/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Maksimal hastighed i frit fald..
Fra : Rene B. Andersen


Dato : 29-12-01 14:55

Betragt et legeme i frit fald ned i en tyngdebrønd i vacuum? Som den simpleste
betragtning kan man antage et punktformigt legeme, og et punktformigt center
for tyngdebrønden med en given tyngdeacceleration på 'overfladen'.

Hvad er nu den maksimale teoretiske faldhastighed som dette legeme kan opnå
idet det når centrum? Under en given tyngdeacceleration vil legemets hastighed
vokse kvadratisk med tiden, men samtidigt aftager tyngdefeltets styrke jo med
afstanden (også kvadratisk?), så hvordan udregner man så den samlede
hastighedstilvækst på legemet?

Vil den øvre grænse være lysets hastighed, og vil dette kræve ting som
uendelig masse i centrum og uendelig lang faldtid?

Nogen gange taler man om en masse-forøgelse når legemer accelereres. Gælder
dette også for frie fald som beskrevet ovenfor, og vil det betyde at legemet
undervejs i accelerationen vil opbygge sit eget tyngdefelt?


PS: Dette er ikke lektier, det stadie er jeg gudskelov kommet over :)

mvh
--
RbA

Your login flies up, your password remains below;
to logins without passwords authentication never goes.

 
 
Carsten Svaneborg (29-12-2001)
Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg


Dato : 29-12-01 21:39

"Rene B. Andersen" wrote:
> Hvad er nu den maksimale teoretiske faldhastighed
> som dette legeme kan opnå idet det når centrum?

Energibevarelse i en frame hvor den tungemasse er
i hvile:

Den totale relativistiske energi er E=m(v)c^2 for det
faldende objekt med dynamisk masse
m(v)=m(v=0)/sqrt(1-(v/c)^2) hvor m(v=0) er hvilemassen.

Rækkeudvikles E=m(v)c^2 = m(v=0)c^2 + 0.5 m(v=0)v^2 + ..
dvs. at E=m(v)c^2 er en generalisering af udtrykket for
kinetisk energi.

Hvis den starter med hastigheden v=0 i afstanden r uden
for massen så er start energien

Estart = m(v=0)c^2 + Epot(r)

Hvor Epot er tyngepotentialet Epot(r)=-G*m(v=0)*M/r+konst

Eslut = m(v)c^2 + Epot(r=0)

fordi Epot(r=0) er 0. (Bemærk at ..1/r udtrykket kun
gælder ude for massen, hvis den er kugleformet, det
falder linært med r inden for massen)

Så kan du udregne hastigheden relativistisk korrekt,
uden at skulle løse nogle bevægelsligning.

> Nogen gange taler man om en masse-forøgelse når legemer
> accelereres. Gælder dette også for frie fald som
> beskrevet ovenfor, og vil det betyde at legemet
> undervejs i accelerationen vil opbygge sit eget tyngdefelt?

Masseforøgelsen kommer når objektet bevæger sig med
en hastighed ifht. dit hvilesystem. Ovenstående er
i den tungemasses hvilesystem.

--
Med venlig hilsen
Esther Svaneborg
esthers@worldonline.dk, http://home.worldonline.dk/~esthers
Har du husket at klappe din hund idag!



Rene B. Andersen (30-12-2001)
Kommentar
Fra : Rene B. Andersen


Dato : 30-12-01 17:49

Carsten Svaneborg wrote:
>
> "Rene B. Andersen" wrote:
> > Hvad er nu den maksimale teoretiske faldhastighed
> > som dette legeme kan opnå idet det når centrum?
[..]
> Hvis den starter med hastigheden v=0 i afstanden r uden
> for massen så er start energien
>
> Estart = m(v=0)c^2 + Epot(r)
>
> Hvor Epot er tyngepotentialet Epot(r)=-G*m(v=0)*M/r+konst
>
> Eslut = m(v)c^2 + Epot(r=0)
>

Vil det sige at tyngdepotentialet konvergerer mod 'konst' for 'r' gående mod
uendelig?

lim[r -> inf]Epot(r) = konst, idet
lim[r -> inf](-G*m(0)*M/r) = 0-

Hvordan bestemmes denne 'konst', den må vel afhænge af 'M' eller hur?

[..]
> Så kan du udregne hastigheden relativistisk korrekt,
> uden at skulle løse nogle bevægelsligning.

Okay, jeg kommer frem til følgende udtryk for 'v':

v(r) = c*sqrt(1 - ( m(0)*c^2 / ( m(0)*c^2 + (-G*m(0)*M)/r + konst ) )^2)

som vist ikke umiddelbart kan reduceres til noget pænere...
Hvis dette er korrekt, så er

lim[r -> inf]v(r) = c*sqrt(1 - ( m(0)*c^2 / ( m(0)*c^2 + konst ) )^2)

Afhængigt af hvilken værdi 'konst' har, så kan dette give en hvilken som helst
hastighed mellem 0 og c.

Under antagelse af at 'konst' afhænger af 'M', og at

lim[M -> inf]konst(M) = inf

vil sluthastigheden ved uendeligt tilløb og en uendeligt massiv tungmasse
altså "være" lyshastighed, mens et mindre tilløb eller mindre tungmasse ikke
vil kunne give denne hastighed. Er det korrekt?

mvh
--
RbA

Ethernet (n): Something used to capture the Ether Bunny.

Palle Jørgensen (02-01-2002)
Kommentar
Fra : Palle Jørgensen


Dato : 02-01-02 13:24

"Rene B. Andersen" <ra@it.dk> writes:

> Vil det sige at tyngdepotentialet konvergerer mod 'konst' for 'r'
> gående mod uendelig?
>
> lim[r -> inf]Epot(r) = konst, idet
> lim[r -> inf](-G*m(0)*M/r) = 0-
>
> Hvordan bestemmes denne 'konst', den må vel afhænge af 'M' eller
> hur?

"konst" kan vælges arbitrært. Som regel vælger man af regnetekniske
grunde at sætte "konst" til 0.

--
Palle Jørgensen, Stud.Scient., BSc

<URL:http://www.ifa.au.dk/~pallej/>
<URL:mailto:pallej@ifa.au.dk>

Regnar Simonsen (02-01-2002)
Kommentar
Fra : Regnar Simonsen


Dato : 02-01-02 22:11

Hej

>Carsten Svaneborg skrev :
>Masseforøgelsen kommer når objektet bevæger sig med
> en hastighed ifht. dit hvilesystem. Ovenstående er
> i den tungemasses hvilesystem.

Dette gælder vel kun, hvis objektet tilføres energi "udefra" - f.eks. vil en
bil i bevægelse ikke veje mere end en stillestående bil; også selv om den
bevæger sig med næsten lysets hastighed. Massen øges godt nok pga. af højere
kinetisk energi - men dette modsvares af en tilsvarende sænkning pga. et
fald i den potentielle (kemiske) energi i brændstoffet.
Kun hvis nogen skubber til bilen, øges massen efter den gængse formel :
m=m0/sqr(1-v2/c2)
I et frit fald ændres massen vel heller ikke (set udefra)? - Argument : Der
er energibevarelse i systemet - og dermed også massebevarelse (E = mc^2).
Det der vindes i kinetisk energi, tabes i gravitationsenergi.
--
Hilsen
Regnar Simonsen





Rene B. Andersen (05-01-2002)
Kommentar
Fra : Rene B. Andersen


Dato : 05-01-02 19:17

Palle Jørgensen wrote:
>
> "Rene B. Andersen" <ra@it.dk> writes:
>
> > Vil det sige at tyngdepotentialet konvergerer mod 'konst' for 'r'
> > gående mod uendelig?
> >
> > lim[r -> inf]Epot(r) = konst, idet
> > lim[r -> inf](-G*m(0)*M/r) = 0-
> >
> > Hvordan bestemmes denne 'konst', den må vel afhænge af 'M' eller
> > hur?
>
> "konst" kan vælges arbitrært. Som regel vælger man af regnetekniske
> grunde at sætte "konst" til 0.

Jeg havde faktisk en mistanke om at det var en integrations-konstant..

Men det må vel så betyde at der er et eller andet forkert i den måde jeg
udleder udtrykket for maksimal faldhastighed v(r), for med konst=0 vil
udtrykket:

v(r) = c*sqrt(1 - ( m(0)*c^2 / ( m(0)*c^2 + (-G*m(0)*M)/r + konst ) )^2)

kunne reduceres til

v(r) = c*sqrt(1 - ( m(0)*c^2 / ( m(0)*c^2 - (G*m(0)*M)/r ) )^2)

med grænseværdien

lim[r -> inf]v(r) = c*sqrt(1 - ( m(0)*c^2 / ( m(0)*c^2 ) )^2)
=>
lim[r -> inf]v(r) = 0

samt

lim[r -> 0+]v(r) = inf

Dvs. jo længere væk fra tungmassen legemet starter sit fald, jo lavere vil
sluthastigheden være, og når r går mod 0 vil v(r) gå mod lyshastigheden! Det
er jo det rene ævl...

--
RbA

War does not determine who is right, only who is left

Palle Jørgensen (07-01-2002)
Kommentar
Fra : Palle Jørgensen


Dato : 07-01-02 12:12

"Rene B. Andersen" <ra@it.dk> writes:

> Palle Jørgensen wrote:
>> "konst" kan vælges arbitrært. Som regel vælger man af
>> regnetekniske grunde at sætte "konst" til 0.
>
> Jeg havde faktisk en mistanke om at det var en
> integrations-konstant..

Det er det for så vidt også, men da det i klassisk mekanik kun er
_gradienten_ af potentialet der er interessant, eller forskelle i
potentialet, så kan den vælges arbitrært. Den har ingen fysisk
betydning.

--
Palle Jørgensen, Stud.Scient., BSc

<URL:http://www.ifa.au.dk/~pallej/>
<URL:mailto:pallej@ifa.au.dk>

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408849
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste