---

Ang. egenværdier og egenvektorer:

Jeg ved fremgangsmåden er som følgende:
1 - Find en representerende matrix A
2 - Find "det(lambda*I-A)"
3 - Find rødderne i polynomiet som fremkommer
4 - Sæt rødderne ind en ad gangen i lambda i matricen og brug
gauss-elimination


Der er så lige 2 situationer som jeg ikke kan finde ud af:

1 - ...hvis nu man har 3 rødder som er ens og løsningsmængden for matricen
er 1-dimensionel er der så bare kun 1 egenvektor?

2 - ...hvis nu man har 3 rødder hvoraf 2 er ens, og løsningsmængden på
matricen hvor lambda er skiftet ud med den rod som der var to af, er (x,y,z)
= r(1,0,1)+s(4,1,0). Jeg kan se svaret i maple og den siger at (1,0,1) og
(4,1,0) begge er egenvektorer. Hvordan kan det være? Det kan jeg ikke lige
se.

---

Jacob Jensen wrote:


> Der er så lige 2 situationer som jeg ikke kan finde ud af:
>
> 1 - ...hvis nu man har 3 rødder som er ens og løsningsmængden for matricen
> er 1-dimensionel er der så bare kun 1 egenvektor?


Du har uendeligt mange egenvektorer. Mere præcist:
Der er kun et egenrum. Hvis det er det, du mener,
er svaret "ja".


> 2 - ...hvis nu man har 3 rødder hvoraf 2 er ens, og løsningsmængden på
> matricen hvor lambda er skiftet ud med den rod som der var to af, er (x,y,z)
> = r(1,0,1)+s(4,1,0). Jeg kan se svaret i maple og den siger at (1,0,1) og
> (4,1,0) begge er egenvektorer. Hvordan kan det være? Det kan jeg ikke lige
> se.


Øhhh...prøv med (r,s)=(1,0) og (r,s)=(0,1).
Egenrummet hørende til egenværdien (med
multiplicitet 2 i det karakteristiske polynomium)
udspændes af vektorerne (1,0,1) og (4,1,0). Prøv
eventuelt at "sætte ind", hvis du er i tvivl.

Lidt ekstra. Multipliciteten af en egenværdi i det
karakteristiske polynomium kaldes "den algebraiske
multiplicitet" af egenværdien. Dimensionen af
egenrummet hørende til egenværdien kaldes den
"geometriske multiplicitet" af egenværdien. Hvis
du bruger (og beviser?!), at similære matricer har
samme karakteristiske polynomium, er det ligetil
at vise, at den geometriske multiplicitet af en
egenværdi altid er mindre eller lig den algebraiske.

-> Michael Knudsen

---

> Du har uendeligt mange egenvektorer. Mere præcist:
> Der er kun et egenrum.

Jeg forstår ikke hvorfor der er uendeligt mange egenvektorer? Der er jeg med
min lille matematiske viden uenig.

> > 2 - ...hvis nu man har 3 rødder hvoraf 2 er ens, og løsningsmængden på
> > matricen hvor lambda er skiftet ud med den rod som der var to af, er
(x,y,z)
> > = r(1,0,1)+s(4,1,0). Jeg kan se svaret i maple og den siger at (1,0,1)
og
> > (4,1,0) begge er egenvektorer. Hvordan kan det være? Det kan jeg ikke
lige
> > se.
> Egenrummet hørende til egenværdien (med
> multiplicitet 2 i det karakteristiske polynomium)
> udspændes af vektorerne (1,0,1) og (4,1,0). Prøv
> eventuelt at "sætte ind", hvis du er i tvivl.

Vil det sige at alle vektorer som ligger i det rum der udspændes af f.eks.
(1,0,1) og (4,1,0) er egenvektorer?

