---

Jeg ved ikke helt om dette er det rette forum, men jeg har ikke kunne finde
andre steder

Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
vil forbindelseslinierne halverer hinanden.

Det har ikke været muligt for mig at finde det bevis, så nu håber jeg at der
er nogle kloge hoveder der kan hjælpe.

Med venlige og optimistiske hilsner

Tine

---

"Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> writes:

> Jeg ved ikke helt om dette er det rette forum, men jeg har ikke kunne finde
> andre steder

Det er det rigtige sted.

> Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
> forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
> vil forbindelseslinierne halverer hinanden.

Det er ikke korrekt med mindre du har et andet begreb om en firkant
end jeg har. Hvis en firkant er defineret som en geometrisk figur med
fire rette liniestykker i halen på hinanden så den resulterende figur
er lukket, så er det ikke korrekt (tegn en firkant med fire
forskellige sidelængder, og du kan se, hvad jeg mener). Formodentlig
mener du et rektangel eller et parallelogram.

> Det har ikke været muligt for mig at finde det bevis, så nu håber jeg at der
> er nogle kloge hoveder der kan hjælpe.

Jeg kan da give et hint: Du kan bevise det ved at kigge på de
trekanter, der opstår når du tegner midtertransversalerne. Du kan
benytte kongruente trekanter og de ting, du i forvejen ved om
trekanter i almindelighed.

> Med venlige og optimistiske hilsner

Hold på optimismen, og du skal nok komme igennem...

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>
> "Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> writes:

> > Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
> > forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
> > vil forbindelseslinierne halverer hinanden.

> Det er ikke korrekt med mindre du har et andet begreb om en firkant
> end jeg har. Hvis en firkant er defineret som en geometrisk figur med
> fire rette liniestykker i halen på hinanden så den resulterende figur
> er lukket, så er det ikke korrekt (tegn en firkant med fire
> forskellige sidelængder, og du kan se, hvad jeg mener). Formodentlig
> mener du et rektangel eller et parallelogram.

Jeg tror du misforstår "midttransversalerne". Det må betyde de linjer
der forbinder modstående siders midtpunkter. Så er påstanden god nok
for en vilkårlig firkant.

Jeg ville vise det i et koordinatsystem ved at regne koordinaterne til
midtpunktet af hver "midttransversal" ud symbolsk og bemærke at de to
udtryk er ens. (Og i det fælles udtryk er der gemt en væsentlig
intuition om hvorfor opgaven virker).

Hvis beviset skal føres på euklidisk maner ville jeg se på den firkant
som "midttransversalerne" er diagonaler i. Hver side i den er (ved
hjælp af passende trekantargumenter) parallel med den tilsvarende
diagonal i den oprindelige firkant.

> Jeg kan da give et hint: Du kan bevise det ved at kigge på de
> trekanter, der opstår når du tegner midtertransversalerne. Du kan
> benytte kongruente trekanter og de ting, du i forvejen ved om
> trekanter i almindelighed.

Det råd virker bedst hvis der havde stået "diagonalerne" i stedet for
"midttransversalerne".

--
Henning Makholm "... a specialist in the breakaway
oxidation phenomena of certain nuclear reactors."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>
> > "Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> writes:
>
> > > Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
> > > forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
> > > vil forbindelseslinierne halverer hinanden.
>
> > Det er ikke korrekt med mindre du har et andet begreb om en firkant
> > end jeg har. Hvis en firkant er defineret som en geometrisk figur med
> > fire rette liniestykker i halen på hinanden så den resulterende figur
> > er lukket, så er det ikke korrekt (tegn en firkant med fire
> > forskellige sidelængder, og du kan se, hvad jeg mener). Formodentlig
> > mener du et rektangel eller et parallelogram.
>
> Jeg tror du misforstår "midttransversalerne". Det må betyde de linjer
> der forbinder modstående siders midtpunkter. Så er påstanden god nok
> for en vilkårlig firkant.

Selvfølgelig har du helt ret - jeg tænkte på diagonaler. Jeg skal vist
lage være med at svare på newgroup postings så sent på dagen...

> Hvis beviset skal føres på euklidisk maner ville jeg se på den firkant
> som "midttransversalerne" er diagonaler i. Hver side i den er (ved
> hjælp af passende trekantargumenter) parallel med den tilsvarende
> diagonal i den oprindelige firkant.

Og her virker mit hint så. Så var det da ikke helt spild af tid

Venligst

Simon - der gå hjem og sover nu...

