---

Betragt først uafhængige stokastiske variable C1, C2, C3, ... som alle
er diskret uniformt fordelte på {0,1,2,...,9}. Så er det velkendt at
den stokastiske variabel X der laves ved at lade C'erne være decimaler
i X, altså

X = sum(i=1 til oo, Ci·10^{-i})

bliver absolut kontinuert og uniformt fordelt på [0;1].

Men hvad nu hvis vi vil gå ud fra den simple kædebrøksudvikling i
stedet for decimalbrøksudviklingen? Kan vi vælge heltallige, positive
stokastiske variable A1, A2, A3, ... som skal være uafhængige og
identisk fordelte, således at når man bruger dem som partialkvotienter
i en simpel kædebrøk

X = 1/(A1+1/(A2+1/(A3+...)))

så bliver X igen uniformt fordelt på [0;1]?

Hvis man kender Khintjins konstant K
http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html
er det klart at hvis sådanne A'er kan findes, må deres fælles fordeling
være sådan at (med sandsynlighed 1)

(A1·A2·...·An)^(1/n) ---> K = 2,685452... for n ---> oo

Dette betyder vel (ikke(?)) at middelværdien:

E[Ai] = K for alle i

Eller hvis vi tager logaritmen af grænseovergangen herover, er det
måske nok snarere

E[log(Ai)] = log(K) for alle i

Dette siger dog kun en lille smule om den fordeling for A'erne som jeg
spørger om.

Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med X~U(0,1),
og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så identisk fordelte?
Stokastisk uafhængige?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Betragt først uafhængige stokastiske variable C1, C2, C3, ... som alle
> er diskret uniformt fordelte på {0,1,2,...,9}. Så er det velkendt at
> den stokastiske variabel X der laves ved at lade C'erne være decimaler
> i X, altså
>
> X = sum(i=1 til oo, Ci·10^{-i})
>
> bliver absolut kontinuert og uniformt fordelt på [0;1].
>
> Men hvad nu hvis vi vil gå ud fra den simple kædebrøksudvikling i
> stedet for decimalbrøksudviklingen? Kan vi vælge heltallige, positive
> stokastiske variable A1, A2, A3, ... som skal være uafhængige og
> identisk fordelte, således at når man bruger dem som partialkvotienter
> i en simpel kædebrøk
>
> X = 1/(A1+1/(A2+1/(A3+...)))
>
> så bliver X igen uniformt fordelt på [0;1]?

Nej. I dit første eksempel er der tale om "ærlige" uafhængige og
uniformt fordelte stokastiske variable. Starter du med et tilfældigt x
kommer decimalerne frem som udfald af sådanne. I tilfældet kædebrøker
er der ikke længere uafhængighed.

Lad [x] betegne mindste heltal mindre end x og {x} = x - [x]. Givet et
x i [0,1) definere vi Gauss afbildningen:

/ {1/x} for x =/= 0
T(x) = {
\ 0 for x = 0

Nu kan vi danne partialkvotienterne for x ved A_n(x) =
[1/T^{n-1}(x)]. Med andre ord er enhver partiel kvotient afhængig af
den umiddelbart foregående.

> Hvis man kender Khintjins konstant K
> http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html
> er det klart at hvis sådanne A'er kan findes, må deres fælles fordeling
> være sådan at (med sandsynlighed 1)
>
> (A1·A2·...·An)^(1/n) ---> K = 2,685452... for n ---> oo
>
> Dette betyder vel (ikke(?)) at middelværdien:
>
> E[Ai] = K for alle i
>
> Eller hvis vi tager logaritmen af grænseovergangen herover, er det
> måske nok snarere
>
> E[log(Ai)] = log(K) for alle i
>
> Dette siger dog kun en lille smule om den fordeling for A'erne som jeg
> spørger om.
>
> Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med X~U(0,1),
> og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så identisk fordelte?
> Stokastisk uafhængige?

Det, du virkelig har bohov for er, at med hensyn til et passende mål
er systemet ([0,1), B, m, T) et ergodisk, målbevarende system. Ud fra
dette kan man udlede din formel ovenfor (Khintchine havde et andet
bevis) samt at den aritmetiske middelværdi må være uendelig med
sandsynlighed 1. Der er tillige en lang række andre interessante
konsekvenser af denne sætning.

Du er faktisk i den heldige situation, at jeg i skrivende stund
forelæser over ergodeteori og følgebrøker. Jeg er derfor næsten færdig
med at skrive et lille notesæt, der indeholder lidt introduktion til
ergodeteori, samt en masse anvendelser på Gauss afbildningen. Noterne
bliver tilgængelige på min hjemmeside
http://
fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en midlertidig
kopi. Lad mig vide om du er interesseret. Noterne er skrevet med
særligt henblik på studerende i York, der ikke kender meget til
sandsynlighedsteori, og som er væsentligt mere interesserede i taltori
end i analyse. Derfor kan der være steder, hvor jeg springer over hvor
gærdet er lavest.

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> > X = 1/(A1+1/(A2+1/(A3+...)))
>
> [...] I tilfældet kædebrøker
> er der ikke længere uafhængighed.
>
> Lad [x] betegne mindste heltal mindre end x og {x} = x - [x]. Givet et
> x i [0,1) definere vi Gauss afbildningen:
>
> / {1/x} for x =/= 0
> T(x) = {
> \ 0 for x = 0
>
> Nu kan vi danne partialkvotienterne for x ved A_n(x) =
> [1/T^{n-1}(x)]. Med andre ord er enhver partiel kvotient afhængig af
> den umiddelbart foregående.
>
> > Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med X~U(0,1),
> > og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så identisk fordelte?
> > Stokastisk uafhængige?

Det ser rigtigt ud at A_n findes ud fra X ved den formel du anfører.
Hvis man starter med X uniformt fordelt på [0;1[, forstår jeg dig sådan
at de stokastiske variable A_n ikke bliver stokastisk uafhængige? Er
der måske endda en sådan korrelation mellem en partialkvotient A_n og
dens efterfølger A_{n+1} at hvis den ene er stor, så er den anden med
større sandsynlighed lille (negativ korrelationskoefficient)?

Hvis alle A_n har samme fordeling, kan vi alligevel bruge at

(1/n)·(log A_1 + log A_2 + ... + log A_n) --> log K for n --> oo

til at slutte at middelværdien E[log A_n] = log K for alle n.

At den aritmetiske middelværdi er uendelig

(1/n)·(A_1 + A_2 + ... + A_n) --> oo for n --> oo

næsten sikkert, betyder vel så at forventningsværdien E[A_n] = oo .

Et rimeligt (som det ser ud for mig) bud på fordelingen af A_n er

P(A_n = k) = 1/k - 1/(k+1)

= 1/(k·(k+1))

Dette er i hvert fald en lovlig fordeling (summen af sandsynlighederne
er teleskoperende og bliver 1/1). Den giver at E[A_n]=oo fordi den
harmoniske række divergerer. Hvis dette vilde gæt er rigtigt, er

E[log An] = sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) )

men så let går det nok ikke ...

Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte? Er der noget
med at fordelingen af A_n afhænger af om n er lige eller ulige?

>
> ergodeteori, samt en masse anvendelser på Gauss afbildningen. Noterne
> bliver tilgængelige på min hjemmeside
> http://
> fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en midlertidig
> kopi. Lad mig vide om du er interesseret.

Nej, det haster ikke.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >
> > > Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med X~U(0,1),
> > > og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så identisk fordelte?
> > > Stokastisk uafhængige?
>
> Det ser rigtigt ud at A_n findes ud fra X ved den formel du anfører.
> Hvis man starter med X uniformt fordelt på [0;1[, forstår jeg dig sådan
> at de stokastiske variable A_n ikke bliver stokastisk uafhængige? Er
> der måske endda en sådan korrelation mellem en partialkvotient A_n og
> dens efterfølger A_{n+1} at hvis den ene er stor, så er den anden med
> større sandsynlighed lille (negativ korrelationskoefficient)?
>
> Hvis alle A_n har samme fordeling, kan vi alligevel bruge at
>
> (1/n)·(log A_1 + log A_2 + ... + log A_n) --> log K for n --> oo
>
> til at slutte at middelværdien E[log A_n] = log K for alle n.
>
> At den aritmetiske middelværdi er uendelig
>
> (1/n)·(A_1 + A_2 + ... + A_n) --> oo for n --> oo
>
> næsten sikkert, betyder vel så at forventningsværdien E[A_n] = oo .

Ganske kort og helt uden formalisme, da min hjerne er gået i stå for
idag Det er i hvert fald korrekt at næsten alle tal har vilkårligt
store partialkvotienter. Du kan imidlertid ikke slutte at
forventningsværdien af A_n er oo. Det ville jo betyde at næsten alle
tal var rationelle, hvilket oplagt er forkert.

> Et rimeligt (som det ser ud for mig) bud på fordelingen af A_n er
>
> P(A_n = k) = 1/k - 1/(k+1)
>
> = 1/(k·(k+1))
>
> Dette er i hvert fald en lovlig fordeling (summen af sandsynlighederne
> er teleskoperende og bliver 1/1). Den giver at E[A_n]=oo fordi den
> harmoniske række divergerer. Hvis dette vilde gæt er rigtigt, er
>
> E[log An] = sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) )
>
> men så let går det nok ikke ...

Nej. Det ser ikke helt rigtigt ud. Du får sikkert brug for Gauss-målet.

> Måske er de forskellige A_n slet ikke identisk fordelte? Er der noget
> med at fordelingen af A_n afhænger af om n er lige eller ulige?

Ja - du har i den grad brug for Gauss-målet. Det dynamiske system,
jeg introducerede, er ikke målbevarende. Dermed er A_n'erne ikke
identisk fordelte. Imidlertid er der et mål, der gør systemet
målbevarende. Som en lille opgave kan du jo forsøge at finde det

> > ergodeteori, samt en masse anvendelser på Gauss afbildningen. Noterne
> > bliver tilgængelige på min hjemmeside
> > http://
> > fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en midlertidig
> > kopi. Lad mig vide om du er interesseret.
>
> Nej, det haster ikke.

OK - Jeg gør noterne færdige i god ro og orden.

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> > At den aritmetiske middelværdi er uendelig
> >
> > (1/n)·(A_1 + A_2 + ... + A_n) --> oo for n --> oo
> >
> > næsten sikkert, betyder vel så at forventningsværdien E[A_n] = oo .
>
> Ganske kort og helt uden formalisme, da min hjerne er gået i stå for
> idag Det er i hvert fald korrekt at næsten alle tal har vilkårligt
> store partialkvotienter. Du kan imidlertid ikke slutte at
> forventningsværdien af A_n er oo. Det ville jo betyde at næsten alle
> tal var rationelle, hvilket oplagt er forkert.

Nej, dét ville det altså ikke betyde. At en stokastisk variabel
A opfylder at E[A] er uendelig, betyder jo ikke at den nogensinde
selv antager værdien oo.

>
> > Et rimeligt (som det ser ud for mig) bud på fordelingen af A_n er
> >
> > P(A_n = k) = 1/k - 1/(k+1)
> >
> > = 1/(k·(k+1))
> >
> > Dette er i hvert fald en lovlig fordeling (summen af sandsynlighederne
> > er teleskoperende og bliver 1/1). Den giver at E[A_n]=oo fordi den
> > harmoniske række divergerer.

*Hvis* man startede med en følge af uafhængige A_n som var fordelt
som ovenfor, kunne man lave en X = 1/(A1+1/(A2+1/(A3+...))) .
Denne X ville med sikkerhed blive irrational da kædebrøken jo ikke
stopper.

Som Jens Axel gør opmærksom på, er det dog for naivt at håbe på at
et X lavet på denne måde skulle blive uniformt fordelt på [0;1[.

> >
> > E[log An] = sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) )
> >
> > men så let går det nok ikke ...
>
> Nej. Det ser ikke helt rigtigt ud.

Den sum jeg anfører sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) ) ser heller
ikke ud til at have værdien log(K)=log(2,6854...)=0,98784...

Eller hvad? Er der ikke nogen der har noget matematiksoftware der kan
bestemme værdien af denne sum (numerisk eller eksakt)?

>[klip!]
> > Nej, det haster ikke.
>
> OK - Jeg gør noterne færdige i god ro og orden.

Jeg skal egentlig slet ikke »bruge« svaret ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Den sum jeg anfører sum( k=1 til oo, (log k)/(k·(k+1)) ) ser heller
> ikke ud til at have værdien log(K)=log(2,6854...)=0,98784...
>
> Eller hvad? Er der ikke nogen der har noget matematiksoftware der kan
> bestemme værdien af denne sum (numerisk eller eksakt)?

Jeg har prøvet at se hvad Maple siger. Da jeg prøvede eksakt fik jeg
ikke noget fornuftigt svar. Numerisk ser den ud til at konvergere
temmelig langsomt, men summen af de første 200000 led er 0,7884643944,
umiddelbart vil jeg kun stole på de første 3 (måske 4) decimaler, men
det er også nok til at afvise at summen er 0,987...

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >
> > > At den aritmetiske middelværdi er uendelig
> > >
> > > (1/n)·(A_1 + A_2 + ... + A_n) --> oo for n --> oo
> > >
> > > næsten sikkert, betyder vel så at forventningsværdien E[A_n] = oo .
> >
> > Ganske kort og helt uden formalisme, da min hjerne er gået i stå for
> > idag Det er i hvert fald korrekt at næsten alle tal har vilkårligt
> > store partialkvotienter. Du kan imidlertid ikke slutte at
> > forventningsværdien af A_n er oo. Det ville jo betyde at næsten alle
> > tal var rationelle, hvilket oplagt er forkert.
>
> Nej, dét ville det altså ikke betyde. At en stokastisk variabel
> A opfylder at E[A] er uendelig, betyder jo ikke at den nogensinde
> selv antager værdien oo.

Du har helt ret - jeg sagde jo at hjernen var gået i stå. Måske er du
forresten interesseret i, at for næsten ethvert x er grænsefrekvensen
af k'er i kædebrøkudviklingen

1/log2 log((k+1)^2/(k(k+2)))

Det er da en sjov sætning, der forøvrigt medfører den sætning, Jens
Aksel refererede (Næsten ingen tal har begrænsede partialkvotienter).

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>>> Noterne bliver tilgængelige på min hjemmeside
>>> http://
>>> fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en
>>> midlertidig kopi. Lad mig vide om du er interesseret.

Jeg kan ikke finde dem på

http://www-users.york.ac.uk/~sk17/teaching.html

Er jeg det forkerte sted, eller er jeg bare håbløst utålmodig?

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >>> Noterne bliver tilgængelige på min hjemmeside
> >>> http://
> >>> fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en
> >>> midlertidig kopi. Lad mig vide om du er interesseret.
>
> Jeg kan ikke finde dem på
>
> http://www-users.york.ac.uk/~sk17/teaching.html
>
> Er jeg det forkerte sted, eller er jeg bare håbløst utålmodig?

Håbløst utålmodig

Jeg sandt et par graverende tyrkfejl efter en hurtig korretkurnæsling,
men nåede ikke at rette dem til inden jeg skulle hjem til familien
igår. De kommer on-line senere idag.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:

> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
> > Simon Kristensen wrote:
> > >>> Noterne bliver tilgængelige på min hjemmeside
> > >>> http://
> > >>> fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en
> > >>> midlertidig kopi. Lad mig vide om du er interesseret.
> >
> > Jeg kan ikke finde dem på
> >
> > http://www-users.york.ac.uk/~sk17/teaching.html
> >
> > Er jeg det forkerte sted, eller er jeg bare håbløst utålmodig?
>
> Håbløst utålmodig

Så skulle de være der.

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
> Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:
>> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

>>> http://www-users.york.ac.uk/~sk17/teaching.html
>>>
>>> Er jeg det forkerte sted, eller er jeg bare håbløst utålmodig?
>>
>> Håbløst utålmodig
>
> Så skulle de være der.

Super. Jeg giver straks til at brygge kaffe og printe.

--
Jens Axel