Hmmmm lyver LOOL - Nej hvorfor skulle jeg dog det? Jeg har kopieret hele siden ind her, så kan du selv bladre ned til Alm. cirkelgeometri. Jeg har sat det om pilhøjde ind som citat.
**********************
Hovedmenu
[ Introduktion ] [ Oversigt ] [ Tal ] [ Procentregning ] [ Rentesregning ] [ Ligninger og uligheder ] [ Funktioner ] [ Differentialregning ] [ Integralregning ] [ Differentialligninger ] [ Geometri ] [ Vektorregning ] [ Parameterkurver ] [ Statistik ] [ Sandsynlighedsregning ] [ Algebra og talteori ] [ Følger og rækker ] [ Matematiske essays ] [ SLEM ] [ Studyguides ] [ FAQ ] [ LINK-samling ] [ Ordliste ]
WWW
http://ga.randers-hf-vuc.dk
Kurver
Emner
Generelt
Den rette linie (2d)
Skæring mellem to linier
Cirklen
Cirkeltangent
Almindelig cirkelgeometri
Keglesnit ay2 + bx2 + cxy + dy + ex + f = 0
Bezier splines
Generelt
En (plan) kurve er en mængde af punkter i planen. Kurvens ligning er en ligning i x og y. Kurven består af de punkter P(x, y), hvor x og y passer i ligningen.
Man udtrykker det ind i mellem med vendingen, at kurven er det geometriske sted for de punkter, der passer i ligningen (eller opfylder et andet krav).
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]
Den rette linie (2d)
I afsnittet lineære funktioner sås, at grafen for en funktion at typen f(x) = a · x + b er en ret linie i planen. D.v.s, at ligningen for en ret linie kan være af form y = a · x + b.
Har linien hældningskoefficienten a og indeholder punktet P(x0, y0) er y0 = a · x0 + b, eller b = y0 – a · x0. Indsættes dette i den første ligning, fås liniens ligning
y = y0 + a(x – x0).
Helt generelt har enhver linie en ligning af form (a, b og c er tal)
a · x + b · y = c.
Er linien ikke lodret (b ≠ 0), kan ligningen skrives y = –a/b · x + c/b.
Er linien lodret (hældningskoefficienten udefineret), bliver ligningen x = c/a.
Afstand mellem punkt og linie
For at bestemme den vinkeltrette afstand mellem P(x, y) og linien med ligningen y = a · x + b, tegner vi den lodrette linie gennem P. Den skærer linien i E(x, ax + b).
EFG er en retvinklet trekant, hvis vandrette katete er |EF| = 1. Dens lodrette katete er |FG| = a (liniens hældningskoefficient).
Trekanterne PDE og EFG er ensvinklede fordi, de begge er retvinklede og ∠PED = ∠EGF.
Heraf følger, at |PD|
--------------------------------------------------------------------------------
1 = |PE|
--------------------------------------------------------------------------------
|EG| , hvor |PE| = |ax + b – y| og |EG| =
√
--------------------------------------------------------------------------------
1 + a2
Afstand = |PD| = |ax + b – y|
--------------------------------------------------------------------------------
√
--------------------------------------------------------------------------------
1 + a2
.
Regnemaskinen beregner afstanden mellem linien y = a x + b og punktet (x , y).
Ændr værdierne for a, b, x eller y og klik uden for boksen
a = b = og (x , y) = ( , ) giver afstand =
Indbyrdes vinkelrette linier
Linien P1P2's hældningskoefficient er = tan(v), hvor v er vinklen fra 1-aksen til linien. Linien DP danner en vinkel, der er 900 større.
Da tan(v + 900) = –1
--------------------------------------------------------------------------------
tan(v) , følger
To linier står vinkelret på hinanden, hvis og kun hvis deres hældningskoefficienters produkt = –1.
Skæring mellem to linier
Er liniernes ligninger a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2, findes et eventuelt skæringspunkt ved at løse ligningerne m.h.t. x og y.
Ganger vi den første igennem med b2 og den anden med b1 (a2 og a1), får vi
a1b2x + b1b2y = c1b2 og a2a1x + a2b1y = a2c1
a2b1x + b2b1y = c2b1 og a1a2x + a1b2y = a1c2.
Ved subtraktion finder vi
(a1b2 – a2b1)x = c1b2 – c2b1 og (a1b2 – a2b1)y = a2c1 – a1c2.
Er nu a1b2 – a2b1 ≠ 0, kan vi dividere og finder skæringspunktets koordinater
x = c1b2 – c2b1
--------------------------------------------------------------------------------
a1b2 – a2b1
og y = a1c2 – a2c1
--------------------------------------------------------------------------------
a1b2 – a2b1
.
Er derimod a1b2 – a2b1 = 0, er a1/b1 = a2/b2, så linierne er parallelle.
Er desuden a1/a2 = b1/b2 = c1/c2, er linierne parallelle og sammenfaldende.
Regnemaskinen beregner skæringspunktet mellem linierne a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2.
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen
(a1, b1, c1) = ( , , ) og (a2, b2, c2) = ( , , ) giver (x, y) = ( )
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]
Cirklen
En cirkel-periferi er en kurve, der består af de punkter, hvis afstand fra centrum C er konstant = radius r.
Er centrum C(a, b) og radius r, ligger et punkt P(x, y) på cirklen, hvis og kun hvis |CP| = r. D.v.s.
Cirklens ligning: (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Ganges ligningens paranteser ud, fås x2 – 2ax + y2 – 2by = r2 – a2 – b2. Sammenlignes med ligningen
x2 + Ax + y2 + By + C = 0
ses, at
–2a = A , –2b = B og r2 = –C + a2 + b2.
Hvis –C + a2 + b2 > 0, forestiller ligningen en cirkel med
Centrum = ( –A
--------------------------------------------------------------------------------
2
, –B
--------------------------------------------------------------------------------
2
) og radius =
√
--------------------------------------------------------------------------------
–C + A2/4 + B2/4 .
Regnemaskinen beregner centrum og radius for punktmængden x2 + Ax + y2 + By + C = 0 (hvis de eksisterer).
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen
( A, B, C ) = ( , , ) giver (a, b) = ( , ) og r =
Her og her og her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.
Cirkeltangenter
Da tangenten i P0 = (x0, y0) står vinkelret på CP, bestemmes dens hældningskoefficient af
atangent = –1 / aradius.
aradius = (y0 – b) / (x0 – a) giver atangent = (a – x0) / (y0 – b). Da desuden (x0, y0) ligger på tangenten, er b = y0 – atangentx0. Tangentens ligning bliver altså
y = a – x0
--------------------------------------------------------------------------------
y0 – b x + y0 – a – x0
--------------------------------------------------------------------------------
y0 – b x0.
Regnemaskinen beregner ligningen for tangenten i (x0, y0) til cirklen med centrum i (a, b).
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen
(a, b) = ( , ) og (x0, y0) = ( , ) giver r = og y = x +
Almindelig cirkelgeometri
Liniestykket AB kaldes en korde i cirklen. ∠ACB kaldes kordens centervinkel og ∠APB en periferivinkel.
Summen af vinklerne ved A, B og P er 180°. Trekanterne ABC , APC og BPC er alle ligebenede (to sider lig r). Man ser, at Vinklerne ved P + ∠CAB er 90°. Det fører til, at ∠APB = 90° – ∠CAB. Men ∠ACB = 180° – 2∠CAB, så
Kordens periferivinkel er halvdelen af dens centervinkel.
Uanset, hvor P ligger på buen APB, er vinklen den samme. Man kalder buen for synsvinkelbuen for vinkel P.
Citat
Pilhøjde
|CE| = r cos(½centervinkel) = r cos(periferivinkel).
Buen ADB's pilhøjde er stykket |ED|, så
Pilhøjde = r · (1 – cos(½centervinkel)). |
Regnemaskinen beregner størrelsen til højre for den ændrede størrelse.
Ændr radius, korde eller pilhøjde og klik uden for boksen
radius = , korde = , pilhøjde =
Arealer
Cirkeludsnittet CADBC's areal er samme brøkdel af p r 2 som centervinklen er af 360°, så
Udsnit = p r 2 · centervinkel / 360°.
Cirkelafsnittet er arealet af figuren ABDA, som beregnes som forskellen mellem udsnittet og trekanten ABC.
Cirkelafsnit = p r 2 · centervinkel / 360° – ½ r 2 sin(centervinkel).
Efter en ide af min ven Jørgen Gant:
I en vandret cylindrisk oliebeholder med radius r er oliestanden h. Grafikken viser indholdet (i pct.) som funktion af oliestanden (i enheder af r). f(h) = v – 0.5 sin(2v)
--------------------------------------------------------------------------------
p med v = cos–1(1 – h
--------------------------------------------------------------------------------
r ).
Ændr radius eller højde og klik uden for boksen
radius = , højde = giver indhold = %
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]
Keglesnit
Grafikken viser grafen for ay2 + bx2 + cxy + dy + ex + f = 0. Se venligst bort fra, at der kan forekomme "dobbeltgraf" p.g.a. regne-problemer
Keglesnit er grafer for andengrads ligninger i x og y:
{P(x, y)| ay2 + bx2 + cxy + dy + ex + f = 0}
Er a = b og c = 0, genkender vi cirklens ligning
Har a og b samme fortegn og er c = 0, får vi akseparallelle ellipser
Har a og b forskelligt fortegn og er c = 0, får vi akseparallelle hyperbler
Er a = 0 eller b = 0 og c = 0, får vi akseparallelle parabler
Er c ≠ 0, får vi ikke-akseparallelle figurer
Er a = b = c = 0, får vi rette linier
Her er en geometriske behandling af keglesnittene.
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]
Gå til Lydik Garms hjemmeside eller send mail til lydik.garm@skolekom.dk
Opdateret: Søndag den 26. december 2004 kl. 18:39
http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/kurver.html
MatLex er sponsoreret af: