|
|
 | Periodiske tal
Fra : karamel |
Dato : 09-09-02 23:50 |
|
Vi ved jo allesammen, at fx.1/3 = 0,(3) (jeg skriver det periodiske
ciffer i parentes).
Mener I, at man kan sige, at 0,(9) = 1 ?
Jeg har oplevet varme diskussioner og skænderier mht. dette spørgsmål,
selv blandt uddannede folk. Nogle mener, at 0,(9) = 1. Andre siger, at
det er det i hvert fald ikke. Men det sjove er, at begge parter kommer
med så overbevisende argumenter, at det lyder, som om de alle har ret.
Derfor kunne jeg godt tænke mig at høre meningerne her.
Karamel
| |
 Henning Makholm (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 10-09-02 00:08 |
|
Scripsit karamel <karamel@REMOVEoncable.dk>
> Mener I, at man kan sige, at 0,(9) = 1 ?
Ja. Det er det eneste rigtige.
En periodisk decimalbrøk er *defineret* til at betyde grænseværdien af
de rationale værdier af de decimalbrøkker hvor man kun tager endelig
mange decimaler med.
Konkret: 0,9999.... er grænseværdien af følgen
x[0] = 0 = 1 - 10^0
x[1] = 0,9 = 9/10 = 1 - 10^-1
x[2] = 0,99 = 99/100 = 1 - 10^-2
x[3] = 0,999 = 999/1000 = 1 - 10^-3
...
x[n] = 1 - 10^-n
For at vise at denne følge konvergerer mod 1, skal vi vise at alle led
efter et vist punkt kommer vilkårligt tæt på 1. Fjenden vælger et
lille positivt delta, og vi skal så konsturere et N således at
|1-x[i]|<delta for i>N.
Lad N = 1 + -log(delta), rundet ned til nærmeste heltal.
Vi har så
i > N
=> i > -log(delta)
=> -i < log(delta)
=> 10^-i < delta
=> |1-x[i]| < delta Q.E.D.
Altså er betydningen af 0,9999... 1.
> Jeg har oplevet varme diskussioner og skænderier mht. dette spørgsmål,
> selv blandt uddannede folk.
Forhåbentlig ikke blandt folk der var uddannet som matematikere.
Der er en del forsøg på (engelsksprogede) forklaringer på
< http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html> og links
derfra.
--
Henning Makholm "Slip den panserraket og læg
dig på jorden med ansigtet nedad!"
| |
karamel (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : karamel |
Dato : 10-09-02 00:42 |
|
Henning Makholm wrote:
> Scripsit karamel <karamel@REMOVEoncable.dk>
>
> > Mener I, at man kan sige, at 0,(9) = 1 ?
>
> Ja. Det er det eneste rigtige.
>
I sin tid havde jeg fundet på dette: (1/3)*3 er naturligvis = 1. Men eftersom
1/3 = 0,(3), kan vi sige: (1/3)*3 = 0,(3)*3 = 0,(9). Altså 0,(9) = 1.
Men jeg fik at vide, at man ikke må gange 0,(3)*(3) = 0,(9), fordi man pr.
definition altid begynder med at gange fra ciffret yderst til højre, og her er
det ikke noget yderst til højre, fordi det er et uendeligt tal. Spørgsmålet er,
om man kan hævde dette, også selv om der slet ikke er noget "mente", som i
tilfældet 0,(3)*(3)?
Men på den anden side er der noget, der ikke overbeviser mig: Kunne man ikke
sige, at 1 - 0,(9) = 0,(0)1? I så fald ville 1 være forskellig fra 0,(9).
Karamel
| |
 Henning Makholm (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 10-09-02 01:26 |
|
Scripsit karamel <karamel@REMOVEoncable.dk>
> Men jeg fik at vide, at man ikke må gange 0,(3)*(3) = 0,(9), fordi man pr.
> definition altid begynder med at gange fra ciffret yderst til højre,
Nej, det er bare den fremgangsmåde der er lettest i praksis. Man kan
også starte fra venstre hvis man synes det er sjovt. Så skal man bare
kunne gætte i forvejen hvad menten fra næste ciffer bliver, men det er
jo ikke særlig svært i dette tilfælde. Selv hvis man ikke er god til
at gætte, kan man bare gå tilbage og gætte påny hvis det går galt.
Menten er altid et enkelt ciffer, så hvis man bare gætter fra en
ende af, vil man altid få fat på de rigtige cifre før eller siden.
> Men på den anden side er der noget, der ikke overbeviser mig: Kunne man ikke
> sige, at 1 - 0,(9) = 0,(0)1?
Nej. "(9)" betyder at alle de efterfølgende cifre er nitaller, og
"(0)" betyder at alle de efterfølgende cifre er nuller. Der kan rent
begrebsmæssigt ikke være noget der kommer "bagefter alle de
efterfølgende cifre".
(Jo, hvis man bliver meget spidsfindig og aksiomatisk kan man godt
definere sig et system hvor der kan være flere cifre "efter uendeligt
mange". Men det man således konstruerer sig bliver ikke de reelle tal
vi normalt lader decimalbrøker stå for. Og selv om man nok kunne få
0,(0)1 til at være notation for et eller andet, kan jeg ikke helt
gennemskue hvordan man får det "et eller andet" til at være
differencen mellem 1 og 0,(9)0. Det er også tvivlsomt om det kan lade
sig gøre at få division til at fungere fornuftigt. Og den naturlige
ækvivalent til det normale systems 0,(9) ville i øvrigt være at også
cifrene "efter uendeligt mange" stadigvæk er bar nitaller, dvs
0,(9)(9)(9)..., og så er vi jo lige vidt).
--
Henning Makholm "Jeg skrællet har kartofler; min ene tommeltot
røg vistnok med i gryden. Jeg har det ellers got."
| |
Lasse Reichstein Nie~ (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 10-09-02 01:54 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Nej, det er bare den fremgangsmåde der er lettest i praksis. Man kan
> også starte fra venstre hvis man synes det er sjovt. Så skal man bare
> kunne gætte i forvejen hvad menten fra næste ciffer bliver, men det er
> jo ikke særlig svært i dette tilfælde. Selv hvis man ikke er god til
> at gætte, kan man bare gå tilbage og gætte påny hvis det går galt.
> Menten er altid et enkelt ciffer, så hvis man bare gætter fra en
> ende af, vil man altid få fat på de rigtige cifre før eller siden.
Det er ikke en god algoritme. Hvor langt skal man ud i 0,(3) * 3 før
man er sikker på at der ikke kommer en mente? (svar: hele vejen
igennem).
Det giver ikke direkte mening at udføre uendeligt mange
multiplikationer ciffervist. Istedet kan man kigge på den konvergente
følge af endelige decimalbrøker 0 - 0,3 - 0,33 - 0,333 - 0,3333 -
.... og kende regnereglerne for at regne med følger og deres limes
(hvis man ganger hvert element med 3 vil limes også blive tre gange
større).
Den regnemåde svarer også til definitionen af reelle tal som
ækvivalensklasser af konvergente følger af rationelle tal.
>
> (Jo, hvis man bliver meget spidsfindig og aksiomatisk kan man godt
> definere sig et system hvor der kan være flere cifre "efter uendeligt
> mange". Men det man således konstruerer sig bliver ikke de reelle tal
> vi normalt lader decimalbrøker stå for.
En mulig konstruktion er Knuths pseudoreelle tal. Jeg har desværre ikke
læst bogen, men har fået dem i hovedet på en nyhedsgruppe i en lignende
diskussion (jeg havde naturligvis ret, da vi talte om sandsynligheder som
jo er reelle tal ... om den anden blev overbevist ved jeg ikke :)).
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Henning Makholm (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 10-09-02 02:52 |
|
Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Nej, det er bare den fremgangsmåde der er lettest i praksis. Man kan
> > også starte fra venstre hvis man synes det er sjovt. Så skal man bare
> > kunne gætte i forvejen hvad menten fra næste ciffer bliver, men det er
> > jo ikke særlig svært i dette tilfælde. Selv hvis man ikke er god til
> > at gætte, kan man bare gå tilbage og gætte påny hvis det går galt.
> > Menten er altid et enkelt ciffer, så hvis man bare gætter fra en
> > ende af, vil man altid få fat på de rigtige cifre før eller siden.
> Det er ikke en god algoritme.
Bestemt ikke. Men den svarer rigtigt nok, hvis den ikke (i løbet af
sin omega lange køretid) fejler.
Det rigtig morsomme er at alt efter om man gætter på om menten er 0
eller 1, får man enten svaret 0,999... eller 1,000...
> Det giver ikke direkte mening at udføre uendeligt mange
> multiplikationer ciffervist. Istedet kan man kigge på den konvergente
> følge af endelige decimalbrøker 0 - 0,3 - 0,33 - 0,333 - 0,3333 -
Jo, men hvis man først begynder at snakke om konvergens kan man jo
lige så godt gå direkte til det rigtige bevis for 0,999...=1 i stedet
for at sidde og forsøge at gange 1/3 med 3.
--
Henning Makholm "We will discuss your youth another time."
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 06:26 |
|
Henning Makholm skrev:
>> Det er ikke en god algoritme.
>Bestemt ikke. Men den svarer rigtigt nok, hvis den ikke (i løbet af
>sin omega lange køretid) fejler.
Jeg kan da ikke se hvad der er galt med karamels (?) metode. Den
adskiller sig da ikke principielt fra den med at gange med 10 og
trække fra.
x = 0,9...
10x = 9,9...
9x = 9
Men den er måske også tvivlsom?
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 14:17 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jeg kan da ikke se hvad der er galt med karamels (?)
> metode. Den adskiller sig da ikke principielt fra den med
> at gange med 10 og trække fra.
Hvordan kommer du fra
> x = 0,9...
til
> 10x = 9,9...
?
> Men den er måske også tvivlsom?
Den har samme problem (som kun er et problem i denne
sammenhæng).
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 14:56 |
| | |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 15:19 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Hvordan kommer du fra
>>> x = 0,9...
>> til
>>> 10x = 9,9...
>
> Man ganger med 10 ved at flytte kommaet én plads til
> højre.
Hvorfor må du det?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 15:37 |
|
Der er en fornem forklaring på:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55748.html
Resumé:
Hverken 0.9, 0.99, 0.9999, 0.99999999 er 1.
Hvergang man "holder op" med at tilføje ni-taller får man et tal,
som ikke er 1. Men jo flere nitaller man tilføjer, jo tættere på
1 kommer man.
Det kan lade sig gøre at bevise:
Der findes ingen andre tal end 1 som talfølgen 0.9, 0,99,
0.999 og så videre kommer så tæt på man vil.
Når vil man bestemme, hvilket tal 0.999... står for
er det derfor naturligt at bestemme, at det skal stå for 1.
Min tilføjelse:
Med andre ord: Man kan ikke opskrive 0,999... og så
regne sig frem til, hvad det står for. Man er nødt til at
beslutte, hvad det skal betyde først. Man beslutter så
at det skal stå for 1, for så bliver de intuitive regninger
rigtige.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 17:07 |
| | |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 19:21 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Hvorfor må du det?
>
> Hvorfor ikke?
Man skal tænke sig om, for der
er en uendelig sum gemt i udregningen:
10 * 0.999999
= 10 * ( 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... )
{det er her det ikke er oplagt, at man kan gange 10 ind}
= 10* 0.9 + 10 * 0.09 + 10 * 0.009 + 10 * 0.0009 + ...
= 9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 9.9999...
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 19:40 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Man skal tænke sig om, for der
>er en uendelig sum gemt i udregningen:
Ja, men skulle det være et problem? Jeg har da set beviser hvor
man trak uendelige rækker fra hinanden for at få noget pænt.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 20:18 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Man skal tænke sig om, for der
>> er en uendelig sum gemt i udregningen:
>
> Ja, men skulle det være et problem?
Ja og nej.
Problemet er 0,999... er defineret som en uendelig sum.
Hvis man derfor ikke beviser regnereglerne for uendelige
summer først, kan man ikke bevise, at 0,999...=1.
Altså argumentet
x = 0,999...
10x = 9,999...
9x = 9
x = 1
er ikke et matematisk bevis, men et "overbevis".
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Bundgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 10-09-02 20:26 |
|
> er ikke et matematisk bevis, men et "overbevis".
Det kan du have ret i.
-mb
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 21:13 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Hvis man derfor ikke beviser regnereglerne for uendelige
>summer først, kan man ikke bevise, at 0,999...=1.
Er det ikke bare at fyre noget induktion af?
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Martin Bundgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 10-09-02 21:20 |
|
> Er det ikke bare at fyre noget induktion af?
Jo, induktion på den distributive lov.
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 23:36 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>> Er det ikke bare at fyre noget induktion af?
>
> Jo, induktion på den distributive lov.
Nej.
Ved hjælp af induktion kan du vise, at
t*( x1+ x2 + ... xn ) = t*x1 + t*x2 + ... + xn
for alle faste n.
Du kan derimod ikke vise, at
t*(x1+ x2+ ... ) = t*x1 + t*x2 + ...
for her har du ikke et endeligt antal led.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Bundgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 11-09-02 09:35 |
|
> Du kan derimod ikke vise, at
>
> t*(x1+ x2+ ... ) = t*x1 + t*x2 + ...
>
> for her har du ikke et endeligt antal led.
Det er irrelevant, da der på forhånd er tale om en konvergent sum: x1 + x2 +
...., og som jeg sagde i et tidligere i tråden, rejser multiplikation ikke
nye konvergensspørgsmål.
Derfor behøver man ikke tøve når man laver uendelig induktion.
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 14:50 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>> Du kan derimod ikke vise, at
[ved hjælp af induktion]
>> t*(x1+ x2+ ... ) = t*x1 + t*x2 + ...
>>
>> for her har du ikke et endeligt antal led.
>
> Det er irrelevant, da der på forhånd er tale om en
> konvergent sum: x1 + x2 + ..., og som jeg sagde i et
> tidligere i tråden, rejser multiplikation ikke nye
> konvergensspørgsmål. Derfor behøver man ikke tøve når man
> laver uendelig induktion.
Jamen så lad mig se et induktionsbevis for:
Sætning
Lad t>0 være et reelt tal.
Lad x1, x2, ... være en følge af reele tal,
som opfylder at x1+... er konvergent.
Da er t*x1 + t*x2 + ... konvergent.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Bundgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 11-09-02 18:01 |
|
> Jamen så lad mig se et induktionsbevis for:
>
> Sætning
>
> Lad t>0 være et reelt tal.
> Lad x1, x2, ... være en følge af reele tal,
> som opfylder at x1+... er konvergent.
>
> Da er t*x1 + t*x2 + ... konvergent.
Jamen, det er jo trivielt...
Start trin:
t * (x_1 + x_2 + x_3 + ...) = t*x1 + t * (x_2 + x_3 + ... ) åbenlyst
konvergent.
Induktions trin: Antag
t*x_1 + t*x_2 + ... + t*x_m + t * (x_{m+1} + x_{m+2} + ... ) konvergent,
så er det klart at
t*x_1 + t*x_2 + ... + t*x_{m+1} + t * (x_{m+2} + x_{m+3} + ... )
også er konvergent.
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 19:12 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>> Jamen så lad mig se et induktionsbevis for:
>>
>> Sætning
>>
>> Lad t>0 være et reelt tal.
>> Lad x1, x2, ... være en følge af reele tal,
>> som opfylder at x1+... er konvergent.
>>
>> Da er t*x1 + t*x2 + ... konvergent.
>
> Jamen, det er jo trivielt...
>
> Start trin:
> t * (x_1 + x_2 + x_3 + ...) = t*x1 + t * (x_2 + x_3 + ...
> ) åbenlyst konvergent.
>
> Induktions trin: Antag
> t*x_1 + t*x_2 + ... + t*x_m + t * (x_{m+1} + x_{m+2} +
> ... ) konvergent, så er det klart at
> t*x_1 + t*x_2 + ... + t*x_{m+1} + t * (x_{m+2} + x_{m+3}
> + ... ) også er konvergent.
Du har hermed vist, at for et givet m gælder:
t * (x_1 + x_2 + x_3 + ...)
= t*x1 + t*x2 + ... t*xm + t * (x_{m+2} + x_{m+3} + ... )
Hvordan fortsætter du så?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Bundgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 11-09-02 19:49 |
|
> Du har hermed vist, at for et givet m gælder:
>
> t * (x_1 + x_2 + x_3 + ...)
> = t*x1 + t*x2 + ... t*xm + t * (x_{m+2} + x_{m+3} + ... )
>
> Hvordan fortsætter du så?
Ikke forstået... er det den uendelige induktion, du ikke er med på?
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 20:33 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>> Du har hermed vist, at for et givet m gælder:
>>
>> t * (x_1 + x_2 + x_3 + ...)
>> = t*x1 + t*x2 + ... t*xm + t * (x_{m+2} + x_{m+3} + ...
>> )
>>
>> Hvordan fortsætter du så?
>
> Ikke forstået... er det den uendelige induktion, du ikke
> er med på?
Nej 
Du syndede da, du ikke ikke skrev den præcise
induktionshypotese op. Gør man det, vil du se,
at det du har vist er ovenstående.
Lad os skifte til sum-notation. Hvis nedenstående
indekser ikke pæne ud skal du skifte til en fastbreddefont.
[eller cut'n'paste det ind i notepad]
Konklusionen i det induktionsbevis, du angiver, er
at det for et hvert *fast* m gælder:
uendelig m uendlig
t sum x_n = sum t*x_n + t sum x_n
n=1 n=1 n=m+1
Sagt på en anden måde: Du har vist, at du kan
gange t ind på et givet *endeligt* antal led.
Der mangler stadig en hale - en hale der består
af uendlig mange led. Du har med andre ord, bare
skubbet problemet lidt.
For at vise den sidste del, nemlig at
m uendlig uendlig
sum t*x_n + t sum x_n = sum t*x_n
n=1 n=m+1 n=1
skal man vise at
uendlig
sum t*x_n går mod nul for n gående mod uendelig.
n=m+1
Dette kan ikke gøres uden at benytte konvergenssætninger.
Går man beviset efter i sømmene vil man så opdage, at man
kan spare induktionsbeviset væk. Med andre ord: Det der får
beviset til at virke er ikke induktion men grænseværdibetragtninger.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 11-09-02 21:41 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Sagt på en anden måde: Du har vist, at du kan
>gange t ind på et givet *endeligt* antal led.
Man kan vel sige at han har bevist det for et vilkårligt stort m,
men ikke for uendelig.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 23:16 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Sagt på en anden måde: Du har vist, at du kan
>> gange t ind på et givet *endeligt* antal led.
>
> Man kan vel sige at han har bevist det for et vilkårligt
> stort m, men ikke for uendelig.
Ja.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Bundgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 12-09-02 14:28 |
|
> Konklusionen i det induktionsbevis, du angiver, er
> at det for et hvert *fast* m gælder:
>
> uendelig m uendlig
> t sum x_n = sum t*x_n + t sum x_n
> n=1 n=1 n=m+1
>
Ja, ok - eksplicit.
> For at vise den sidste del, nemlig at
>
> m uendlig uendlig
> sum t*x_n + t sum x_n = sum t*x_n
> n=1 n=m+1 n=1
>
> skal man vise at
>
> uendlig
> sum t*x_n går mod nul for n gående mod uendelig.
> n=m+1
Jeg "burde" selvfølgelig lave et "epsilon-delta" bevis for det, men bortset
fra at det er ret oplagt hvordan man vælger epsilon, troede jeg ikke det var
konvergensspørgsmålet der var det primære i den foregående diskussion. Det
ser ud til at jeg har misforstået dig for et par posts siden... :)
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 18:08 |
|
Martin Bundgaard wrote:
> Jeg "burde" selvfølgelig lave et "epsilon-delta" bevis
> for det, men bortset fra at det er ret oplagt hvordan man
> vælger epsilon, troede jeg ikke det var
> konvergensspørgsmålet der var det primære i den
> foregående diskussion. Det ser ud til at jeg har
> misforstået dig for et par posts siden... :)
Nåh. Nej [det første] problem bestod i at forklare folk,
som ikke kender konvergensbegrebet, at der er noget at
tænkte over. Man kan godt finde simple overbeviser, men
de kræver alle et konvergensargument. Det er ikke et
problem i den forstand, at matematikerne ikke ved, hvordan
det løses.
Det andet problem bestod i at forklare, at et bevis for
1.99...=2 aldrig vil kunne gennemføres alene ved hjælp af
induktion. Identiteten bygger nemlig på afgørende vis
på konstruktionen af de reele tal, og der kommer
induktion til kort, idet induktion er knytter sig de naturlige
tal. Man kan med andre ord ikke fuldføre et tilfredsstillende
bevis uden at komme ind på konvergensbegrebet.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 21:30 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>
> Ikke forstået... er det den uendelige induktion, du ikke er med på?
Der er ikke noget der hedder uendelig induktion.
Det Jens Axel spørger om, kommer an på at bevise at hvis {s_n} er en
konvergent følge, så er {k·s_n} ligeledes konvergent. Et forelagt
epsilon skal selvfølgelig afpareres ved først at udnytte at epsilon/k
kan afpareres i den oprindelige følge.
Induktion kommer kun på tale hvis man vil gå helt ned og vise at man
må gange ind i en parentes i udtryk som k·(x_1 + x_2 + x_3) . Dette
kan dog opfattes som velkendt.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Stefan Holm (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 11-09-02 21:40 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Der er ikke noget der hedder uendelig induktion.
Transfinit induktion findes da. Ikke at det har noget med det her at
gøre, men det findes.
--
"Anthrax do not like water. They will jump out and you can step on them."
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 22:02 |
|
Stefan Holm wrote:
>
> > Der er ikke noget der hedder uendelig induktion.
>
> Transfinit induktion findes da. Ikke at det har noget med det her at
> gøre, men det findes.
Åh ja, men man skal nok lige forstå sædvanlig induktion før man begyn-
der at høre om dette.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Bundgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 12-09-02 14:38 |
|
> Åh ja, men man skal nok lige forstå sædvanlig induktion før man begyn-
> der at høre om dette.
Tak, men jeg ved godt hvad sædvanlig induktion indebærer. :)
Jeg har trods alt læst matematik i godt fire år nu, ikke at det er nogen
garanti, men...
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 21:47 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Hvis man derfor ikke beviser regnereglerne for uendelige
>> summer først, kan man ikke bevise, at 0,999...=1.
>
> Er det ikke bare at fyre noget induktion af?
Nej. Induktion er knyttet til de naturlige tal.
For at bevise 0,999...=1 er man nødt til at diskutere,
hvordan reele tal er defineret. Det kræver inddragelse
af begrebet grænseværdi.
At det er sværere end som så, kan man få en fornemmelse
af ved at anlægge et historisk perspektiv.
Weierstrass, Cantor og Cauchy var dem, som langt om
længe fik løst problemet på en måde, som tilfredstiller
en moderne matematikers præcisionskrav. De tre herrer
beskæftigede sig med problemet ca. 1850-1900.
For at få en fornemmelse af, hvor sent det er, så
tænk på, at indførelsen af differentialregningen stammer
fra Newton og Leibnitz' tid.
Morale: Grænseværdi er et overordentlig svært begreb.
Det tog de førende matematikere mere end 100 år
at få præciseret.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 22:15 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Morale: Grænseværdi er et overordentlig svært begreb.
>Det tog de førende matematikere mere end 100 år
>at få præciseret.
Taget ad notam.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Martin Bundgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 10-09-02 19:45 |
|
> = 10 * ( 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... )
> {det er her det ikke er oplagt, at man kan gange 10
Jo, det gør ingen forskel at der er uendeligt mange led, da det ikke rejser
nogle konvergensspørgsmål.
-mb
| |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 20:19 |
|
Martin Bundgaard wrote:
>> = 10 * ( 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... )
>> {det er her det ikke er oplagt, at man kan gange 10
>
> Jo, det gør ingen forskel at der er uendeligt mange led,
> da det ikke rejser nogle konvergensspørgsmål.
Men du er nødt til at sætte dig i spørgerens sted.
Han kender ikke uendelige summer, og derfor er der
et problem.
Det er ikke et problem, når man kender
den relevante teori.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-09-02 15:14 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
>
> Jeg kan da ikke se hvad der er galt med karamels (?) metode. Den
> adskiller sig da ikke principielt fra den med at gange med 10 og
> trække fra.
>
> x = 0,9...
> 10x = 9,9...
> 9x = 9
>
> Men den er måske også tvivlsom?
Det kommer måske an på hvor avanceret man vil være. Hvis man er på et
niveau hvor det er for langhåret at sige at »en uendelig decimalbrøk
skal forstås som grænseværdien af de endelige partial-decimalbrøker
(og denne grænseværdi eksisterer altid)«, synes jeg ovenstående er
fint.
Hvis man derimod er på det lidt højere niveau, er sagen jo triviel.
Så er 9,999... jo blot en (uendelig) kvotientrække med sum 9/(1-1/10).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 17:09 |
|
Jeppe Stig Nielsen skrev:
>Det kommer måske an på hvor avanceret man vil være. Hvis man er på et
>niveau hvor det er for langhåret at sige at »en uendelig decimalbrøk
>skal forstås som grænseværdien af de endelige partial-decimalbrøker
>(og denne grænseværdi eksisterer altid)«, synes jeg ovenstående er
>fint.
De der er skeptiske, forstår ikke (accepterer ikke) det med
grænseværdien. De har svært ved at modbevise 'mit' bevis.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 10:07 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
>
> De der er skeptiske, forstår ikke (accepterer ikke) det med
> grænseværdien. De har svært ved at modbevise 'mit' bevis.
Det er jeg enig i. Og hvis man *vil* gøre tingene på den fine måde,
er det ikke så svært (når man mestrer uendelige rækker) at se at det
faktisk er o.k. at gøre som du gør.
Som bekendt kan man bringe enhver (blandet) periodisk decimalbrøk på
formen p/q på tilsvarende måde. For eksempel:
x = 4,29135135135135...
Så er
100000·x = 429135,135135135...
100·x = 429,135135135135...
hvoraf (ved subtraktion af disse ligninger)
(100000-100)·x = 429135-429
så
x = (429135-429)/(100000-100) = 428706/99900
Efter forkortning får man 428706/99900 = 7939/1850.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Peter Makholm (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Peter Makholm |
Dato : 10-09-02 22:36 |
|
"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
> Morale: Grænseværdi er et overordentlig svært begreb.
> Det tog de førende matematikere mere end 100 år
> at få præciseret.
Er negative tal et let eller besværligt begreb?
--
Peter Makholm | I laugh in the face of danger. Then I hide until
peter@makholm.net | it goes away
http://hacking.dk | -- Xander
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 22:40 |
| | |
Jens Axel Søgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 10-09-02 23:38 |
|
Peter Makholm wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> Morale: Grænseværdi er et overordentlig svært begreb.
>> Det tog de førende matematikere mere end 100 år
>> at få præciseret.
>
> Er negative tal et let eller besværligt begreb?
Det er også svært.
Sværere end komplekse tal lader det til
En trøst er det dog, at det ikke er så svært at trække et positivt
tal fra et andet positivt tal.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Stefan Holm (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 10-09-02 06:44 |
|
Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
> En mulig konstruktion er Knuths pseudoreelle tal.
Nok har Knuth skrevet en (elendig) bog om Conways surreelle tal, men
det gør dem ikke til hans.
--
"Note the huge-breasted typist in the background."
| |
karamel (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : karamel |
Dato : 10-09-02 02:02 |
|
Henning Makholm wrote:
> Nej, det er bare den fremgangsmåde der er lettest i praksis.
Jeg har faktisk fundet et andet bevis :
Vi siger: 0,(9) = n
10*n = 9,(9)
10*n - n = 9,(9) - 0,(9)
9*n = 9
n = 1
Men på den anden side lyder det stadigvæk ulogisk for mig!
For hvis jeg nu begynder at skrive 0,9999... og bliver ved med at tilføje
9-taller, så vil jeg (om jeg så bliver ved til dommedagen) alligevel få et tal,
der er lidt mindre end 1.
Så tænkte jeg, at vi måske knytter forskellige betydninger til begrebet
"periodiske tal".
Hvis vi definerer et periodisk tal som den endelige streng, som er resultatet af
division-algoritmen (decimal) for to passende heletal mellem forekomsten af to ens
rester, så findes et tal som 0,(9) slet ikke. Der findes ikke nogen division, hvis
resultat er 0,(9) på samme måde som 0,(3) = 1/3. I så fald er det meningsløst at
spørge, om 0,(9) = 1.
Karamel
| |
Bertel Lund Hansen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 10-09-02 06:29 |
|
karamel skrev:
>Men på den anden side lyder det stadigvæk ulogisk for mig!
>For hvis jeg nu begynder at skrive 0,9999... og bliver ved ...
Så har du pludselig begrænset dig til hvad der er praktisk
muligt. Den begrænsning har 0,9... ikke. Der er uendelig mange
9-taller 'med det samme'.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-09-02 15:05 |
|
karamel wrote:
>
> Mener I, at man kan sige, at 0,(9) = 1 ?
Ja, og det er slet ikke det eneste tal der kan skrives på mere end én
måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
skrives på mere end én måde.
Eksempelvis 317/100:
317/100 = 3,17
317/100 = 3,1700000...
317/100 = 3,1699999...
De to første måder er måske ikke så overraskende som den sidste.
Dette gør det træls at lave ting som en bijektion mellem intervallet
[0;1] og mængden af følger af cifre fra {0,1,2,...,9}.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 10:08 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> skrives på mere end én måde.
Ja, jeg bør vel sige at j ikke må være nul.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Thomas Thorsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Thomas Thorsen |
Dato : 11-09-02 10:40 |
|
Jeppe Stig Nielsen skrev:
> Ja, jeg bør vel sige at j ikke må være nul.
Hvorfor ikke?
Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
TT
| |
Lasse Reichstein Nie~ (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 11-09-02 11:24 |
|
"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
Nej. Prøv :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Thomas Thorsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Thomas Thorsen |
Dato : 11-09-02 12:19 |
|
Lasse Reichstein Nielsen skrev:
> Nej. Prøv :)
0
0,000...
TT
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 21:33 |
|
Thomas Thorsen wrote:
>
> > Nej. Prøv :)
>
> 0
> 0,000...
Okay, men jeg tænkte bare på at 0 ikke kunne skrives på en måde der
slutter med en hale af nitaller. Det kan de andre j/(2^n·5^m) .
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 12-09-02 14:11 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Okay, men jeg tænkte bare på at 0 ikke kunne skrives på en måde der
> slutter med en hale af nitaller.
Til gengæld kan det skrives både "0" og "-0".
--
Henning Makholm "They discussed old Tommy Somebody and Jerry Someone Else."
| |
Martin Moller Peders~ (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Moller Peders~ |
Dato : 11-09-02 12:29 |
|
In <znuoj03e.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
>"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
>> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
>Nej. Prøv :)
>/L
2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
| |
Martin Bundgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 11-09-02 12:40 |
|
> 2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
....som ikke har noget med sagen at gøre.
-mb
| |
Kristian Damm Jensen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 11-09-02 13:46 |
|
Martin Moller Pedersen wrote:
>
> In <znuoj03e.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
>
> >"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
>
> >> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
>
> >Nej. Prøv :)
> >/L
>
> 2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
2-2 er ikke et tal, men et regneudtryk. Ja, vi er ude på overdrevet.
--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.
| |
Martin Moller Peders~ (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Moller Peders~ |
Dato : 11-09-02 16:07 |
|
In <3D7F3B0B.CAD72A15@MOVEcgey.com> Kristian Damm Jensen <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> writes:
>Martin Moller Pedersen wrote:
>>
>> In <znuoj03e.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
>>
>> >"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
>>
>> >> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
>>
>> >Nej. Prøv :)
>> >/L
>>
>> 2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
>2-2 er ikke et tal, men et regneudtryk. Ja, vi er ude på overdrevet.
saa er 0.999.... heller ikke et tal, men en uendelig raekke med
graense-vaerdien 1.
/Martin
| |
Bertel Lund Hansen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 11-09-02 16:32 |
|
Martin Moller Pedersen skrev:
>saa er 0.999.... heller ikke et tal, men en uendelig raekke med
>graense-vaerdien 1.
Også forkert. Det er symbol for et tal - ligesom "1" er det.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Martin Moller Peders~ (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Moller Peders~ |
Dato : 11-09-02 19:58 |
|
In <eeounugndfoglbv99qk41la7501au8cql1@news.telia.dk> Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk> writes:
>Martin Moller Pedersen skrev:
>>saa er 0.999.... heller ikke et tal, men en uendelig raekke med
>>graense-vaerdien 1.
>Også forkert. Det er symbol for et tal - ligesom "1" er det.
hva' er saa lige forskellen mellem 0.99999999......... og 2-2 ?
Det er da begge et udtryk for et tal.
hvad med 0.00000000 er det et tal ?
/Martin
| |
Bertel Lund Hansen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 11-09-02 20:05 |
|
Martin Moller Pedersen skrev:
>hva' er saa lige forskellen mellem 0.99999999......... og 2-2 ?
1.
Der er ingen. De er begge to talsymboler.
Hvis man vil undgå inkonsekvens, kalder man 7/7, 2-1, 1 og 0,9...
for fire symboler eller talnavne for det samme tal.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 20:43 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Martin Moller Pedersen skrev:
>
>> hva' er saa lige forskellen mellem 0.99999999.........
>> og 2-2 ?
>
> 1.
>
> Der er ingen. De er begge to talsymboler.
2-2 er et regneudtryk, ikke et tal.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 11-09-02 21:42 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>2-2 er et regneudtryk, ikke et tal.
Du mener at det skal tolkes efter nogle bestemte regler inden man
kan vide hvilket tal det symboliserer?
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 11-09-02 23:31 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> 2-2 er et regneudtryk, ikke et tal.