Der er i mellemtiden opstået et nyt problem med en anden opgave:

Jeg skal finde nulrummet (er ved at finde egenvektorer) for denne matrix:
-4 -2 2
-2 -1 1
-8 -4 3

Jeg finder følgende basis for nulrummet: {(1,-2,0),(1,0,2)} mens maple
finder følgende (og nu kommer det underlige)... ENTEN {(0,1,1),(1,-2,0)}
ELLER {(0,1,1),(1,0,2)}!!

Læg mærke til at jeg slet ikke kan finde (0,1,1) selvom jeg godt kan se at
den ligger i nulrummet, og læg også mærke til at de to vektorer maple ikke
rigtigt kan finde ud af at vælge imellem (de skifter fra gang til gang) er
netop de to jeg har i min base! Jeg fatter det ikke. Men så vidt jeg kan se
udspænder følgende vektorer det samme rum!!! :
{(1,-2,0),(1,0,2)}
{(0,1,1),(1,-2,0)}
{(0,1,1),(1,0,2)}
{(0,1,1),(1,-2,0),(1-0,2)}

Hvis i regner nulrummet ud i hånden hvad får i så? Maple kan åbenbart ikke
bestemme sig!

---

> Jeg forstår ikke hvorfor der er uendeligt mange egenvektorer? Der er
jeg med
> min lille matematiske viden uenig.

Tag er r i R og gang den på en af dine egenvektorer, så har du en ny
egenvektor. Og der er ret mange r i R...


Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

> Tag er r i R og gang den på en af dine egenvektorer, så har du en ny
> egenvektor. Og der er ret mange r i R...

Har den nye egenvektor så samme egenværdi som min oprindelige (inden jeg
gangede mit r på)? Det har den vel, ik?

---

> Har den nye egenvektor så samme egenværdi som min oprindelige (inden
jeg
> gangede mit r på)? Det har den vel, ik?

Jo, for den ligger jo i det samme egenrum (er jeg ret sikker på, men jeg
har ikke lige Messer ved hånden.)

---

> Jo, for den ligger jo i det samme egenrum (er jeg ret sikker på, men jeg
> har ikke lige Messer ved hånden.)

jeg tror du har ret.... jeg synes bare det er dårligt at messer ikke gør
noget mere ud af hvad man gør når der er af de samme rødder. Så får man jo 2
dimensionelle nulrum osv.... det forklarer han slet ikke... men jeg tror jeg
har styr på den nu...bortset fra det problem jeg beskrev for "michael
knudsen" ovenfor... se evt der hvor jeg skriver, "der er i mellemtiden
opst....."

---

Jacob Jensen wrote:

> Har den nye egenvektor så samme egenværdi som min oprindelige (inden jeg
> gangede mit r på)? Det har den vel, ik?

Lad v,w være egenvektorer hørende til egenværdien
r for matricen A. Lad t være et reelt (komplekst) tal.

A(v+w)=Av+Aw=rv+rw=r(v+w)

A(tv)=t(Av)=t(rv)=r(tv)

Altså: v+w og tv er igen egenvektorer hørende til
egenværdien r.

-> Michael Knudsen

---

Jacob Jensen wrote:
> Jeg forstår ikke hvorfor der er uendeligt mange egenvektorer? Der er jeg
> med min lille matematiske viden uenig.
[KLIP]
> Vil det sige at alle vektorer som ligger i det rum der udspændes af f.eks.
> (1,0,1) og (4,1,0) er egenvektorer?
Ja

Lad A være en n x n matrix og v,w være egenvektorer svarende til
egenværdien b. Så gælder:
Av = bv og Aw = bw

Lad u være en vilkårlig skalarkombination af v og w (r,s i R):
u = rv + sw

Så er u også egenvektor da
Au = A(rv + sw) = A(rv) + A(sw) = r(Av) + s(Aw) = r(bv) + s(bw) = b(rv +
sw) = bu

Dette kan fx vha. induktion udvides til et vilkårligt antal vektorer (max.
n), ergo er enhver linearkombination af egenvektorer for A svarende til b
igen egenvektor svarende til egenværdien b.

