---

Jeg har med stor fornøjelse læst indlæggene i denne nyhedsgruppe og
fornemmer, at der sidder adskillige debattører med lyst til tal. Derfor
denne lille udfordring:

På ferietur til Barcelona undgår man ikke et besøg i Katedralen "Sagrada
Familia", som er baseret på Antonio Gaudis modernistiske arkitektur. Kirken
siges at være fuld af symbolske hentydninger og en hyldest til naturen. På
passionsfacaden, som er der, hvor man går ud af kirken efter et besøg i
tårnene, findes en tavle bestående af 16 kvadrater med hver sit tal i,
således:

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

Jeg behøver vel ikke at gå i detaljer med evt. løsninger på dette, men det
vil nok overraske enkelte, at man kan blive ved med at finde
regelmæssigheder.

Men jeg vil forsøge mig med et spørgsmål: Er dette guddommeligt?

Spørgsmålet kan udbygges med endnu ét: Kan man konstruere sådan en talrebus
på grundlag af matematik?

Ja, det er blot ment som en lille inspiration og ikke polemiserende omkring
videnskab og religion.

Edvard

Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.384 / Virus Database: 216 - Release Date: 21-08-2002


---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.384 / Virus Database: 216 - Release Date: 21-08-2002

---

"Edvard Christoffersen" <edv@worldonline.dk> writes:

> Jeg har med stor fornøjelse læst indlæggene i denne nyhedsgruppe og
> fornemmer, at der sidder adskillige debattører med lyst til tal. Derfor
> denne lille udfordring:
>
> På ferietur til Barcelona undgår man ikke et besøg i Katedralen "Sagrada
> Familia", som er baseret på Antonio Gaudis modernistiske arkitektur. Kirken
> siges at være fuld af symbolske hentydninger og en hyldest til naturen. På
> passionsfacaden, som er der, hvor man går ud af kirken efter et besøg i
> tårnene, findes en tavle bestående af 16 kvadrater med hver sit tal i,
> således:
>
> 1 14 14 4
> 11 7 6 9
> 8 10 10 5
> 13 2 3 15

Man kalder disse kvadrater for "magiske kvadrater". De har været
meget populære i middelalderen, hvor nogle tillagde dem magiske
kræfter. Se evt. http://www.mathpuzzle.com/masquare.htm , som viser
Albrect Durers billede "Melancholia" fra 1514, som indholder et magisk
kvadrat, der angiver årstallet i de to midterste felter i den
nedererste række.

I reglen skal et magisk kvadrat (modsat, det herover viste) bestå af
forskellige tal, typisk fra 1 op til n^2, hvor n er sidelængden af
kvadratet. Desuden skal summen af tallene i hver søjle, række og
diagonal være den samme. Herover er værdien 33. Durers kvadrat er et
ægte magisk kvadrat med sum 34.

> Jeg behøver vel ikke at gå i detaljer med evt. løsninger på dette, men det
> vil nok overraske enkelte, at man kan blive ved med at finde
> regelmæssigheder.
>
> Men jeg vil forsøge mig med et spørgsmål: Er dette guddommeligt?

Nej.

> Spørgsmålet kan udbygges med endnu ét: Kan man konstruere sådan en talrebus
> på grundlag af matematik?

Ja da. Matematikere har beregnet metoder til at lave magiske
kvadrater med alle sidelænger over 2. Jeg selv ynder følgende metode:
Lav to kvadrater, men i stedet for at de indeholder tallene fra 1 til
n^2, så indeholder hvert kvadrat tallene fra 0 til n-1 n gange hver.
Summene af rækker, søjler og diagonaler skal være konstant i disse,
hvilket f.eks. opnås ved at lade hver række og søjle indeholde hvert
tal en gang. Desuden skal de par, der opstår ved at tage tallene fra
tilsvarende positioner i de to kvadrater være forskellige. Et
eksempel for 4x4 kvadrater er:

0321 0213
2103 3120
1230 2031
3012 1302

Læg mærke til at det andet kvadrat er en spejling af det første over
den ene diagonal. Det er ikke altid det giver forskellige par, men
det virker her. For at konstruere det færdige kvadrat laves tallet i
hvert felt på følgende måde: 4*(tallet fra første kvadrat)+(tallet i
andet kvadrat)+1. Altså:

1 15 10 8
12 6 3 13
7 9 16 2
14 4 5 11

Udover at have ens sum i rækker, søjler og diagonaler, er summen også
den samme for alle sæt af fire tal, som sidder som hjørnerne i et
kvadrat, dvs. alle de små 2x2 kvadrater, de fire hjørner, samt
hjørnerne i de 4 3x3 kvadrater.