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Henning Makholm wrote:
>
> Hvis beviset skal føres på euklidisk maner ville jeg se på den firkant
> som "midttransversalerne" er diagonaler i. Hver side i den er (ved
> hjælp af passende trekantargumenter) parallel med den tilsvarende
> diagonal i den oprindelige firkant.

Denne nye firkant er altså udspændt af midtpunkterne på den oprindelige
firkants sider. Den nye firkant er altid et parallelogram (hvilket kan
ses ved at betragte den oprindelige firkants diagonaler, jævnfør opgave
508 i Carstensen og Frandsen »Mat 1 -- Opgaver«). Specielt følger det
ønskede.

Lidt søgning på Weissteins sider giver

http://mathworld.wolfram.com/VarignonParallelogram.html

altså navnet Varignon-parallelogram.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Lidt søgning på Weissteins sider giver
>
> http://mathworld.wolfram.com/VarignonParallelogram.html
>
> altså navnet Varignon-parallelogram.

Tilføjelse: Man ser på Weisstein at det normale ord for et linjestykke
der forbinder modstående siders midtpunkter (i en firkant), er bimedian.

Midtpunktstransversaler optræder i trekanter. De er altid parallelle
med en side i trekanten, og giver tydeligvis anledning til en ny, mindre
trekant der er ensvinklet (ligedannet) med den oprindelige.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Min opgave lyder som følger:

(3) Forbind midtpunkterne mellem de modstående sider. Bevis, at de 2
forbindelseslinier halverer hinanden i en vilkårlig firkant.

Da jeg ikke kan kopiere en tegning af den firkant der følger med opgaven,
prøver jeg her at forklare den:

En firkant består af hjørnerne ABCD. Midt på linierne AB, BC, CD og DA
laves punkterne EFGH.

A E B

H F

C G D

det kunne vist godt se nogenlunde sådan ud. Nu forbinder man EG og HF med en
linie. Og så kommer problemet, at bevise, at disse to linier altid vil (der
hvor de mødes) halvere hinanden, ligegyldig hvordan den oprindelige firkant
ABCD ser ud!

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3D8619F7.59F7204E@jeppesn.dk...
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >
> > Lidt søgning på Weissteins sider giver
> >
> > http://mathworld.wolfram.com/VarignonParallelogram.html
> >
> > altså navnet Varignon-parallelogram.

Opg. 1 og 2 handlede netop om Varignon-parallelogrammer, og dem har jeg
løst.

Dog med den ene indskydelse, at opg. 2 handlede om at man skulle bevise, at
Varignon-parallelogrammet altid udgør ½-delen af den oprindelige firkant.
Dette har jeg ikke kunne konstatere, med mindre den oprindelige firkant er
et kvadrat.


> Tilføjelse: Man ser på Weisstein at det normale ord for et linjestykke
> der forbinder modstående siders midtpunkter (i en firkant), er bimedian.
> Midtpunktstransversaler optræder i trekanter. De er altid parallelle
> med en side i trekanten, og giver tydeligvis anledning til en ny, mindre
> trekant der er ensvinklet (ligedannet) med den oprindelige.
>

OK - måske har jeg misforstået begrebet midtpunktstransversaler, - jeg
troede at man også brugte den betegnelse for punktet i en firkant
(misforståelsen rettet - tak for det)


> --
> Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «
>
> "Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
> hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Tine Nielsen skrev:

>(3) Forbind midtpunkterne mellem de modstående sider. Bevis, at de 2
>forbindelseslinier halverer hinanden i en vilkårlig firkant.

Følg en af Hennings opskrifter. Geometrisk kommer du f.eks. frem
til en regelmæssig figur hvor det er let at vise at dens to
diagonaler halverer hinanden.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

"Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> wrote in message news:<3d86bb8b$0$1006$ba624c82@nntp04.dk.telia.net>...
> Min opgave lyder som følger:
>
> (3) Forbind midtpunkterne mellem de modstående sider. Bevis, at de 2
> forbindelseslinier halverer hinanden i en vilkårlig firkant.
>
> Da jeg ikke kan kopiere en tegning af den firkant der følger med opgaven,
> prøver jeg her at forklare den:
>
> En firkant består af hjørnerne ABCD. Midt på linierne AB, BC, CD og DA
> laves punkterne EFGH.
>
> A E B
>
> H F
>
> C G D
>
> det kunne vist godt se nogenlunde sådan ud. Nu forbinder man EG og HF med en
> linie. Og så kommer problemet, at bevise, at disse to linier altid vil (der
> hvor de mødes) halvere hinanden, ligegyldig hvordan den oprindelige firkant
> ABCD ser ud!
>
Du skal jo blot vise at H+1/2(F-H)=G+1/2(E-G) (hvor jeg følger
notationen på din tegning, du bør nok prøve at forklare hvorfor denne
ligning er rigtig). Her er H= (A+B)/2 osv. Indsæt værdierne for
E,F,G,H og du får garanteret et udtryk, der altid er rigtigt.

