---

Nu har jeg siddet og prøvet at vise formlen g'(f(x))=g'(f(x))*f'(x) uden at
gå helt amok med epsilon-delta og andet snask. Jeg mener at kunne huske at
der er en nem måde at vise det på. Det er noget med at gange og dividere med
samme størrelse og så er man stort set færdig, men jeg kan ikke huske
hvordan beviset forløber. Er der nogen her der kan huske det?
-----
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Scripsit "Jes Hansen" <jh@muro.dk>

> Nu har jeg siddet og prøvet at vise formlen g'(f(x))=g'(f(x))*f'(x) uden at
> gå helt amok med epsilon-delta og andet snask. Jeg mener at kunne huske at
> der er en nem måde at vise det på. Det er noget med at gange og dividere med
> samme størrelse og så er man stort set færdig,

Det lyder som noget i retning af

delta-g/delta-x = delta-g/delta-f * delta-f/delta-x

og så se at de to faktorer går mod differentialkvotienterne hver for
sig efterhånden som delta-x går mod 0. Voila.

(At lave samme omskrivning med d'er i stedet for delta'er er noget
uvidenskabeligt hokuspokus, men giver en god huskeregel).


Din formulering "g'(f(x))=g'(f(x))*f'(x)" er i øvrigt gal. Den påstår
jo bare at f'(x)=1. Man kan ikke bruge mærke-notation medmindre *hele*
den funktion man differentierer har et selvstændigt navn.

--
Henning Makholm "In my opinion this child doesn't
need to have his head shrunk at all."

---

> (At lave samme omskrivning med d'er i stedet for delta'er er noget
> uvidenskabeligt hokuspokus, men giver en god huskeregel).

Nej, det er ikke specielt uvidenskabeligt, men benytter en gren af
matematikken som de
færreste (matematikere) har et afslappet forhold til.

Kasper

---

> Nej, det er ikke specielt uvidenskabeligt, men benytter en gren af
> matematikken som de
> færreste (matematikere) har et afslappet forhold til.

Ja, det kan fx lade sig gøre med de hyperreelle tal. De hyperreelle tals
legeme er et tallegeme, der indeholder de reelle ral som en delmængde, og
som udover disse indeholder tal der kaldes henholdsvis infinitisimaler og
ubegrænsede tal. infinitisimalerne er karakteriseret ved at de har følgende
egenskab:

Hvis jeg har en infinitisimal størrelse a, så er dette tal mindre end
ethvert reelt tal > 0. Dette kan jo ikke lade sig gøre i de reelle tals
legeme. De andre specielle tal er "uendeligt store tal". De opfylder at har
jeg et ubegrænset tal b så er dette tal større end ethvert reelt tal.

---
Jes Hansen

---

Scripsit "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk>

> > (At lave samme omskrivning med d'er i stedet for delta'er er noget
> > uvidenskabeligt hokuspokus, men giver en god huskeregel).

> Nej, det er ikke specielt uvidenskabeligt, men benytter en gren af
> matematikken som de færreste (matematikere) har et afslappet forhold
> til.

Du tænker på ikke-standard analyse?

Den er mit forhold til rigtig nok en smule anstrengt; hovedsageligt
går problemet ud på at indse i hvilken præcis forstand funktionen i
det ikke-standard univers er "den samme" som den standardfunktion vi
er interesseret i at vide noget om.

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

> går problemet ud på at indse i hvilken præcis forstand funktionen i
> det ikke-standard univers er "den samme" som den standardfunktion vi
> er interesseret i at vide noget om.

Hvis vi kalder funktionen f, er den tilvarende funktion i ikke-standard
universet givet ved *-transformationen af f, kaldet f*. f* opfylder nu at
f(x)=f*(x*)=f*(x) for x et reelt tal (for et reelt tal identificerer vi x*
med x,
idet vi kan indlejre de reelle tal i de hyperreelle tal). f* er altså en
udvidelse
af f i den forstand at de stemmer overens på de standard reelle tal,
forskellen
ligger i at f* er defineret på hele den hyperreelle akse.

Hmm, det ser jo ud osm om det er nemt, men det var sådan set også et af mine
største problemer at forstå dette.

Lidt mere generelt (når vi husker på at en funktion bare er en relation) så
kan vi
til enhver mængde i standard universet A tilskrive en *-transformeret kaldet
A*. A findes
formelt set ikke i ikke-standard universet, men vi identificerer A med {a* |
a \in A },
en identifikation som er helt naturlig. Det er nu rimeligt let at vise at
A "=" {a* | a \in A } \subseteq A*
med lighedstegn hvis og kun hvis A er en endelig mængde (og på sin vis er
det dette
hvis og kun hvis som danner grundlaget for hele ikke-standard analyse).
Dette svarer
til ovenstående.

Kasper

---

[Jes Hansen]

> Nu har jeg siddet og prøvet at vise formlen g'(f(x))=g'(f(x))*f'(x) uden at
> gå helt amok med epsilon-delta og andet snask. Jeg mener at kunne huske at
> der er en nem måde at vise det på. Det er noget med at gange og dividere med
> samme størrelse og så er man stort set færdig, men jeg kan ikke huske
> hvordan beviset forløber. Er der nogen her der kan huske det?

Om du setter u=f(x) og y=g(u)=g(f(x)), så er det regnestykket du
tenker på omtrent slik:

dy/dx = (dy/du)*(du/dx)

Det betyr ikke at dette utgjør et bevis.

Forresten har du skrevet venstresiden galt, det skal være (g o f)'(x).
--
Stein Arild Strømme <http://www.mi.uib.no/~stromme>