Det kan tage lidt pusleri at lave de to kvadrater, men der er
særtilfælde, der kan laves systematisk. F.eks. hvis sidelængden er
ulige:

For ulige sidelænge n, lav et kvadrat hvor rækken 0,1,...,n-1 er i
midten og de andre er rækker forskydes med et felt op og ned,
f.eks. for n=5:

23401
12340
01234
40123
34012

Det andet kvadrat fås ved at rotere dette 90 grader.

Hvis et kvadrat har sidelængde m*n, kan man konstruere det ud fra
kvadrater for sidelængerne m og n. Det gøres også ved at lave to
kvadrater og sætte dem sammen, som vist herover. Det første laves på
følgende måde: Tag mxm kvadratet og træk 1 fra alle tallene. Sæt
derefter n^2 kopier af dette ved siden af og ovenpå hinanden til et
(m*n)x(m*n) kvadrat. Det andet fås på følgende måde: Tag nxn
kvadratet og træk 1 fra alle tallene. Erstat nu hvert felt (med værdi
x) med et mxm kvadrat, hvor alle felterne har værdien x. De to
kvadrater kombiners som før. Eksempel: Et 9x9 kvadrat konstrueres ud
fra to 3x3 kvadrater. Vi bruger dette 3x3 kvadrat (som er lavet med
den førbeskrevne metode):

816
357
492

Første kvadrat:

705705705
246246246
381381381
705705705
246246246
381381381
705705705
246246246
381381381

Andet kvadrat:

777000555
777000555
777000555
222444666
222444666
222444666
333888111
333888111
333888111

I kan selv få fornøjelsen af at sætte dem sammen. Det giver et
anderledes 9x9 kvadrat end man får ved den tidligere beskreven metode
for ulige sidelængder.

Vi kan altså nu konstruere kvadrater for alle ulige tal, samt for tal
af formen 4^m*n, hvor n er ulige (ved at bruge 4x4 kvadratet, der er
vist ovenfor). Det er ikke svært at lave et 8x8 kvadrat, så det giver
os kvadraterne af formen 8x4^m*n, så vi mangler altså bare for tal af
formen 2*n, hvor n er ulige (f.eks 6). Der findes også en systematisk
metode for disse, men jeg husker ikke alle detaljerne. Så jeg vil
lade det være en opgave til den interesserede læser at lave f.eks. et
6x6 kvadrat. Advarsel: Det er ikke så let, som det lyder, men det kan
lade sig gøre.

   Torben Mogensen (torbenm@diku.dk)

---

"Edvard Christoffersen" <edv@worldonline.dk> writes:

> 1 14 14 4
> 11 7 6 9
> 8 10 10 5
> 13 2 3 15

Jeg er ikke lige i stand til at tænke kreativt lige nu, men hvad er
der af andre reglmæssigheder end at det er et magisk kvadrat med
summen 33.

Om magiske kvadrater:
<http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html>

Et mere advanceret tilfælde:
<http://mathworld.wolfram.com/FranklinMagicSquare.html>

> Men jeg vil forsøge mig med et spørgsmål: Er dette guddommeligt?

Nej, Gud er ikke nødvendig til den slags tallege.

> Spørgsmålet kan udbygges med endnu ét: Kan man konstruere sådan en talrebus
> på grundlag af matematik?

Ja, se ovenstående link til Mathworld.

--
Peter Makholm | There are 10 kinds of people. Those who count in
peter@makholm.net | binary and those who don't
http://hacking.dk |

---

> Jeg er ikke lige i stand til at tænke kreativt lige nu, men hvad er
> der af andre reglmæssigheder end at det er et magisk kvadrat med
> summen 33.