I øvrigt ville jeg nummerere fx hjørnerne A,B,C,D i rækkefølge enten
med eller mod uret. Så er det lettere at holde regnskab med hvilke
sider er modstående.

Mvh Karin

---

"karin" <k3emmer@yahoo.dk> skrev i en meddelelse
news:9418506b.0209170408.444ffecf@posting.google.com...
> "Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> wrote in message
news:<3d86bb8b$0$1006$ba624c82@nntp04.dk.telia.net>...
> > Min opgave lyder som følger:
> >
> > (3) Forbind midtpunkterne mellem de modstående sider. Bevis, at de 2
> > forbindelseslinier halverer hinanden i en vilkårlig firkant.
> >
> > Da jeg ikke kan kopiere en tegning af den firkant der følger med
opgaven,
> > prøver jeg her at forklare den:
> >
> > En firkant består af hjørnerne ABCD. Midt på linierne AB, BC, CD og DA
> > laves punkterne EFGH.
> >
> > A E B
> >
> > H F
> >
> > C G
D
> >
> > det kunne vist godt se nogenlunde sådan ud. Nu forbinder man EG og HF
med en
> > linie. Og så kommer problemet, at bevise, at disse to linier altid vil
(der
> > hvor de mødes) halvere hinanden, ligegyldig hvordan den oprindelige
firkant
> > ABCD ser ud!
> >
> Du skal jo blot vise at H+1/2(F-H)=G+1/2(E-G) (hvor jeg følger
> notationen på din tegning, du bør nok prøve at forklare hvorfor denne
> ligning er rigtig). Her er H= (A+B)/2 osv. Indsæt værdierne for
> E,F,G,H og du får garanteret et udtryk, der altid er rigtigt.

Du får det godt nok til at lyde nemt......

Jeg er ikke den helt store haj til det her matematik, - men guderne skal
vide at jeg prøver. Nu har jeg prøvet at gøre som du har foreslået, men er
100% sikker på at jeg altså gør et eller andet forkert. Jeg prøver alligevel
(med forvisning om at jeg bliver til grin i hele gruppen) at forklare hvad
det er jeg har forsøgt:

Du siger jeg skal bevise at H+½(F-H)=G+½(E-G)
Det kan jeg nok godt se det logiske i! Så siger du: H=A+B/2 osv...
Skal det forstås sådan at så er G=A+C/2 og E=A+C/2 og F=A+B/2 ???

Hvis det er rigtigt, så prøver jeg at sætte det ind i vores ligning fra før:

(A+B/2)+½((A+B/2)-(A+B/2))=(A+C/2)+½((A+C/2)-A+C/2))
Det får jeg så til noget der ligner:
B=C ....... forvirringen er total!

Please hjælp mig til at forstå hvad det er jeg har gang i, for jeg har helt
tabt tråden!
(Det er ikke længere fordi jeg skal aflevere opgaven - for det har jeg
allerede gjort, men nu kunne jeg bare godt tænke mig at forstå det her
) )

> I øvrigt ville jeg nummerere fx hjørnerne A,B,C,D i rækkefølge enten
> med eller mod uret. Så er det lettere at holde regnskab med hvilke
> sider er modstående.

- det var faktisk en skrivefejl, jeg ville have lavet den sådan:


A E B

H F

D G C

> Mvh Karin

---

"Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> wrote in message news:<3d8a439a$0$1019$ba624c82@nntp04.dk.telia.net>...
>
> Du siger jeg skal bevise at H+½(F-H)=G+½(E-G)
> Det kan jeg nok godt se det logiske i!

