---

Hej


Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

På forhånd tak for hjælpen

Steffen

---

Steffen Møller <stm@klams.dk> writes:

> Hej
>
>
> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
> ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
> matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

Hej.

Hvis matricen A er symmetrisk har den en ortogonal basis af
egenvektorer. Hvis v er en af dens egenvektorer og S er den spejling
som sender v i -v (og fastholder v's ortogonalkomplement), har A og S
en fælles basis af egenvektorer og kommuterer derfor. Dermed er
SAS=A. Det giver en forklaring (lidt afhængig af, hvad du mener med
"udspænde en figur". Jeg går ud fra, at SAS vil udspænde den spejlede
figur).

Søren

---

"Steffen Møller" <stm@klams.dk> skrev i en meddelelse
news:4d55cuoqfk53co4n74v8qsem9f0b8rkfn9@4ax.com...

> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
> ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
> matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

TEGN! - og tegn først 2x2-tilfældet.

Kald matricen A og lad v være en egenvektor.

Det, der gør en egenvektor speciel, er, at
Av = kv,
hvor k er et eller andet tal.

Ligningen siger altså, at vektoren v flyttes over i kv af A.
Men det betyder, at v bare forlænges eller forkortes [*] afhængig af
om |k| er mindre eller større end nul. Altså, billederne af egenvektoren
v kommer alle til at ligge på samme linje - eller akse.

Men hvor kommer symmetrien ind?

For at se virkningen af w på en vilkårlig vektor skrives den op som en
linearkombination af en basis bestående af egenvektorer. Lav v, w og u være
egenvektorer med egenværdier r, s og t.

Hvis
l = av+bw+cu
er
Al = arv + bsv + stu.

For at godtgøre at billedmængden er symmetrisk om for eksempel u-aksen,
kan vi se på billedet af av+bw-cu:

A(av+bw-cu) = arv + bsv - stu

Billederne af av+bw+cu og av+bw-cu ligger altså symmetrisk placerede
om u-aksen.

--
Jens Axel Søgaard









[*] Hvis k er negativ vendes tillige retningen.

---

On Sun, 21 Apr 2002 13:22:02 +0200, "Jens Axel Søgaard"
<usenet@soegaard.net> wrote:

>
>"Steffen Møller" <stm@klams.dk> skrev i en meddelelse
>news:4d55cuoqfk53co4n74v8qsem9f0b8rkfn9@4ax.com...
>
>> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
>> ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
>> matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?
>

Mange tak for et godt svar - der er lige et par småting jeg ikke
forstår

>TEGN! - og tegn først 2x2-tilfældet.
>
>Kald matricen A og lad v være en egenvektor.
>
>Det, der gør en egenvektor speciel, er, at
> Av = kv,
>hvor k er et eller andet tal.
>
>Ligningen siger altså, at vektoren v flyttes over i kv af A.
>Men det betyder, at v bare forlænges eller forkortes [*] afhængig af
>om |k| er mindre eller større end nul. Altså, billederne af egenvektoren
>v kommer alle til at ligge på samme linje - eller akse.
>
>Men hvor kommer symmetrien ind?
>
>For at se virkningen af w på en vilkårlig vektor skrives den op som en
>linearkombination af en basis bestående af egenvektorer. Lav v, w og u være
>egenvektorer med egenværdier r, s og t.
>
>Hvis
> l = av+bw+cu
>er
> Al = arv + bsv + stu.r

Er Al ikke lig med arv + bsw + ctu?
- hvis nej hvorfor så ikke?

>
>For at godtgøre at billedmængden er symmetrisk om for eksempel u-aksen,
>kan vi se på billedet af av+bw-cu:
>
> A(av+bw-cu) = arv + bsv - stu
>
>Billederne af av+bw+cu og av+bw-cu ligger altså symmetrisk placerede
>om u-aksen.

Kan kan ikke følge dit argument her om hvorfor de to linier skulle
symmetrisk i forhold til 'u-aksen'

---

"Steffen Møller" <stm@klams.dk> skrev i en meddelelse
news:1um5cug2h9lrhii3p4ebhg7fbo5hu4l3b8@4ax.com...
> On Sun, 21 Apr 2002 13:22:02 +0200, "Jens Axel Søgaard"
> >"Steffen Møller" <stm@klams.dk> skrev i en meddelelse
> >news:4d55cuoqfk53co4n74v8qsem9f0b8rkfn9@4ax.com...

> >For at se virkningen af w på en vilkårlig vektor skrives den op som en
> >linearkombination af en basis bestående af egenvektorer. Lav v, w og u
være
> >egenvektorer med egenværdier r, s og t.
> >
> >Hvis
> > l = av+bw+cu
> >er
> > Al = arv + bsv + stu.r
>
> Er Al ikke lig med arv + bsw + ctu?
> - hvis nej hvorfor så ikke?

Trykfejl. Du har ret i at Al = arv + bsw + ctu (jeg eksperimenterede
lidt med forskellige betegnelser for at slippe for indices).

> >For at godtgøre at billedmængden er symmetrisk om for eksempel u-aksen,
> >kan vi se på billedet af av+bw-cu:
> >
> > A(av+bw-cu) = arv + bsv - stu
> >
> >Billederne af av+bw+cu og av+bw-cu ligger altså symmetrisk placerede
> >om u-aksen.

Hov. Det er da vist noget vrøvl, jeg skrev. De to vektorer ligger på hver
sin side
af et punkt P (=arv+bsv). For at komme fra den ene vektor til den anden
skal man følge retningen u gennem P. Symmetrien er altså om P i retningen
u.
Der er ikke tale om symmetri om u-aksen.

> Kan kan ikke følge dit argument her om hvorfor de to linier skulle
> symmetrisk i forhold til 'u-aksen'

Mit argument er meget simpelt og giver kun symmetri på én linje - du har
brug for symmetri i alle retninger. Hvis det er symmetri om et bestemt punkt
av på a-aksen, skal du vise, at man ved at variere b og c samtidig kan ramme
alle
punkterne på ellipsen. Du skal altså finde ud, af hvad b og c skal opfylde
for at
billedet ender på ellipsen.

--
Jens Axel Søgaard

---

On Sun, 21 Apr 2002 12:37:27 +0200, Steffen Møller wrote:

> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en ellipsoide
> - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne matrice udspænder
> symmetriakserne til den selvsamme figur?

Hmmm...jeg er ikke helt sikker på, hvad du mener. Vi er enige om, at en
ellipsoide er på formen (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1, hvor a,b,c>0. Bemærk,
at et generelt udtryk som ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0
"indeholder" en kvadratisk form, altså ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz.
Denne kan diagonaliseres (!) v.h.a. en speciel ortogonal matrix
(altså en matrix med determinant 1), og en sådan svarer netop til en
rotation. Smid substitutionen ind i udtrykket og brug "completing
the square" (god dansk oversættelse søges).

-> Michael Knudsen

---

"Michael Knudsen" <knudsen@imf.au.dk> skrev i en meddelelse
news:pan.2002.04.21.13.31.29.334225.1968@imf.au.dk...

"completing the square" (god dansk oversættelse søges).

Fuldstændiggørelse af kvadratet.

--
Jens Axel Søgaard

---

On Sun, 21 Apr 2002 12:37:27 +0200, Steffen Møller <stm@klams.dk>
wrote:

>Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
>ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
>matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

Tak for svarene, vi kæmper lige videre med dem.

Jeg sidder også med et andet problem.

Hvis jeg vil deformere en kugle over i en ellipsoide kan jeg gøre det
ved at gange en (vilkårlig) matrice på parameterfremstillingen af
kuglen. Det er ikke det store problem.

I opgaven bliver jeg også spurgt om jeg kan komme frem til den samme
ellipsoide på en anden måde, og det kan jeg ved at dreje kuglen F
vilkårligt inden jeg ganger deformationsmatricen A på.

matricen jeg ganger på er en ortonormal matrice som hedder
alpha := matrix(3,3,[+/-1,0,0, 0, cos(phi),-sin(phi),
0,sin(phi),cos(phi)]);

hvor phi er et fast tal, og maple er dejligt...

Men når jeg så ganger AF sammen og A,alpha,F sammen så får jeg
naturligvis ikke de samme matricer, men jeg får vel nøjagtigt samme
figur som bare er drejet i rummet? (med mindre jeg drejer med 2*Pi ->
alpha = I)

Eller hvad?

Hvis man nu forestiller sig at jeg deformerer F til en cigarformet
ellipsoide ved at trække meget ud af x-aksen. Hvis jeg så drejer
kuglen en kvart omgang (Pi/2), vil kuglen så stadig blive trukket ud
af x-aksen, eller vil den blive trukket ud af en af de andre akser?

Jeg har svært ved at se hvad det er der sker i maples plot, så jeg er
nødt til at bede om noget hjælp her


Steffen

---

Steffen Møller wrote:
> Hvis man nu forestiller sig at jeg deformerer F til en cigarformet
> ellipsoide ved at trække meget ud af x-aksen. Hvis jeg så drejer
> kuglen en kvart omgang (Pi/2), vil kuglen så stadig blive trukket ud
> af x-aksen, eller vil den blive trukket ud af en af de andre akser?

Det kommer an på hvilke rækkefølge du udfører operationerne i.

Rotation*deformation*vektor

vil deformere vektoren i laboratorie systemet, og rotere resultatet.
n
/
Fx. -> deformation langs x ---> rotation /
/


deformation*rotation*vektor

vil rotere vektoren, men så deformere den i laboratorie systemet.
n
n /
Fx. -> rotation / deformation langs x /


Fordi du ikke laver en deformation langs retningen som tidligere,
men med en vinkel ifht. retningen.

Men hvis du starter med en kugle, så vil rotationen jo ikke ændre
noget.

> Jeg har svært ved at se hvad det er der sker i maples plot, så
> jeg er nødt til at bede om noget hjælp her

Prøv at tegne det på et stykke ternet papir med et 1x1 kvadrat
som eksempel.

--
Carsten Svaneborg

---

On Sun, 21 Apr 2002 17:51:18 +0200, Carsten Svaneborg
<not_anywhere@on.the.net> wrote:

>Steffen Møller wrote:
>> Hvis man nu forestiller sig at jeg deformerer F til en cigarformet
>> ellipsoide ved at trække meget ud af x-aksen. Hvis jeg så drejer
>> kuglen en kvart omgang (Pi/2), vil kuglen så stadig blive trukket ud
>> af x-aksen, eller vil den blive trukket ud af en af de andre akser?
>
>Det kommer an på hvilke rækkefølge du udfører operationerne i.

Ja.

>Rotation*deformation*vektor
>
>vil deformere vektoren i laboratorie systemet, og rotere resultatet.
> n
> /
>Fx. -> deformation langs x ---> rotation /
> /
>
>
>deformation*rotation*vektor
>
>vil rotere vektoren, men så deformere den i laboratorie systemet.
> n
> n /
>Fx. -> rotation / deformation langs x /
>
>
>Fordi du ikke laver en deformation langs retningen som tidligere,
>men med en vinkel ifht. retningen.

Jeg roterer kuglen først og derformerer den bagefter. Jeg har bare
svært ved at vise rent matematisk at der ikke sker noget. Jeg har fået
maple til at tegne to ellipsoider som ligger meget oven i hinanden, og
det viser vel at jeg kan dreje kuglen først. Et eller andet sted er
det vel intuitivt klart at det er underordnet om man drejer kuglen,
men det bevis holder næppe til eksamen.

Under alle omstændigheder får jeg to forskellige ligninger ud af det,
og de giver den samme figur (som ligger oven i hinanden), men jeg kan
ikke se hvordan jeg viser at de er ens. Det hjælper ikke at trække dem
fra hinanden fx., for det giver ikke 0.

>Men hvis du starter med en kugle, så vil rotationen jo ikke ændre
>noget.

Næh, det er jo principelt ligegyldigt hvad jeg roterer. Om det er en
kugle, eller en cylinder (som vil give en hyperbolide) er underordnet.
Finten er at vise at for at komme fra legeme X til Y med bestemte
egenskaber så er der ikke kun een deformationsmatrice som giver et
bestemt svar.


>> Jeg har svært ved at se hvad det er der sker i maples plot, så
>> jeg er nødt til at bede om noget hjælp her
>
>Prøv at tegne det på et stykke ternet papir med et 1x1 kvadrat
>som eksempel.

Maple er tilbage på benene, og brillen er pudset

Steffen

---

Steffen Møller wrote:
> Finten er at vise at for at komme fra legeme X til Y med bestemte
> egenskaber så er der ikke kun een deformationsmatrice som giver et
> bestemt svar.

Hvis begge legmer er fuldstændigt uden symmetrier og befinder sig
samme sted, så er der kun en matrix. Men for hver symmetri, der
findes får du tilsvarende variabler der skal adderes for at
definere i transformationen.

--
Carsten Svaneborg

---

Steffen Møller wrote:
> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
> ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
> matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

En ellipsoide flade i 3D er givet ved ligningen:
a11*x² + a22*y² + a33*z² + 2(a12*xy + a13*xz + a23*yz) = 0

Du kan skrive ligningen i matrixsprog som

( x )
(x,y,z) M ( y ) = 0
( z )

med matricen

a11 a12 a13
M = a21 a22 a23
a31 a32 a33

Diagonalisere du matricen så får du en ortonormal matrix Q således at
v^T M v = 0 => v^T Q^-1 Q M Q^-1 Q v = 0
=> ((Qv)^T ) (Q M Q^-1) (Q v) = 0
=> W M' W = 0

hvor vektoren W=(e,r,t) i det diagonale koordinatsystem dvs:

( e )
(e,r,t) M' ( r ) = 0
( t )

hvor e er koordinat værdien langs den første egenvektor retning,
ditto r,t for den anden og tredie egenvektor. Fordi Q*(1,0,0) = e1
osv. og

b11 0 0
M' = 0 b22 0
0 0 b33

Dvs. den oprindelige ellipseligning i det diagonaliseret koordinatsystem
bliver b11*w² + b22*e² + b33*r² = 0

Og der er det manifest at w -> -w ikke ændrer løsningen. Dvs. at
du har spejlingssymmetri omkring i de tre egenvektorer.

Hele formålet med diagonalisering er at fjerne de lede x-y koblinger
således at ligningen i det diagonaliseret koordinatsystem bliver simpel
at løse.

--
Carsten Svaneborg

---

Dansk-lektion:

1 matrix, 2 matricer.
1 matrice betyder noget ganske andet, nemlig en form indenfor støbning.

"Steffen Møller" <stm@klams.dk> wrote in message
news:4d55cuoqfk53co4n74v8qsem9f0b8rkfn9@4ax.com...
> Hej
>
>
> Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
> ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
> matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?
>
> På forhånd tak for hjælpen
>
> Steffen

---

On Sun, 21 Apr 2002 12:37:27 +0200, Steffen Møller <stm@klams.dk>
wrote:

>Hvis man har en 3x3-matrice der udspænder en figur, f.eks. en
>ellipsoide - hvordan kan det så være at egenvektorerne til denne
>matrice udspænder symmetriakserne til den selvsamme figur?

Nå - det gik og vi fandt ud af ud af det hele inden examen. Tak for
hjælpen til alle.

Stef