Scripsit Peter Makholm <peter@makholm.net>
> Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> writes:
> > Dvs at det, spørgsmålet egenligt går på, er om mængden af algebraiske
> > tal er lukket under algebraiske operationer (+,-,*,/,^) ?
> Jeg kan ikke lige på 5 minutter finde en fremgangsmåde antaget at de
> algebraiske tal er lukkede overfor i operationer du nævner.
Jeg er ikke sikker på at algebraiske tal er lukket under (vilkårlig)
potensopløftning (hvor også eksponenten må være vilkårligt algebraisk).
Fx er i algebraisk, men er (-1)^i det også? (-1)^i er flertydig, men
blandt værdierne er e^pi, som ihvertfald umiddelbart ser fælt
transcendent ud.
Men iøvrigt kan det ses at de algebraiske tal er lykket under de
fire grundregningsarter (og derfor udgør et legeme) på følgende måde.
Antag at vi ved at x og y er algebraiske, og vi ønsker at vise at
fx x+y er algebraisk. Fra antagelsen kender vi polynomielle udtryk
a0 + a1*x + a2*x² + ... + ap*x^p = 0
b0 + b1*y + b2*y² + ... + bq*x^q = 0
med an, bn i Z. Det kan skrives om til
x^p = -a0/ap - (a1/ap)*x - ... - (a[p-1]/ap)*x^{p-1}
y^q = -b0/bq - (b1/bq)*x - ... - (b[q-1]/bq)*x^{q-1}
Ved hjælp af disse kan ethvert formelt polynomium i x og y med hele
koefficienter skrives om til et formelt polynomium med rationelle
koefficienter hvor alle leddene har formen c*x^n*y^m hvor 0 <= n < p
og 0 <= m < q. Disse polynomier (og derfor også de tal de har som
værdier) udgør et vektorrum af dimension pq over Q.
Udfold nu (x+y)^n for n = 0, 1, 2, ..., pq ved hjælp af
binomialformlen, og reducer hver af udfoldningerne til et
af de rationelle polynomier nævnt ovenfor.
Vi har nu pq+1 elementer != 0 i det pq-dimensionelle vektorrum,
derfor må der være en ikke-triviel lineær relation mellem dem.
Relationen gælder også når man tager de formelle polynomiers
værdier, og derfor er den et polynomium med rationelle
koefficienter som har x+y som rod. Gang hele polynomiet med
et fælles fold af koefficienternes nævnere, og vi har et
polynomium med heltallige koefficienter med x+y som rod.
Tilfældet xy er ganske analogt. Negation er trivielt. For reciprokke
tal: Lad en relation a0 + a1x + ... anx^n = 0 være givet. Substituer
y = 1/x:
a0 + a1*y^{-1} + ... an*y^{-n} = 0
Gang hele ligningen med y^n og vi får
a0*y^n + a1*y^{n-1} + ... + an = 0
Med tungen lige i munden (og lidt paratviden om noetherske ringe)
kan man på lignende måde vise at de algebraiske heltal - mængden af
rødder i heltallige polynomier hvor højestegradekoefficienten er 1 -
ligesom heltallene er lukket overfor addition, negation og
multiplikation, men ikke division.
Alt dette synes bare ikke at hjælpe med mit oprindelige spørgsmål.
--
Henning Makholm "Hell, every other article you read
is about the Mars underground, and how
they're communists or nudists or Rosicrucians --"