Lad os bruge notationen på din nye tegning. Jeg har tilføjet et punkt
O, som blot er nulpunktet i planen, O=(0,0). Firkantens fire
hjørnepunkter har koordinaterne
A=(a1,a2),B=(b1,b2),C=(c1,c2),D=(d1,d2).
>
>
> A E B
> O
> H F
>
> D G C
>
Jeg håber du er helt tryg ved vektorer, for dem kommer vi ikke uden
om. Som andre har gjort, tillader jeg mig at identificere et punkt med
vektoren fra O til punktet. Fx kan A=(a1,a2) betyde både punktet A og
vektoren OA med begyndelsespunkt i O.

Midtpunktet E på siden AB kan findes ved vektorligningen
E=(A+B)/2=((a1+b1)/2,(a2+b2)/2) . Tilsvarende er F=(B+C)/2, G=(C+D)/2
og H=(D+A)/2 midtpunkterne i de andre 3 sider. Udregn selv
koordinaterne til F,G,H. Midtpunktsmedianerne er så de to liniestykker
EG og HF. Opgaven går så simpelhen ud på at vise at de to liniestykker
har sammenfaldende midterpunkter.

Bemærk nu at vektoren fra O til midtpunktet af HF kan skrives som
H+(F-H)/2 , hvor H opfattes som vektoren fra O til H og (F-H)/2 er
vektoren fra H til midtpunktet af HF. Du skal selvfølgelig notere dig
at (F-H) er vektoren fra H til F, så (F-H)/2 er halvdelen af denne.
Helt tilsvarende er vektoren fra O til midtpunktet af EG naturligvis
E+(G-E)/2.

Så i virkeligheden går opgaven fra denne synsvinkel nu ud på at
eftervise H+(F-H)/2=E+(G-E)/2, en ligning du sikkert "ser" er rigtig
hvis du er vant til at omgås vektorer. Den er nem at eftervise når du
kender koordinaterne til de fire midterpunkter, specielt efter du ser
at den er ækvivalent med (H+F)/2=(E+G)/2.

Du kan også benytte direkte at midtpunktet på EG må være (E+G)/2 , og
midtpunktet på HF er (H+F)/2 . Så når du har koordinaterne til E,F,G,H
kan du bare sætte ind og verificere direkte at (E+G)/2=(H+F)/2 som
andre har foreslået.

Så de to metoder fører til samme ligning. Jeg ved ikke hvor meget du
har brugt vektorer. Måske var det meningen at du skulle løse opgaven
udelukkende vha en midtpunktsformel.

Hvis jeg har forvirret dig beklager jeg meget, men hvis du kan se at
"midtpunkternes midtpunkter" svarer til vektorligningen, har du en
glimrende forståelse af vektorer i planen!

Mvh Karin

---

Tine Nielsen wrote:
>
> Da jeg ikke kan kopiere en tegning af den firkant der følger med opgaven,
> prøver jeg her at forklare den:

Der findes også relevante tegninger på de sider jeg nævnte tidligere:

http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html
http://mathworld.wolfram.com/VarignonParallelogram.html

Eftersom en firkant er et parallelogram hvis og kun hvis dens to
diagonaler halverer hinanden, er det du skal vise ækvivalent med at
vise Varignons sætning (se linksene herover).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Tine Nielsen" <tinenielsen@mail1.stofanet.dk> writes:

> Jeg ved ikke helt om dette er det rette forum, men jeg har ikke kunne finde
> andre steder

Det er det helt rette forum.

> Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
> forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
> vil forbindelseslinierne halverer hinanden.

Jeg kender ikke lige ordet "midttransversaler", så jeg bliver nødt til
at gætte :). Jeg gætter på at en midttransversal er en ret linje der
forbidner midtpunkterne på to modstående sider i firkanten. (Så passer
det der skal vises også :))

> Det har ikke været muligt for mig at finde det bevis, så nu håber
> jeg at der er nogle kloge hoveder der kan hjælpe.

På hvilket niveau skal det vises. Det lyder umiddelbart som gymnasie
eller senere, så jeg tillader mig at regne med vektorer :).

Hvis firkantens hjørnepunkter er A, B, C og D (og vi bruger samme bogstav
for stedvektoren til punktet), så er midpunktet på linjen A-B netop
(A+B)/2 (lad os kalde den AB for at forvirre notationen maksimalt).
På samme måde er midpunktet af den modstående side CD=(C+D)/2.
Linjen mellem AB og CD kan så parameteriseres som t*AB+(1-t)*CD for
t i intervallet [0-1].
Så kan man gøre det samme for AD og BC og se om der er et punkt de to
linker har til fælles.

