---

Hej.

Jeg kunne godt tænke mig at vide hvordan man bestemmer om en funktion af
flere variable er konveks.

Jeg har hørt at man skal se på en Hessian matrice og bestemme om den er
positivt semi definit eller sådan noget, men jeg har ingen anelse om hvad
det betyder ?

Er der nogle som har et godt link til hvor det er forklaret ?

/Jean

---

Jean Christophe B. Thomsen wrote:

> Jeg kunne godt tænke mig at vide hvordan man bestemmer om en funktion
> af flere variable er konveks.
>
> Jeg har hørt at man skal se på en Hessian matrice

Jeg mener, man normalt bruger vendingen "en Hessian".

<pedant til>
Når du kender ordet "Hessian" bør også vide, at det hedder en
matrix og ikke en matrice (matrice betyder støbeform).
<pendant fra>

> og bestemme om den er positivt semi definit eller sådan
> noget, men jeg har ingen anelse om hvad det betyder ?

På

http://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html

kan man finde definitionen for en enkelt variabel. Dernæst nævnes
at en funktion f : R -> R med en andenafledet er konveks på et interval såfremt
f''(x)>0 for alle x i intervallet.

Hvis jeg husker ret, så er kravet i flere dimensioner, at en funktion er konveks i
en åben omegn, såfremt du til hvert par af punkter i omegnen får en konveks
funktion, når du restringerer definitionsmængden til linjen mellem punkterne.

En Hessian er generalisationen af f'' til funktioner af flere variable og positiv
semidefinit er >0 udtrykt i matrixsprog.

Om positiv-semidefinit står der ikke meget:

http://mathworld.wolfram.com/PositiveSemidefiniteMatrix.html

men det skyldes at hele forklaringen kan findes ved positiv-definit

http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Har man en funktion f :R^2 -> R kan dens Hessian bruges til undersøge,
hvor der er lokale minima, maksima og saddelpunkter.

http://mathworld.wolfram.com/SecondDerivativeTest.html
http://mathworld.wolfram.com/HessianDeterminant.html

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Jeg mener, man normalt bruger vendingen "en Hessian".

En Hesse-matrix. Det var i hvert fald den betegnelse, der blev brugt,
da jeg havde konveksitetsteori.

--
"We attack the Mayor with hummus."

---

Stefan Holm wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> Jeg mener, man normalt bruger vendingen "en Hessian".
>
> En Hesse-matrix. Det var i hvert fald den betegnelse, der blev brugt,
> da jeg havde konveksitetsteori.

O.k.

--
Jens Axel Søgaard

---

Stefan Holm wrote:
>
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
> > Jeg mener, man normalt bruger vendingen "en Hessian".
>
> En Hesse-matrix. Det var i hvert fald den betegnelse, der blev brugt,
> da jeg havde konveksitetsteori.

Hørt. Den er jo opkaldt efter Otto Hesse.

Visse danskere kalder den muligvis for »en hessiant«. I hvert fald har
jeg hørt om folk der kalder Jacobi-matricen for »jacobianten« (den er
opkaldt efter Carl Jacobi og kaldes på engelsk »the Jacobian«).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jean Christophe B. Thomsen" <jean@FJERNDETTEstudi.dk> wrote in message news:<aqqhuc$16f$1@sunsite.dk>...
> Hej.
>
> Jeg kunne godt tænke mig at vide hvordan man bestemmer om en funktion af
> flere variable er konveks.
>
> Jeg har hørt at man skal se på en Hessian matrice og bestemme om den er
> positivt semi definit eller sådan noget, men jeg har ingen anelse om hvad
> det betyder ?
>
> Er der nogle som har et godt link til hvor det er forklaret ?
>
> /Jean

En funktion f: R^n -> R er strengt konveks hvis for hvert par af
punkter på funktionens graf liniestykket mellem de to punkter

a) ikke møder et tredje punkt på grafen

b) ligger over grafen ("over" skal forstås som retningen af
funktionsværdien)

Man checker at en funktion g: R -> R er konveks (i gymnasie-forstand)
ved at eftervise at g''>0 overalt. Samme ide med funktioner i flere
variable. En funktion er konveks hvis fællesmængden mellem den og
enhver lodret plan er en konveks graf for en funktion af en variabel
(tænk på det tredimensionale billede af en funktion i to variable
her). Sådanne lodrette planer kan jo have alle mulige retninger og
forskydes vilkårligt, så for at finde de involverede første og andet
afledede for grafens snit med plan, må man bruge de retningsafledede.

Lad mig bare fortage udregningen i to dimensioner. Funktionen er
f(x,y).

Vælg en plan gennem punktet (x0,y0) med den "vandrette" retning
beskrevet af vektoren (a,b) i xy-planen. Den lodrette plan snitter
xy-planen i en linie, der kan parametriseres som (at+x0,bt+y0).

Den første afledte f'(at+x0,bt+y0)= af_x + bf_y (de patielle afledte
skal selvfølgelig evalueres i (x0,y0)). Anden afledte er

f''(at+x0,bt+y0)= a^2(f_xx)+ba(f_xy)+ab(f_yx)+b^2(f_yy)=
(a b) H(f) (a b)^t.

Så f''>0 netop når H(f) er positivt definit. (Udregningen gælder for
enhver vektor (a,b) og ethvert punkt (x0,y0)).

Søg google for ("hessian matrix" "convex function") og du skulle finde
adskillige links med eksempler .

Mvh Karin