Da R indeholder uendeligt mange elementer er der også uendeligt mange
linearkombinationer og dermed uendeligt mange egenvektorer hvis bare der
findes én.

> -4 -2 2
> -2 -1 1
> -8 -4 3
Du må have opskrevet din matrix forkert, for dens nulrum er 1-dimensionalt
([-2,1,0] udspænder). Eller du ville måske finde egenvektorer?


mvh. Martin

---

> > -4 -2 2
> > -2 -1 1
> > -8 -4 3
> Du må have opskrevet din matrix forkert, for dens nulrum er 1-dimensionalt
> ([-2,1,0] udspænder). Eller du ville måske finde egenvektorer?

det skulle have været:

-4 -2 2
-2 -1 1
-8 -4 4

jeg lægger lige en rettelse ind i originalen!

---

Jacob Jensen wrote:
>> > -4 -2 2
>> > -2 -1 1
>> > -8 -4 3
>> Du må have opskrevet din matrix forkert, for dens nulrum er
>> 1-dimensionalt ([-2,1,0] udspænder). Eller du ville måske finde
>> egenvektorer?
> -4 -2 2
> -2 -1 1
> -8 -4 4
Okay, så udspænder fx [-1,2,0] og [1,0,2] (fejl i min anden post).
Enhvert sæt af to ikke-parallele og ikke-nul vektorer i
sp([-1,2,0],[1,0,2]) udspænder også nulrummet (men det ved du vel godt).


/Martin

---

> > -4 -2 2
> > -2 -1 1
> > -8 -4 4
> Okay, så udspænder fx [-1,2,0] og [1,0,2] (fejl i min anden post).
> Enhvert sæt af to ikke-parallele og ikke-nul vektorer i
> sp([-1,2,0],[1,0,2]) udspænder også nulrummet (men det ved du vel godt).

ja... jeg får også de løsninger, men maple finder (0,1,1) og så en af
dine/mine, som varierer hver gang jeg kører beregningen i maple!!

og problemet er at i den næste opgave skal jeg bruge svaret fra denne og der
SKAL jeg bruge (0,1,1) og den har ingen af so altså kommet frem til, men
maple kan åbenbart!!

---

Jacob Jensen wrote:

>> > -4 -2 2
>> > -2 -1 1
>> > -8 -4 4
Matricen er rækkeækvivalent med
1 1/2 -1/2
0 0 0
0 0 0

Det giver mulighed for løsninger på formen
[-r/2 + s/2,r,s]

Udregn løsninger for (r,s) lig (0,2) og (1,1) så fås
[1,0,2] og [0,1,1]


/Martin

---

> Matricen er rækkeækvivalent med
> 1 1/2 -1/2
> 0 0 0
> 0 0 0

enig.

> Det giver mulighed for løsninger på formen
> [-r/2 + s/2,r,s]

enig.

> Udregn løsninger for (r,s) lig (0,2) og (1,1) så fås
> [1,0,2] og [0,1,1]

joo... men hvorfor lige komme på den syge ide at lave linearkombination af
basen som man har fundet... du fik også selv løsning til (-r/2+s/2,r,s)
hvilket er lig r(-1/2,1,0)+s(1/2,0,1) så (-1/2,1,0) og (1/2,0,1) er jo
egenvektorer (sammen med (2,1,4) som jeg fandt forud for dette)...

Jeg er ikke helt med på hvordan maple kan finde denne base : (0,1,1) og
(1,0,2), men jeg kan godt se at (0,1,1) kan fås hvis (r,s) = (1,1). Er det
ikke mere logisk at få basen : (1,-2,0) og (1,0,2)... dette er de "rå"
vektorer med pæne tal.

Dert forekommer mig lettere sindsygt at begynde på at lave
linearkombinationer af den for at få den ene (0,1,1) og så bruge en af de
orignale til at få den anden (enten (1,-2,0) eller (1,0,2))

Det er da også underligt hvis jeg skal til at bruge linearkombinationer af
egenvektorerne for at løse næste opgave: "Skriv (1,2,3) som
linearkombination af egenvektorer".

---

Jacob Jensen wrote:
> joo... men hvorfor lige komme på den syge ide at lave linearkombination af
> basen som man har fundet... du fik også selv løsning til (-r/2+s/2,r,s)
> hvilket er lig r(-1/2,1,0)+s(1/2,0,1) så (-1/2,1,0) og (1/2,0,1) er jo
> egenvektorer (sammen med (2,1,4) som jeg fandt forud for dette)...
Mere korrekt: de udspænder nulrummet


> Jeg er ikke helt med på hvordan maple kan finde denne base : (0,1,1) og
> (1,0,2), men jeg kan godt se at (0,1,1) kan fås hvis (r,s) = (1,1). Er det
> ikke mere logisk at få basen : (1,-2,0) og (1,0,2)... dette er de "rå"
> vektorer med pæne tal.
Nøh, det kommer an på hvilken algoritme maple benytter til at finde nulrum.


> Dert forekommer mig lettere sindsygt at begynde på at lave
> linearkombinationer af den for at få den ene (0,1,1) og så bruge en af de
> orignale til at få den anden (enten (1,-2,0) eller (1,0,2))
Når man har et vektorudtryk med frie variable vælger man _passende_
kombinationer af talværdier for disse med det formål at få en basis. Det er
ikke nødvendigvis det mest rigtige at vælge (1,0) og (0,1), men dog nok det
mest normale.


> Det er da også underligt hvis jeg skal til at bruge linearkombinationer af
> egenvektorerne for at løse næste opgave: "Skriv (1,2,3) som
> linearkombination af egenvektorer".
Ikke egenvektorerne, men to "tilfældige" vektorer der udspænder nulrummet
(som sikkert er egenrum svarende til en egenværdi fra en anden matrix du
ikke har nævnt)


/Martin

---

ok

pointen er at jeg har fundet følgende egenvektorer :

(2,1,4) med egenværdi 2
(1,-2,0) med egenværdi 1
(1,0,2) med egenværdi 1

Næste opgave er så at skrive (1,2,3) som linearkombintion af egenvektorer
(godt nok står der ikke egenvektorerNE) men det virker ret oplagt at bruge
de tre man lige har fundet.... det kan man jo så vidt jeg kan se bare ikke..

---

Scripsit "Jacob Jensen" <ba1oo@mail.dk>

> pointen er at jeg har fundet følgende egenvektorer :

> (2,1,4) med egenværdi 2
> (1,-2,0) med egenværdi 1
> (1,0,2) med egenværdi 1

> Næste opgave er så at skrive (1,2,3) som linearkombintion af egenvektorer
> (godt nok står der ikke egenvektorerNE) men det virker ret oplagt at bruge
> de tre man lige har fundet.... det kan man jo så vidt jeg kan se bare ikke..

Hvorfor ikke? Du skal løse ligningen

( 2 1 1 ) ( a ) ( 1 )
( 1 -2 0 ) * ( b ) = ( 2 )
( 4 0 2 ) ( c ) ( 3 )

og eftersom dine tre egenvektorer ser ud til at være lineært
uafhængige (matricen har determinant -2) er der netop en løsning.

Men koefficienterne i den linearkombination du søger er ikke
nødvendigvis heltal.

--
Henning Makholm "Det må være spændende at bo på
en kugle. Har I nogen sinde besøgt de
egne, hvor folk går rundt med hovedet nedad?"

---

tak for hjælpen... jeg har fundet ud af det... synes dog stadig det med
maple er underligt

---

Jacob Jensen wrote:
> (2,1,4) med egenværdi 2
> (1,-2,0) med egenværdi 1
> (1,0,2) med egenværdi 1
>
> Næste opgave er så at skrive (1,2,3) som linearkombintion af egenvektorer
> (godt nok står der ikke egenvektorerNE) men det virker ret oplagt at bruge
> de tre man lige har fundet.... det kan man jo så vidt jeg kan se bare
> ikke..
En vektor i R³ kan *altid* skrives som en linearkombination af tre
uafhængige vektorer i R³ (da dim (R³) = 3)
[1,2,3] = 1[2,1,4] - 0.5[1,-2,0] - 0.5[1,0,2]


/Martin

---

> [1,2,3] = 1[2,1,4] - 0.5[1,-2,0] - 0.5[1,0,2]

ja... det kom jeg også frem til

---

"Martin C. Petersen" wrote:
>
> Lad A være en n x n matrix og v,w være egenvektorer svarende til
> egenværdien b. Så gælder:
> Av = bv og Aw = bw
>
> Lad u være en vilkårlig skalarkombination af v og w (r,s i R):
> u = rv + sw
>
> Så er u også egenvektor da
> Au = A(rv + sw) = A(rv) + A(sw) = r(Av) + s(Aw) = r(bv) + s(bw) = b(rv +
> sw) = bu

Ja, og dette viser at mængden af egenvektorer hørende til denne egen-
værdi udgør et underrum af R^n.
Dimensionen af dette underrum kaldes den "geometriske multiplicitet"
for den pågældende egenværdi b.
Lad os betegne dette tal Geo(b).

Hvis b er en k-dobbelt rod i det karakteristiske polynomium, så siger
man endvidere at k er den "algebraiske multiplicitet" Alg(b) for b.


Man kan nu bevise at Geo(b) altid ligger mellem 1 og Alg(b), altså

1 <= Geo(b) <= Alg(b)


Eksempler:

/ b 0 0 \
A = | 0 b 0 |
\ 0 0 c /

Her er egenværdierne b, b og c, så Alg(b)=2 og Alg(c)=1. Man ser
hurtigt at Geo(b)=2 og Geo(c)=1 også.

/ b 1 0 \
A = | 0 b 0 |
\ 0 0 c /

Her er egenværdierne også b, b og c, altså Alg(b)=2 og Alg(c)=1.
Men i dette tilfælde bliver Geo(b)=1. Man kan altså ikke finde tre
lineært uafhængige egenvektorer i dette tilfælde!

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

ang. nedenstående problem.... matricen nedenfor skulle hedde:

-4 -2 2
-2 -1 1
-8 -4 4 med et 4-tal her!!

> Der er i mellemtiden opstået et nyt problem med en anden opgave:
>
> Jeg skal finde nulrummet (er ved at finde egenvektorer) for denne matrix:
> -4 -2 2
> -2 -1 1
> -8 -4 3
>
> Jeg finder følgende basis for nulrummet: {(1,-2,0),(1,0,2)} mens maple
> finder følgende (og nu kommer det underlige)... ENTEN {(0,1,1),(1,-2,0)}
> ELLER {(0,1,1),(1,0,2)}!!
>
> Læg mærke til at jeg slet ikke kan finde (0,1,1) selvom jeg godt kan se at
> den ligger i nulrummet, og læg også mærke til at de to vektorer maple ikke
> rigtigt kan finde ud af at vælge imellem (de skifter fra gang til gang) er
> netop de to jeg har i min base! Jeg fatter det ikke. Men så vidt jeg kan
se
> udspænder følgende vektorer det samme rum!!! :
> {(1,-2,0),(1,0,2)}
> {(0,1,1),(1,-2,0)}
> {(0,1,1),(1,0,2)}
> {(0,1,1),(1,-2,0),(1-0,2)}
>
> Hvis i regner nulrummet ud i hånden hvad får i så? Maple kan åbenbart ikke
> bestemme sig!
>
>