>
> Du mener at det skal tolkes efter nogle bestemte regler
> inden man kan vide hvilket tal det symboliserer?
Hm. Ja, det var egentlig det jeg mente. Man er nødt til at
regne inden, man når til selve tallet.
2 2.0 1.999...
er bare forskellige måder at nedskrive det samme tal.
Men, men -hvis man skal være meget pernitten er '2' ikke et
tal, men et ciffer på en computerskærm. Tallet 2 er en
abstrakt størrelse, så for at kunne skrive om den, har man
aftalt at repræsentere det abstrakte tal ved at skrive cifferet '2'.
I daglig tale skelner vi ikke mellem tallet 2 og cifferet '2'.
Skal du have semantik på dit studium?
Her tillægger man mening til computerprogrammer,
og her man er nødt til at være særdeles pernitten.
Her definerer man i detaljer en funktion, som tager
et regneudtryk '2-2' og udregner det til et abstrakt tal.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 12-09-02 12:27 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Hm. Ja, det var egentlig det jeg mente. Man er nødt til at
>regne inden, man når til selve tallet.
Man er også nødt til at tolke 1,9... inden man kan nå til selve
tallet - og faktisk også nødt til at regne.
> 2 2.0 1.999...
>er bare forskellige måder at nedskrive det samme tal.
Ja, men det er 4/2 også. Vil du benægte at 4/2 = 2, og at det
udtrykker at de to tal (som symbolerne står for) er identiske?
>Men, men -hvis man skal være meget pernitten er '2' ikke et
>tal, men et ciffer på en computerskærm.
Så pernitten er jeg når jeg siger at det hele kun er symboler.
>Skal du have semantik på dit studium?
Ja og nej. Vi har fået sproglære på det her semester, ca. 4
ugetimer. Men faget er nyt og læreren ikke så erfaren, så
udbyttet er ikke det bedste, og det spænder over mange delemner.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 17:58 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Hm. Ja, det var egentlig det jeg mente. Man er nødt til
>> at regne inden, man når til selve tallet.
>
> Man er også nødt til at tolke 1,9... inden man kan nå til
> selve tallet - og faktisk også nødt til at regne.
Man er nødt til at regne, hvis man vil sikre sig, at det tal
som skrives 1,99... er det sammen tal, som skrives 2;
men man behøver ikke regne på 1,9... for at oversætte
det til et tal.
Jeg betragter ikke oversættelsen fra det nedskreve
'1,99...' til det abstrakte tal som regning. I udtrykket '2-2'
skal man derimod først have oversat '2' og '2' til abstrakte
tal, før man kan udføre operationen minus på de abstrakte tal.
Altså, ved '2-2' skal man både oversætte og regne. Ved
'1.99...' skal man kun oversætte.
[Jeg lyder vist meget pernittengrynet nu.]
>> 2 2.0 1.999...
>> er bare forskellige måder at nedskrive det samme tal.
>
> Ja, men det er 4/2 også. Vil du benægte at 4/2 = 2, og at
> det udtrykker at de to tal (som symbolerne står for) er
> identiske?
Men 4/2 er et tal. Det er først, når du vil undersøge om
4/2 er det samme tal som 2, du skal til at regne.
>> Men, men -hvis man skal være meget pernitten er '2' ikke
>> et tal, men et ciffer på en computerskærm.
>
> Så pernitten er jeg når jeg siger at det hele kun er
> symboler.
Ok - så er vi på bølgelængde.
>> Skal du have semantik på dit studium?
>
> Ja og nej. Vi har fået sproglære på det her semester, ca.
> 4 ugetimer. Men faget er nyt og læreren ikke så erfaren,
> så udbyttet er ikke det bedste, og det spænder over mange
> delemner.
Hvad dækker sproglære egentlig over?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 12-09-02 18:41 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>'1,99...' til det abstrakte tal som regning. I udtrykket '2-2'
>skal man derimod først have oversat '2' og '2' til abstrakte
>tal, før man kan udføre operationen minus på de abstrakte tal.
Næ. Jeg ser tallet 0 med det samme, ligesom man efter nogen tid
omgående ser at 1,9... er 2.
>[Jeg lyder vist meget pernittengrynet nu.]
Ja, den tærskel er vi kommet over for længst.
>Hvad dækker sproglære egentlig over?
Lærebog:
Programming Languages, Design and Implementation
af Terence W. Pratt og Marvin V. Zelkowitz.
Kapitler:
Language design issues
Impact of machine architectures
Language translation issues
Modelling language properties
Elementary data types
Encapsulation
Inheritance
Sequence control
Subprogram control
Storage management
Distributed processing
Network programming
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Bertel Lund Hansen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 12-09-02 18:47 |
|
Bertel Lund Hansen skrev:
>Næ. Jeg ser tallet 0 med det samme, ligesom man efter nogen tid
>omgående ser at 1,9... er 2.
Øh ... Jeg håber man forstår hvad jeg mener.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 19:14 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Bertel Lund Hansen skrev:
>
>> Næ. Jeg ser tallet 0 med det samme, ligesom man efter
>> nogen tid omgående ser at 1,9... er 2.
>
> Øh ... Jeg håber man forstår hvad jeg mener.
Jo.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 19:13 |
|
Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>> Hvad dækker sproglære egentlig over?
>
> Lærebog:
> Programming Languages, Design and Implementation
> af Terence W. Pratt og Marvin V. Zelkowitz.
Den ser spændende ud:
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/pratt/
Der er mange spændende emner i - men man bliver dog
lidt forbløffet over, hvor meget de har med.
Er den meget tyk?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Bertel Lund Hansen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 12-09-02 21:07 |
|
Jens Axel Søgaard skrev:
>Der er mange spændende emner i - men man bliver dog
>lidt forbløffet over, hvor meget de har med.
>Er den meget tyk?
Nej, kun 625 sider.
Det er selvfølgelig en joke, men også alvor: Den er mindre end
gennemsnittet for mine fagbøger.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Henning Makholm (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 12-09-02 19:30 |
|
Scripsit Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk>
> Jens Axel Søgaard skrev:
> >Hvad dækker sproglære egentlig over?
> Lærebog:
> Programming Languages, Design and Implementation
> af Terence W. Pratt og Marvin V. Zelkowitz.
Hm, det ser jo vældig tilforladeligt ud når man ser på den mere
detaljerede oversigt på http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/pratt/
Det ser umiddelbart ud som om semantik kun behandles i et enkelt
kapitel af 12 (som også skal dække den øvre halvdel af
Chomsky-hierarkiet).
Og sammenhængen mellem de enkelte kapitlers emne og det sprog
oversigten angiver som "provide a brief understandning of language X"
virker lidt underlig. Et par eksempler
2: Impact of Machine Architectures
... Providing a brief overview of the Java programming language
3: Language and Translation
... Providing a brief overview of the Perl programming language
10: Storage Management
... Provide an overview of the LISP programming language
(Ikke så underligt før man lægger mærke til at tidligere
kapitler har introduceret bl.a. Java, Perl, ML, Smalltalk)
12. Network programming
... Provide a brief understanding of desktop publishing
including an understanding of LaTeX and WYSIWYG editors
--
Henning Makholm "I consider the presence of the
universe to be a miracle. The universe
and everything in it. Can you deny it?"
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 22:08 |
|
Henning Makholm wrote:
> 12. Network programming
> ... Provide a brief understanding of desktop
> publishing including an understanding of LaTeX
> and WYSIWYG editors
Står det under netværk?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Henning Makholm (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 12-09-02 22:48 |
|
Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:
> > 12. Network programming
> > ... Provide a brief understanding of desktop
> > publishing including an understanding of LaTeX
> > and WYSIWYG editors
> Står det under netværk?
Aut crede aut non.
--
Henning Makholm "Nemo enim fere saltat sobrius, nisi forte insanit."
| |
Bertel Lund Hansen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 12-09-02 23:45 |
| | |
Jeppe Stig Nielsen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 12-09-02 21:05 |
|
"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> I udtrykket '2-2'
> skal man derimod først have oversat '2' og '2' til abstrakte
> tal, før man kan udføre operationen minus på de abstrakte tal.
> Altså, ved '2-2' skal man både oversætte og regne. Ved
> '1.99...' skal man kun oversætte.
Man kan jo altid diskutere om ting som
7-3
og
7/3
står for udregningen eller dens resultat. I det sidste tilfælde er der
tradition for at opfatte 7/3 som en måde at skrive kvotineten (tallet)
på, og ikke som et regneudtryk. I udtrykket med minus derimod må man
opfatte det skrevne som et regneudtryk idet resultatet (differensen)
ville blive skrevet som »4«.
Naturligvis er dette lidt en strid om kejserens skæg (er det ikke sådan
man siger?).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jens Axel Søgaard (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 12-09-02 22:29 |
|
Jeppe Stig Nielsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" wrote:
> I det sidste
> tilfælde er der tradition for at opfatte 7/3 som en måde
> at skrive kvotineten (tallet) på, og ikke som et
> regneudtryk. I udtrykket med minus derimod må man opfatte
> det skrevne som et regneudtryk idet resultatet
> (differensen) ville blive skrevet som »4«.
Enig.
> Naturligvis er dette lidt en strid om kejserens skæg (er
> det ikke sådan man siger?).
Jo - hvor stammer det fra?
--
Jens Axel Søgaard
| |
Henning Makholm (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 12-09-02 23:13 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> står for udregningen eller dens resultat. I det sidste tilfælde er der
> tradition for at opfatte 7/3 som en måde at skrive kvotineten (tallet)
> på, og ikke som et regneudtryk. I udtrykket med minus derimod må man
> opfatte det skrevne som et regneudtryk idet resultatet (differensen)
> ville blive skrevet som »4«.
Jeg mener stadig det er en unaturlig skelnen der mere handler om
hvordan man inutitivt opfatter det skrevne (hvilket folk følgelig ikke
behøver være enige om) end hvad der matematisk sker med det hele.
Jeg mener at aritmetik må opfattes som en formel teori med lighed. Så
forestiller man sig at der er en underliggende model hvis elementer vi
kalder tal, og en tilhørende fortolkningsfunktion der tildeler et tal
til hvert (meningsfuldt) udtryk. "2" er et udtryk; det samme er "6/3"
og "5-3". Man kan vise at aritmetikkens aksiomer medfører at de tre
udtryk må afbildes over i samme abstrakte element, men i alle tre
tilfælde er det samme afbildning der bruges.
Den eneste forskel er at "2" er et udtryk der består af kun ét symbol,
mens "6/3", "5-3", "1,(9)", "\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n" m.v. består af
flere symboler. Aksiomerne og definitionerne bag symbolbrugen vil så
normalt kræve et vist forhold mellem betydningen af hele udtrykket og
betydningen af de mindre udtryk det består af. Men fortsætter vi ad
den vej, må vi putte "42" i samme kategori som "5-3", nemlig mængden
af ikke-primitive udtryk - thi "42" består jo af symbolerne "4" og
"2".
Det er vigtigt bemærke at betydningen af "5-3" ikke er "2". Der er
tale om at betydningen af "5-3" er den samme som betydningen af "2".
Selve betydningen kan vi ikke henvise til på anden måden end ved at
præsentere et udtryk der har den som betydning - men det gør ikke
betydningen identisk med udtrykket.
[Bortset fra at man for tilstrækkelig velopdragne teorier kan konstruere
metamodeller hvor betydninger er særlige "normalformede" udtryk,
således at nogen udtryk faktisk *er* deres egen betydning. Men efter
min platoniske overbevisning er det ikke sådan en model der er den
"ægte" model for matematikken. Den har det nemlig svært hvis den skal
udvides til at virke i en matematik hvor udvalgsaksiomet gælder].
--
Henning Makholm "Nett hier.
Aber waren Sie schon mal in Baden-Württemberg?"
| |
Lasse Reichstein Nie~ (13-09-2002)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 13-09-02 16:45 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
God beskrivelse.
> Men fortsætter vi ad
> den vej, må vi putte "42" i samme kategori som "5-3", nemlig mængden
> af ikke-primitive udtryk - thi "42" består jo af symbolerne "4" og
> "2".
Her vil en der har lavet en parser så omgående tænke: "42" består af
to tegn men er et "token" mens "5-3" består af tre tokens, hvert
bestående af et tegn.
Altså man kan lave en model hvor der er et mellemskridt mellem symbol
og udtryk, f.eks. kaldet tokens eller basale enheder eller noget helt
tredje, og hvor "42" er et af disse. I sådan et system vil "42" være
et basalt udtryk mens "5-3" er et sammensat udtryk, sammensat af tre
basale enheder.
Det er ikke helt så søgt endda. For at tildele mening/værdi (korrekt)
til "12*34" skal man parse det rigtigt.
Symbolerne "1" og "2" ved siden af hinanden har værdierne et og to og
tilsammen står de for tallet tolv. På samme måde vil "34" stå for
fireogtredive, og "*" siger at værdierne skal ganges og giver fire
hundrede og otte.
Hvis man parser udtrykket forkert, så kan man sige at "1" har værdien
et, "2*3" giver seks og "4" har værdien fire. Så ved vi at et, seks og
fire i rækkefølge er tallet et hundrede og fireogtreds.
I den rigtige fortolkning binder sammensætning af talsymboler stærkere
end alt andet, hvilket giver en ranginddeling af udtryk. Istedet for
at trække grænsen mellem symboler og sammensatte udtryk kan man så
sætte grænsen over sammensætning af tal.
/L 'Sidste mand til enden af tangenten er en våd hund!'
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Henning Makholm (16-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 16-09-02 10:45 |
|
Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Men fortsætter vi ad
> > den vej, må vi putte "42" i samme kategori som "5-3", nemlig mængden
> > af ikke-primitive udtryk - thi "42" består jo af symbolerne "4" og
> > "2".
> Her vil en der har lavet en parser så omgående tænke: "42" består af
> to tegn men er et "token" mens "5-3" består af tre tokens, hvert
> bestående af et tegn.
Det er en komplicering af teorien, som jeg ikke synes medfører nogen
gevinst. Konkret syntaks (inkl de præcedensspørgsmål du fremfører) er
uinteressant, det er bare et spørgsmål om konvention.
> I den rigtige fortolkning binder sammensætning af talsymboler stærkere
> end alt andet, hvilket giver en ranginddeling af udtryk.
Det er ikke anderledes en vedtægten om at multiplikation binder
stærkere end addition.
--
Henning Makholm "Hi! I'm an Ellen Jamesian. Do
you know what an Ellen Jamesian is?"
| |
Jesper Harder (13-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jesper Harder |
Dato : 13-09-02 00:49 |
|
Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk> writes:
> Henning Makholm skrev:
>
>>> Står det under netværk?
>>Aut crede aut non.
>
> Jeg bliver mere og mere skeptisk over for den bog
Når du når frem til kapitel 12, så fortæl lige hvordan de får DTP og
LaTeX ind under netværksprogrammering. Jeg er nysgerrig!
| |
Martin Bundgaard (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 11-09-02 20:11 |
|
> hva' er saa lige forskellen mellem 0.99999999......... og 2-2 ?
Emnet er decimalrepræsentationer af tal, og der kvalificerer 2-2 ikke just.
-mb
| |
Magnus Dreyer (16-09-2002)
| Kommentar
Fra : Magnus Dreyer |
Dato : 16-09-02 07:39 |
|
"Kristian Damm Jensen" <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> skrev i en
meddelelse news:3D7F3B0B.CAD72A15@MOVEcgey.com...
> Martin Moller Pedersen wrote:
> >
> > In <znuoj03e.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
writes:
> >
> > >"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
> >
> > >> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
> >
> > >Nej. Prøv :)
> > >/L
> >
> > 2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
>
> 2-2 er ikke et tal, men et regneudtryk. Ja, vi er ude på overdrevet.
>
Så er 0 heller ikke et tal. Det er et tegn der repræsenterer væriden 0 det
er ikke 0.
| |
Søren Galatius Smith (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Søren Galatius Smith |
Dato : 11-09-02 11:12 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >
> > måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> > skrives på mere end én måde.
Dvs tal paa formen j/10^n ?
| |
Kristian Damm Jensen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 11-09-02 13:45 |
|
Søren Galatius Smith wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
>
> > Jeppe Stig Nielsen wrote:
> > >
> > > måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> > > skrives på mere end én måde.
>
> Dvs tal paa formen j/10^n ?
Nej, mere generelt.
1/50 falder ind under Jeppes form, men ikke din.
--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.
| |
Simon Kristensen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Simon Kristensen |
Dato : 11-09-02 14:09 |
|
Kristian Damm Jensen <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> writes:
> Søren Galatius Smith wrote:
> >
> > Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> >
> > > Jeppe Stig Nielsen wrote:
> > > >
> > > > måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> > > > skrives på mere end én måde.
> >
> > Dvs tal paa formen j/10^n ?
>
> Nej, mere generelt.
>
> 1/50 falder ind under Jeppes form, men ikke din.
2/100? Generelt, antag at m < n og skriv
j/(2^n 5^m) = (j 5^n-m)/10^n,
og tilsvarende for n<m. Det giver Jeppes tal på Sørens form.
Venligst
Simon
--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin
| |
Henning Makholm (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 11-09-02 15:16 |
|
Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>
> Generelt, antag at m < n og skriv
> j/(2^n 5^m) = (j 5^n-m)/10^n,
> og tilsvarende for n<m.
Eller i almindelighed
j/(2^n*5^m) = (j*5^n*2^m)/10^(m+n)
--
Henning Makholm "... and that Greek, Thucydides"
| |
Kristian Damm Jensen (12-09-2002)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 12-09-02 10:39 |
|
Simon Kristensen wrote:
>
> Kristian Damm Jensen <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> writes:
>
> > Søren Galatius Smith wrote:
> > >
> > > Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> > >
> > > > Jeppe Stig Nielsen wrote:
> > > > >
> > > > > måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> > > > > skrives på mere end én måde.
> > >
> > > Dvs tal paa formen j/10^n ?
> >
> > Nej, mere generelt.
> >
> > 1/50 falder ind under Jeppes form, men ikke din.
>
> 2/100? Generelt, antag at m < n og skriv
>
> j/(2^n 5^m) = (j 5^n-m)/10^n,
>
> og tilsvarende for n<m. Det giver Jeppes tal på Sørens form.
I stand corrected.
Jeg antog implicit, at når vi taler om decimalbrøker, så taler vi om
*uforkortelige* decimalbrøker.
Det er en almindelig antagelse, men det er rigtig nok ikke almindeligt
at den er implicit.
--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-09-02 21:36 |
|
Søren Galatius Smith wrote:
>
> > > måde som decimalbrøk. Faktisk kan ethvert tal på formen j/(2^n·5^m)
> > > skrives på mere end én måde.
>
> Dvs tal paa formen j/10^n ?
Ja ja ja, jeg var påvirket af den gamle diskussion om hvilke *uforkorte-
lige* brøker p/q der kunne skrives som endelige decimalbrøker.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jesper Harder (11-09-2002)
| Kommentar
Fra : Jesper Harder |
Dato : 11-09-02 12:37 |
|
tusk@daimi.au.dk (Martin Moller Pedersen) writes:
> In Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
>
>>"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:
>
>>> Kan 0 ikke skrives på mere end én måde?
>
>>Nej. Prøv :)
>
> 2-2 er en anden maade at skrive 0 paa.
Men det er ikke en decimalbrøk, som var forudsætningen i det oprindelige
udsagn om 0.
| |
Martin Bundgaard (10-09-2002)
| Kommentar
Fra : Martin Bundgaard |
Dato : 10-09-02 17:49 |
|
> Vi ved jo allesammen, at fx.1/3 = 0,(3) (jeg skriver det periodiske
> ciffer i parentes).
(Faktisk er det samme problemstilling, som med 1 = 0,999...)
Det grundlæggende problem er at decimalrepræsentationen af et reelt tal er
"defekt" i den forstand, at visse tal kan repræsenteres på mere end een
måde. Der er altså ikke en 1-1 korrespondence mellem "de egentlige tal" og
decimal repræsentationerne. Hvilke tal det går galt med afhænger af hvilken
base vi benytter. I decimalrepræsentationen er det 10, men vi kunne også
overveje f.eks. base 3, hvor problemet med 1/3 = 0.333... forsvinder, da vi
der har 1/3 = 0.1. Der er altså ikke noget galt med de reelle tal, kun med
vores måde at visualisere dem på.
Martin Bundgaard
| |
|
|