---

Hej!

Hvis jeg har en plan S i R3 givet ved følgende:
z = x+y+1 og x2+y2<=1
hvordan beregner jeg så arealet af S?

Mvh
Katrine

---

Scripsit "Katrine Grønhøj" <katrine@anarchy.dk>

> Hvis jeg har en plan S i R3 givet ved følgende:
> z = x+y+1 og x2+y2<=1
> hvordan beregner jeg så arealet af S?

Det du har er ikke en "plan" - som principielt er uendelig - men en
begrænset flade. Den er flad og begrænset af skæringen mellem planen
x+y-z+1=0 og cylinderen x^2+y^2=1 - altså en ellipse. Eftersom planen
er orienteret "pænt" i rummet, er det let at finde ellipseaksernes
endepunkter med sin geometriske intuition:

storaksen går fra (H,H,1+2H) til (-H,-H,1-2H)
lilleaksen går fra (H,-H,1) til (-H,H,1)
hvor H er kvadratroden af en halv.

Nu kan man udregne stor- og lilleaksens længder 2a og 2b, og ellipsens
areal bliver så pi*a*b.

--
Henning Makholm "Han råber og skriger, vakler ud på kørebanen og
ind på fortorvet igen, hæver knytnæven mod en bil,
hilser overmådigt venligt på en mor med barn, bryder ud
i sang og stiller sig til sidst op og pisser i en port."

---

Kan du ikke lige forklare, hvordan du kom frem til koordinaterne for stor-
og lilleaksens endepunkter. Det forstår jeg nemlig ikke helt.

Hvis jeg gør som du har foreslået, kan det så passe, at arealet bliver
pi*sqrt(3)?


"Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote in message
news:yahn0vo3qyv.fsf@tyr.diku.dk...
> Scripsit "Katrine Grønhøj" <katrine@anarchy.dk>
>
> > Hvis jeg har en plan S i R3 givet ved følgende:
> > z = x+y+1 og x2+y2<=1
> > hvordan beregner jeg så arealet af S?
>
> Det du har er ikke en "plan" - som principielt er uendelig - men en
> begrænset flade. Den er flad og begrænset af skæringen mellem planen
> x+y-z+1=0 og cylinderen x^2+y^2=1 - altså en ellipse. Eftersom planen
> er orienteret "pænt" i rummet, er det let at finde ellipseaksernes
> endepunkter med sin geometriske intuition:
>
> storaksen går fra (H,H,1+2H) til (-H,-H,1-2H)
> lilleaksen går fra (H,-H,1) til (-H,H,1)
> hvor H er kvadratroden af en halv.
>
> Nu kan man udregne stor- og lilleaksens længder 2a og 2b, og ellipsens
> areal bliver så pi*a*b.
>
> --
> Henning Makholm "Han råber og skriger, vakler ud på kørebanen
og
> ind på fortorvet igen, hæver knytnæven mod en
bil,
> hilser overmådigt venligt på en mor med barn, bryder
ud
> i sang og stiller sig til sidst op og pisser i en
port."

---

"Katrine Grønhøj" wrote:
>
> Kan du ikke lige forklare, hvordan du kom frem til koordinaterne for stor-
> og lilleaksens endepunkter. Det forstår jeg nemlig ikke helt.

Hmm...

Ligningen x²+y²=1 beskriver jo en lodret cylinder; faktisk det geo-
metriske sted for de punkter der har afstand præcis 1 fra z-aksen.

Planen z=x+y+1 er tydeligvis hverken lodret eller vandret. Derfor
skærer den cylinderen skråt. Du kan finde det højeste og det laveste
punkt på skæringskurven mellem cylinderen og planen. Altså det punkt
hvor z er maksimal hhv. minimal.

Man kan også sige at planen har normalvektoren (1,1,-1). Denne vektors
projektion på xy-planen er (1,1,0). Projektionen af storeaksen på xy-
planen må derfor have retningsvektor (1,1,0). Håber du kan følge mig,
ellers lav en tegning.

For at få en enhedsvektor (som slutter på cylinderen) normerer vi til
( sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 , 0 ) samt ( -sqrt(2)/2 , -sqrt(2)/2 , 0 ).
z-koordinaterne findes ved at bruge z=x+y+1.

På samme måde med lilleaksen.

Projektionen af store- og lilleaksen på xy-planen bliver faktisk et
kryds af typen × med de fire endepunkter (sqrt(2)/2)( ±1 , ±1 , 0 ).

Hvor er det træls at forklare geometri uden at tegne noget.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Katrine Grønhøj" wrote:
>
> Hvis jeg gør som du har foreslået, kan det så passe, at arealet bliver
> pi*sqrt(3)?

Ja. Den halve lilleakse er tydeligvis en radius i cylinderen, så b=1.
Den halve storeakse går fra ellipsens centrum (0,0,1) til punktet
( sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 , 1+sqrt(2) ) hvoraf dens længde er a=sqrt(3).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)