---

HEjsa folkens

må tilstå min matematik ikke er hvad den har været, jeg har brug for
løsningen på 2 nedenstående opgaver. Løsningen vil naturligvis blive
modtage med kyshånd, varme tanker, og megen taknemmelighed.

1:

I en papkasse ligger et stort antal løse sokker. Nogle af sokkerne er røde;
de øvrige er blå. Det oplyses, at det samlede antal sokker ikke overstiger
1993. Endvidere oplyses det, at sandsynligheden for at trække to sokker af
samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen er .
Hvad er efter de foreliggende oplysninger det største antal røde sokker,
der kan befinde sig i kassen?

2:

(2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3



på forhånd tak

- Tonny, www.jegergud.dk

---

Tonny <tonny@cybercity.dk> writes:
> 1:
>
> samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen er .

Hvad er sandsynligheden?

> 2:
>
> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3

De vil nok ikke have dig til at løse en generel tredjegradslingning.
Prøv nogle simple tal, f.eks. x=0 eller lignende der gør ligningen
simpel (bare for nu ikke at give svaret direkte).

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> wrote in
news:elcy8eow.fsf@hotpop.com:

> Tonny <tonny@cybercity.dk> writes:
>> 1:
>>
>> samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen
>> er .
>
> Hvad er sandsynligheden?

godt spørgsmål, det står der faktisk ikke... opgaven hermed annuleret...

>> 2:
>>
>> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3
>
> De vil nok ikke have dig til at løse en generel tredjegradslingning.
> Prøv nogle simple tal, f.eks. x=0 eller lignende der gør ligningen
> simpel (bare for nu ikke at give svaret direkte).
>
> /L

jeg er generelt en matematisk rimelig svagtbegavet person (5 år siden gym,
og allerede glemt det meste).

(2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3

hvis x=0 giver det

(2*0-4)^3+(4*0-2)^3=(4*0+2*0-6)^3 <=>

-4^3+(-2)^3=(-6)^3

<=>

-64-72=216

<=>

-136=216 ??

- tonny, www.jegergud.dk

---

Tonny <tonny@cybercity.dk> wrote:
.....
> jeg er generelt en matematisk rimelig svagtbegavet person (5 år siden gym,
> og allerede glemt det meste).
>
> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3

Hvad med at substituere x - 1 = u?:

(2u - 2)^3 + (4u + 2)^3 = (6u)^3 <=>

8 * (u - 1)^3 + 8 * (2u + 1)^3 = 216 * u^3

og så prøve u = 0??

--
med venlig hilsen
Hans

---

h2vh@post6.tele.dk (Hans H.V. Hansen) wrote in
news:1fh1sh4.1r7jvjinbt97cN%h2vh@post6.tele.dk:

> Tonny <tonny@cybercity.dk> wrote:
> ....
>> jeg er generelt en matematisk rimelig svagtbegavet person (5 år siden
>> gym, og allerede glemt det meste).
>>
>> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3
>
> Hvad med at substituere x - 1 = u?:
>
> (2u - 2)^3 + (4u + 2)^3 = (6u)^3 <=>
>
> 8 * (u - 1)^3 + 8 * (2u + 1)^3 = 216 * u^3
>
> og så prøve u = 0??
>

det er uden tvivl formentlig en fremragende ide, hvordan vil det komme til
at se ud i praksis ?

ja undskyld hvis jeg lyder som en komplet idiot, det er ikke lige mit
speciale, tilgengæld er jeg herregod til at spille guitar.

- Tonny, www.jegergud.dk

---

Tonny <tonny@cybercity.dk> wrote:


> det er uden tvivl formentlig en fremragende ide, hvordan vil det komme til
> at se ud i praksis ?

u = 0 tilfredsstiller jo ligningen:
[Højre side: 8 * (-1)^3 + 8 * 1^3 = 0
Venstre side: 216 * 0^3 = 0]

u = 0 er altså rod i 'u-ligningen', der har samme løsningsmængde som
'x-ligningen'

Idet u = x - 1, må altså 0 = x - 1 <=> x = 1 være rod i den oprindelige
ligning, jf. i øvrigt Allans forslag.

Hvis du (også) skal afgøre, om der er flere rødder, må du vel udføre
potensopløftningerne, bringe ligningen på formen f(x) = 0, dividere med
(x - 1) og undersøge, om den resulterende 2.gradsligning har (reelle?)
rødder.


--
med venlig hilsen
Hans

---

"Tonny" <tonny@cybercity.dk> wrote in message
news:Xns926D346AA230tonnycybercitydk@212.242.40.196...
> >> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3
>
> hvis x=0 giver det
>
>
> -136=216 ??
>

Prøv med x=1 så ... hintet var at du skulle prøve med forskellige simple
tal, som 0, 1, -1 osv.

---

Tonny wrote:

> 1:
>
> I en papkasse ligger et stort antal løse sokker. Nogle af
> sokkerne er røde; de øvrige er blå. Det oplyses, at det
> samlede antal sokker ikke overstiger 1993. Endvidere
> oplyses det, at sandsynligheden for at trække to sokker
> af samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to
> sokker fra kassen er . Hvad er efter de foreliggende
> oplysninger det største antal røde sokker, der kan
> befinde sig i kassen?

Den opgave er en kreativ opgave. Den er svær, så vær ikke
ked af at du ikke kan løse den. Opgaven er i øvrigt ikke
korrekt gengivet her. Den manglende sandsynlighed er en 1/2.
Hvilket på opgavesiden er skrevet ved hjælp af et gif-billede.

Hint (til at snyde): 1993 er et årstal. I konkurrencer
har det altid været populært, at flette konkurrencens
afholdelsesår ind.

Hint 2: Google er din ven.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> > I en papkasse ligger et stort antal løse sokker. Nogle af
> > sokkerne er røde; de øvrige er blå. Det oplyses, at det
> > samlede antal sokker ikke overstiger 1993. Endvidere
> > oplyses det, at sandsynligheden for at trække to sokker
> > af samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to
> > sokker fra kassen er . Hvad er efter de foreliggende
> > oplysninger det største antal røde sokker, der kan
> > befinde sig i kassen?
>
> Den opgave er en kreativ opgave. Den er svær, så vær ikke
> ked af at du ikke kan løse den. Opgaven er i øvrigt ikke
> korrekt gengivet her. Den manglende sandsynlighed er en 1/2.
> Hvilket på opgavesiden er skrevet ved hjælp af et gif-billede.
>
> Hint (til at snyde): 1993 er et årstal. I konkurrencer
> har det altid været populært, at flette konkurrencens
> afholdelsesår ind.
>
> Hint 2: Google er din ven.

Hint 3: Du kan læse opgaveteksten på
http://www.imf.au.dk/georg-mohr/opg/node3.html

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Tonny" <tonny@cybercity.dk> wrote in message
news:Xns926D19FC9F56Atonnycybercitydk@212.242.40.196...
> HEjsa folkens
>
> må tilstå min matematik ikke er hvad den har været, jeg har brug for
> løsningen på 2 nedenstående opgaver. Løsningen vil naturligvis blive
> modtage med kyshånd, varme tanker, og megen taknemmelighed.
>
> 2:
>
> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3

<=>

(2x-4)^3+(4x-2)^3 = (6x-6)^3

En 3.gradsligning med 3 rødder - reelle eller komplekse.

2x = u => -18u^3+126u^2-252u+144 = 0
Løsningen på en 3.gradsligning findes i mange lærebøger....

u = 1, 2, 4 => x = 1/2, 1, 2

mvh
Lars

PS. har sat 2x = u for nemmere at kunne ekspandere udtrykkene.

---

> x = 1/2, 1, 2


Det får jeg også løsningerne til


Jørgen

---

Tonny <tonny@cybercity.dk> writes:

> 1:
>
> I en papkasse ligger et stort antal løse sokker. Nogle af sokkerne er røde;
> de øvrige er blå. Det oplyses, at det samlede antal sokker ikke overstiger
> 1993. Endvidere oplyses det, at sandsynligheden for at trække to sokker af
> samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen er [1/2].
> Hvad er efter de foreliggende oplysninger det største antal røde sokker,
> der kan befinde sig i kassen?

Lad os kalde antallet af røde sokker r, og antallet af blå sokker b.
Sandsynligheden for at trække to røde sokker er r/(r+b)*(r-1)/(r+b-1).
Sandsynligheden for at trække to blå sokker er b/(r+b)*(b-1)/(r+b-1).
Samlet er det r/(r+b)*(r-1)/(r+b-1)+b/(r+b)*(b-1)/(r+b-1) =
(r(r-1)+b(b-1))/((r+b)(r+b-1)) = (r^2+b^2-r-b)/(r^2+b^2+2rb-r-b)

Dette skal give 1/2, så vi løser

(r^2+b^2-r-b)/(r^2+b^2+2rb-r-b) = 1/2
<=> 2(r^2+b^2-r-b) = (r^2+b^2+2rb-r-b)
<=> r^2+b^2-2rb-r-b = 0
<=> r^2-(2b+1)r+(b^2-b) = 0
<=> r = (2b+1 +/- sqrt((2b+1)^2-4(b^2-b)))/2
<=> r = b+1/2 +/- sqrt(8b+1)/2

Ligningen er symmetrisk i r og b, så vi kan antage at r>b (og dermed +
i ligningen). Da r skal være heltalligt, skal 8b+1 være et
kvadrattal. Det gælder for

b=1: r=3
b=3: r=6
b=6: r=10
b=10: r=15
...
b=741: r=780
b=780: r=820
b=820: r=861
b=861: r=903
b=903: r=946
b=946: r=990
b=990: r=1035
b=1035: r=1081
...

Den største sum, der dog højest er 1993 er b=946, r=990, som giver
1936. Altså er der højest 990 røde sokker.


> 2:
>
> (2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3

Jeg vil løse denne ligning på en generel måde. Vi starter med at
gange ud:

(2x-4)^3+(4x-2)^3=(4x+2x-6)^3
<=> 8x^3-16x^2+32x-64+64x^3-32x^2+16x-8 = 216x^3-216x^2+216x-216
<=> 144x^3-168x^2+168x-144 = 0
<=> 6x^3-7x^2+7x-6 = 0

Vi gætter på at der findes en rationel rod. Denne er da af formen
p/q, hvor både p og q går op i 6. Det giver mulighederne
1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3, 3, 3/2, 6 og de tilsvarende negative.

Vi prøver

x = 1: O.K.

Vi dividerer nu med (x-1) for at få en andengradsligning:

(6x^3-7x^2+7x-6)/(x-1) = 6x^2-x+6

som vi løser på sædvanlig vis:

x = (-1 +/- sqrt(1-4*6*6))/2

som ikke har nogen løsning, da diskriminanten er negativ. Altså er
x=1 den eneste løsning.

Der findes også en generel formel for løsning af
trediegradslingninger, men det er som regel en god ide at prøve at
finde en rationel rod først.

   Torben

---

> (6x^3-7x^2+7x-6)/(x-1) = 6x^2-x+6
>
> som vi løser på sædvanlig vis:
>
> x = (-1 +/- sqrt(1-4*6*6))/2
>
> som ikke har nogen løsning, da diskriminanten er negativ. Altså er
> x=1 den eneste løsning.

En 2. grads ligning vil altid ha' to løsninger (rødder). Disse kan være
reelle og/eller komplekse.

En 3. grads ligning vil altid ha' 3 løsninger ...
En 4. grads ligning vil altid ha' 4 løsninger ...

osv......

Lars

---

"Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:

> En 2. grads ligning vil altid ha' to løsninger (rødder). Disse kan være
> reelle og/eller komplekse.

Og for nu at være *helt* pedantisk: Disse behøver ikke at være forskellige.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> wrote in message
news:r8gu7px2.fsf@hotpop.com...
> "Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:
>
> > En 2. grads ligning vil altid ha' to løsninger (rødder). Disse kan være
> > reelle og/eller komplekse.
>
> Og for nu at være *helt* pedantisk: Disse behøver ikke at være
forskellige.

Dette ligger i og/eller.

Lars

---

Lars wrote:
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> wrote in
> message news:r8gu7px2.fsf@hotpop.com...
>> "Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:
>>
>>> En 2. grads ligning vil altid ha' to løsninger
>>> (rødder). Disse kan være reelle og/eller komplekse.
>>
>> Og for nu at være *helt* pedantisk: Disse behøver ikke
>> at være
> forskellige.
>
> Dette ligger i og/eller.

Nej.

--
Jens Axel Søgaard

---

Lars wrote:
>
> >
> > > En 2. grads ligning vil altid ha' to løsninger (rødder). Disse kan være
> > > reelle og/eller komplekse.
> >
> > Og for nu at være *helt* pedantisk: Disse behøver ikke at være
> forskellige.
>
> Dette ligger i og/eller.

Se, andengradsligningen

x² - 5x + 6 = 0

har sytten løsninger, nemlig

x=2,
x=3,
x=3,
x=2,
x=2,
x=3,
x=2,
x=3,
x=3,
x=2,
x=3,
x=2,
x=2,
x=2,
x=2,
x=2 og
x=3.

Nej, at tælle den samme løsning med flere gange giver kun mening hvis
man forklarer hvorfor. Forklaringen ligger i en faktorisering af det
givne polynomium i førstegradsfaktorer. En sådan faktorisering er
entydig, og hvis man arbejder over de komplekser tal, eksisterer den
også altid.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

>"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> wrote >
> x² - 5x + 6 = 0
>
> har sytten løsninger, nemlig
>
> x=2,
> x=3,
> x=3,
> x=2,
> x=2,
> x=3,
> x=2,
> x=3,
> x=3,
> x=2,
> x=3,
> x=2,
> x=2,
> x=2,
> x=2,
> x=2 og
> x=3.
>
> Nej, at tælle den samme løsning med flere gange giver kun mening hvis
> man forklarer hvorfor. Forklaringen ligger i en faktorisering af det
> givne polynomium i førstegradsfaktorer. En sådan faktorisering er
> entydig, og hvis man arbejder over de komplekser tal, eksisterer den
> også altid.

Okay Jesper der fik du mig hægtet af. Venligst forklar hvorfor vi endnu
engang i denne newsgroup er ude i overdrevet ??

Underordnet hvilket niveau du arbejder med algebra på, så vil en n. grads
ligning bestå af n løsninger/rødder - længere er den ikke.

Lars

---

"Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:

> Underordnet hvilket niveau du arbejder med algebra på, så vil en n. grads
> ligning bestå af n løsninger/rødder - længere er den ikke.

Det kommer da an på grundlegemet.

--
"I like you. You're funny and you're nicely shaped, and frankly it's
ludicrous to have these interlocking bodies and not... interlock.
Please remove your clothing now."

---

"Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:

> Underordnet hvilket niveau du arbejder med algebra på, så vil en n. grads
> ligning bestå af n løsninger/rødder - længere er den ikke.

Vrøvl. Ligningen x³+3x²+3x+1=0 har netop én løsning, nemlig x = -1.

Løsningsmængden har kardinalitet 1 - Antallet af løsninger er 1.

--
Peter Makholm | There are 10 kinds of people. Those who count in
peter@makholm.net | binary and those who don't
http://hacking.dk |

---

"Peter Makholm" <peter@makholm.net> wrote in message
news:8765y6fvru.fsf@xyzzy.adsl.dk...
> "Lars" <news@post.cybercity.dk> writes:
>
> > Underordnet hvilket niveau du arbejder med algebra på, så vil en n.
grads
> > ligning bestå af n løsninger/rødder - længere er den ikke.
>
> Vrøvl. Ligningen x³+3x²+3x+1=0 har netop én løsning, nemlig x = -1.
>
> Løsningsmængden har kardinalitet 1 - Antallet af løsninger er 1.

Jeg tror jeg har fanget Jeres pointe ...

En af de fundamentale læresætninger i algebra siger, at enhver polynomisk
ligning af n. grad har nøjagtig n løsninger/rødder. Hvoraf nogle kan være
rod mere end en gang. Rødderne kan være reelle og/eller komplekse.

Dvs: Ligningen x³+3x²+3x+1=0 har netop tre løsninger, nemlig x = -1, -1, -1


mvh
Lars

---

"Lars" <news@post.cybercity.dk> wrote in message
news:ajrnc7$vg$1@sunsite.dk...

> Dvs: Ligningen x³+3x²+3x+1=0 har netop tre løsninger, nemlig x
= -1, -1, -1

Huh?
Som Jeppe Stig Nielsen så smukt påpegede :), så har den altså også netop 17
løsninger, nemlig
x=-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1.

Sålænge man bare ser det som en ligning, så er det bare et åbent udsagn i x.
Et givet x er enten løsning eller ikke - det er ikke løsning "flere gange".
At sige at både -1 og -1 er løsninger giver altså ikke to løsninger.

Du blander det sammen med multipliciteten af rødderne, som stammer fra
antallet af ens faktorer i polynomiumsfaktoriseringen. Når den samme faktor
optræder flere gange, giver denne faktor kun anledning til én *løsning*.

Hvad med ligningen (x*x*x)^(1/3)==0 - har den så også tre løsninger, nemlig
x=0, x=0 og x=0?


Mvh. Bjarke