsede elementer
> er netop de tal (herunder alle rødder i andengradsligninger), som ikke
> tillader bedre tilnærmelse med brøker end
>
> | x - p/q | < C/q^2 (som ikke kan strammes)
>
> Næsten alle tal giver giver derfor mulighed for bedre tilnærmelse.

Man kan forøvrigt vise direkte fra kædebrøker af C=5^{-1/2} er den
bedst mulige konstant. Her er en reference:

H. G. Forder, Math. Gaz. {\bf 47} (1963), 237--238

Beviset er ved modstrid og kan gennemføres på 6 linier, så det skulle
kunne rekonstrueres på et par minutter, hvis man ikke har bedre at
tage sig til på en søndag (og det har jeg desværre

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

Jeppe Stig Nielsen (15-03-2003)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 15-03-03 13:21

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> > Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte?
>
> Det tror jeg ikke, de er.
>
> > Er der noget med at fordelingen af A_n afhænger af om n er lige
> > eller ulige?
>
> Jeg mener, det er endnu mere kompliceret.

Ja, I har ret. Jeg havde i tankerne de intervaller som man får når man
betragter mængden af tal hvor de første n-1 elementer (partialkvotien-
ter) har fikserede værdier, mens den n'te varieres i {1,2,3,...}. Det
giver som forklaret i Khintjins bog (afsnit 12) en følge af intervaller
i forlængelse af hinanden akkumulerende mod venstre eller højre alt
efter om n er lige eller ulige. Se figur 1 og figur 2 i bogen for til-
fældene n=1 og n=2. Nu kunne man tro at disse figurer (og de tilsvarende
figurer for større n) var »ligedannede« i den forstand at den ene frem-
kom fra den anden ved at skalere førsteaksen med en (muligvis negativ)
konstant. Men dette er ikke tilfældet.

Når disse histogramlignende figurer er essentielt forskellige, så er
det også klart at de forskellige A_n opfattet som stokastiske variable
har forskellige tæthedsfunktioner.

Desuden tror jeg nu at fordelingen af A_n bliver stokastisk afhængig
af *alle* de tidligere variable A_1, A_2, ..., A_{n-1}.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Jeppe Stig Nielsen (15-03-2003)
Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 15-03-03 13:45

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> > Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte?
>
> Det tror jeg ikke, de er.

Nej. Men for store n, nærmer fordelingen sig hvad der beskrives af
denne tæthed:

Prob( A_n = k ) = log{1+1/(k·(k+2))}/(log 2)

se bogens formel (81) og efterfølgende formel.

Det er af denne grund at produkt-fremstillingen af Khintjins konstant
får et lignende udseende.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408849
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste