Niels Langager Ellegaard <gnalle@ruc.dk> writes:
> Når du går fra tilstand 1 til tilstand 2, flytter mandens tyngdepunkt
> sig i vandret retning. Det kan ikke lade sig gøre uden en vandret
> kraft. Sådan en kraft kan ikke forekomme så længe snoren er lodret :)
>
> Hvis man vil forklare hvordan det kan lade sig gøre at gynge, må man
> forklare hvordan at man kan opnå en tilstand, hvor mandens tyngdepunkt
> er placeret lige under toppunktet, men hvor snoret ikke er
> lodret. Derefter skal man finde den vandrette komponent af snorkraften
> og vise at den er forskellig fra nul.
Hmm nu vil jeg alligevel forsøge at give et bud på en udregning. Jeg
tør ikke love at den er fejlfri (og nu skal jeg nå toget), men det er
omtrendt det følgende jeg mener :)
|
| snor (med længden r^snor)
|
o
|
| arm (med længden r^arm)
-|-
/ | \
| x |-(:# <-hovede
\ /
---
x angiver massemidpunktet
Jeg regner i to dimensioner og tilnærmeret menneske med en skive med
masse m og enertimomentet I. Jeg lader phi_1 betegne vinkelen mellem
hovedet og arm, mens phi_2 angiver vinkelen mellem hovede og
lodret.
Jeg lader vektoren F=(F_x,F_y) betegne den kraft snoren yder på
personen gennem armen. Jeg lader x angive x-koordinaten for
massemidtpunktet og ser at
d^2/dt^2 x = F_x /m
Opgaven går nu ud på at placere personen i en tilstand hvor F_x er
forskellig fra 0. Dette vil nemlig medføre at x har en chance for at
ændre sig.
Jeg antager at personen har fuld kontrol over phi_1. (vinkelen mellem
hovede og arm). Lad os sige vatr personen (i et vist tidsrum)
vælger at styre phi_1 således at.
phi_1(t) = phi_1(0) + omega * t
Vinkelen mellem hovede og lodret er styret af styret af det
kraftmoment snoren yder på personen gennem armen.
d^2/dt^2 phi_2 = (F_x * r^arm_y - F_y r^arm_x) / I
Lad os nu kigge på et forsøg der starter i en ligevægtstilstand. Det
betyder at for t=0 gælder F_x = 0 og r_arm = 0. Dette medfører igen
at
d^2/dt^2 phi_2 = 0
(Bemærk denne udregning gælder kun for I>0). Så lige efter t=0 vil det
gælde (til første orden i t) at
phi_1(t) = phi_1(0) + omega * t
phi_2(t) = phi_2(t) + anden ordens led
Nu kan vi lade phi_3 angive vinkelen mellem arm og lodret
phi_3(t) = (phi_1(t) - phi_1(0)) - (phi_2(t) - phi_2(0))
= omega t + anden ordens led
Hvis vi lader phi_4 angiven snorens vinkel får vi (her har jeg snydt
lidt og rækkeudviklet sinus i hovedet).
phi_4(t) = r^arm / r^snor * phi_3(t) + anden ordens led
= r^arm / r^snor * omega * t + anden ordens led
Så vidt jeg husker gælder
F_x(t) = m * g * sin(phi_4(t)) + anden ordens led
= m * g * phi_4(t) + anden ordens led
= m * g * r^arm / r^snor * omega * t + anden ordens led
Dette giver sluttelig
x(t) = x(0) + 1/6 * m * g * r^arm / r^snor * omega * t^3
+ fjerde ordens led
Men ikke desto mindre vil persone gynge
--
Niels L Ellegaard
http://dirac.ruc.dk/~gnalle/