Sådan lidt hurtigt rendt over:
At summen i de fire hjørnekvadrater samt midterkvadratet også er 33, at
summen af hjørnetallene giver 33, at de vandrette tal parvis giver 15 og 18,
at to tal i diagonalen har samme sum som det talpar der står ortogonalt ex.
1+7 = 3+5 eller 13+10=14+9, at første tal i første række+ sidste i
anden+første i tredie + sidste i fjerde også har summen 33 - samt omvendt
sidste i første etc. Kvadratets indskrevne kvadrat - 14+9+5+3+2+8+11+14 -
giver 2x33.
Men hvad der gøælder for alle magiske kvadrater af ovennævnte kan jeg ikke
lige gennemskue.

---

In an article of 6 Sep 2002 Rømer wrote:

> > Jeg er ikke lige i stand til at tænke kreativt lige nu, men hvad er
> > der af andre reglmæssigheder end at det er et magisk kvadrat med
> > summen 33.
>
> Sådan lidt hurtigt rendt over:
> At summen i de fire hjørnekvadrater samt midterkvadratet også er 33, at
> summen af hjørnetallene giver 33

Og summen af de to midterste tal til venstre og højre giver også 33,
ligeledes med to midterste øverst og nederst.

> at første tal i første række+ sidste i anden+første i tredie + sidste
> i fjerde også har summen 33 - samt omvendt sidste i første etc.

Desværre ikke tilsvarende lodret...

> Kvadratets indskrevne kvadrat - 14+9+5+3+2+8+11+14 - giver 2x33.

Aha.

Derudover giver de fire små hjørnekvadrater også en sum hver på 33.

--
Uffe Holst

---

Peter Makholm skrev:

>Jeg er ikke lige i stand til at tænke kreativt lige nu, men hvad er
>der af andre reglmæssigheder end at det er et magisk kvadrat med
>summen 33.

Og så er der endda gentagelser.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Tak for meget indsigtsfulde kommentarer til mit indlæg. Mit udgangspunkt er
den klassiske musik, hvor specielt J. S. Bach benytter sig af talsymbolik i
musikken. Han benytter sig af talforhold der knytter sig til alfabetet (det
latinske, hvor i og j er det samme bogstav) og laver således mere eller
mindre åbenbare analogier i det musikalske stof. Det kan være længden (antal
takter) af et motiv eller en formmæssig inddeling af musiksatserne, således
at han putter en slags hemmelige budskaber (navne) ind i musikken. Det kan
også være datoer (for en uropførelse af et bestilt værk). Dertil kommer det
helt simple at lave musik over tonenavne, eksmpelvis B-a-c-h

For Bach gælder det at han hylder det guddommelig princip, han kan finde på
at lave en lille tællefejl - indimellem - fordi kun Gud har ret til at være
perfekt, påstår da i hvert fald Karl Aage Rasmussen i en bog om emnet.

Derfor spurgte jeg til det magiske kvadrat - som jeg nu ved det hedder - som
altså er opsat ved en kirke, hvilket fik mig til at associere lidt til det
med den symbolske tolkning omkring ufuldstændigheden i det menneskeskabte.
Min tanke er om der ligger en signifikans i det faktum at tallene 12 og 16
er udeladt og erstattet af 10 og 14 (som optræder to gange hver)?

Og jeg kan ikke selv umiddelbart få øje på svaret !!

Jeg er da ganske imponeret over at få et kompetent, ja flere, svar på så
kort tid. Og jeg vil gå videre med de anviste internet links. Min interesse
grundlægger sig altså ikke på matematikken i streng faglig forstand - mere
hobbybetonet, kan man sige - og jeg ved da at den slags kan være skrækkeligt
irriterende for sande fagfolk, især hvis man bruger ord som
"regelmæssigheder" og dette er sat på plads med tallet 33 på kryds og tværs
i små kvadrater og hvad man eller kan finde. Nu må jeg lige studere de
omtalte sider, - det bliver spændende!

Tak for svarene!


---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.384 / Virus Database: 216 - Release Date: 21-08-2002