Håber det hjælper lidt
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Tine Nielsen wrote:
>
> Jeg har en matematikopgave der går på, at jeg skal bevise, at når man
> forbinder midttransversalerne i de modstående sider i en vilkårlig firkant,
> vil forbindelseslinierne halverer hinanden.

Jeg ser nu at det samme gælder i en vindkæv firkant, altså en firkant
i rummet hvor modstående sider ikke ligger i samme plan. (Man siger
at linjer der ikke ligger i samme plan, er vindskæve.)

I en sådan vindskæv firkant udspænder sidernes midtpunkter nemlig også
et *plant* parallelogram.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> I en sådan vindskæv firkant udspænder sidernes midtpunkter nemlig også
> et *plant* parallelogram.

Øh.. ja. Alle parallellogrammer i rummet er da plane?

--
Henning Makholm "Det er du nok fandens ene om at
mene. For det ligger i Australien!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > I en sådan vindskæv firkant udspænder sidernes midtpunkter nemlig også
> > et *plant* parallelogram.
>
> Øh.. ja. Alle parallellogrammer i rummet er da plane?

Øh ja.

Det overraskende(?) er vel i første omgang at den firkant de fire
punkter udspænder, altid er plan.

Der findes naturligvis vindskæve firkante hvor modstående sider er
lige lange *uden* at firkanten er plan. Men en sådan firkant fortjener
naturligvis ikke navnet »parallelogram«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > > I en sådan vindskæv firkant udspænder sidernes midtpunkter nemlig også
> > > et *plant* parallelogram.

> > Øh.. ja. Alle parallellogrammer i rummet er da plane?

> Det overraskende(?) er vel i første omgang at den firkant de fire
> punkter udspænder, altid er plan.

Hm, sådan kan man jo godt forstå dit udsagn. Jeg kravler så ned i mit
hul igen.

> Der findes naturligvis vindskæve firkante hvor modstående sider er
> lige lange *uden* at firkanten er plan. Men en sådan firkant fortjener
> naturligvis ikke navnet »parallelogram«.

Naturligvis ikke. Et parallellogram er jo, som navnet siger,
karakteriseret ved at de modstående sider er parallelle. Selv i planen
kan man jo have (ikke-konvekse) "firkanter" hvor de modstående
sider er lige lange uden at de er parallellogrammer.

--
Henning Makholm "Lucy giver mig en smule af sin
vandration. Hun siger, piger ikke bliver så
tørstige som drenge. Jeg har tit selv tænkt dette,
men det burde være noget søfolk blev bedre orienteret om."

---

Henning Makholm skrev:

>Naturligvis ikke. Et parallellogram er jo, som navnet siger,
>karakteriseret ved at de modstående sider er parallelle. Selv i planen
>kan man jo have (ikke-konvekse) "firkanter" hvor de modstående
>sider er lige lange uden at de er parallellogrammer.

Da vel kun hvis man accepterer at siderne krydser?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk>
> Henning Makholm skrev:

> >Naturligvis ikke. Et parallellogram er jo, som navnet siger,
> >karakteriseret ved at de modstående sider er parallelle. Selv i planen
> >kan man jo have (ikke-konvekse) "firkanter" hvor de modstående
> >sider er lige lange uden at de er parallellogrammer.

> Da vel kun hvis man accepterer at siderne krydser?

Ja. Derfor er "firkanter" i gåseøjne.

--
Henning Makholm "*Se*!! Nu hælder den vand ud
af ørerne *igen*!! *Et mirakel*!!!"

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Jeg ser nu at det samme gælder i en vindkæv firkant, altså en firkant
> i rummet hvor modstående sider ikke ligger i samme plan. (Man siger
> at linjer der ikke ligger i samme plan, er vindskæve.)

Jeg har fundet en model af en flot »naturlig« vindskæv firkant, nemlig
den der udspændes af carbon-atomerne i molekylet cyklobutan:

http://iumsc11.chem.indiana.edu/common/Simple_stuff/cyclobutane/cyclobutane.htm

Man kan dreje molekylet med musen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>Jeg har fundet en model af en flot »naturlig« vindskæv firkant, nemlig
>den der udspændes af carbon-atomerne i molekylet cyklobutan:

Fin model, og fin applet. Tåbelig instruktion:

   Hold down the shift key and click the right mouse button
   to obtain information on how to use the applet.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/